彭雪峰+陳楊林

摘 要：本文針對具體的學(xué)校學(xué)生體能測試時(shí)間安排問題展開了深入研究。對于學(xué)生等待時(shí)間的理解為，學(xué)生在測試場地的時(shí)間與各項(xiàng)測試的總時(shí)間之差。為了滿足該校的要求和條件，分析了將所有學(xué)生分批次進(jìn)行測試的原因，而每批次的最佳學(xué)生數(shù)為40人，次佳學(xué)生數(shù)為50人，而40人和50人的可選組合人數(shù)為80、90、100和120，并通過建模得到了學(xué)生班級的28個(gè)測試批次，同進(jìn)同出進(jìn)行測試。如果28個(gè)測試批次的學(xué)生采用緊湊式進(jìn)出場地，即前后兩批次的學(xué)生測試時(shí)間可以重疊。我們將模型優(yōu)化后可得到最優(yōu)測試時(shí)間安排：整個(gè)測試時(shí)間段為3段，學(xué)生總等待時(shí)間約減半。

按照上述模型和算法，我們得到五個(gè)測試項(xiàng)目重組為三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行輪轉(zhuǎn)為最佳，因而提出了如下調(diào)整建議：需引進(jìn)立定跳遠(yuǎn)、肺活量測試儀器各1臺，一個(gè)班的學(xué)生需要分組，每組30人，這樣測試場所的人員容量只需30人。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；可選組合數(shù)；輪轉(zhuǎn)法；數(shù)學(xué)模型；MATLAB

中圖分類號： G523 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1673-1069（2016）36-82-2

1 問題描述與分析

首先，由于考慮到測試場所最多可容納150個(gè)學(xué)生，同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間內(nèi)完成所有項(xiàng)目的測試所用時(shí)間最少的情況下，我們先將150個(gè)學(xué)生看成一個(gè)班級不考慮學(xué)生的學(xué)號，利用數(shù)學(xué)軟件（lingo）求出最短時(shí)間和滿足最短時(shí)間的條件。如果將150個(gè)人分為了兩個(gè)班級，通過計(jì)算最短時(shí)間可知，后者比前者多了5秒鐘的錄入學(xué)號時(shí)間。依此做法，每增加一個(gè)班級就會多出5秒鐘的錄入學(xué)號時(shí)間。即，多n個(gè)班級就會有n個(gè)錄入學(xué)號時(shí)間。在對問題的模型建立過程中，我們對附表中的班級采取合并的方法，即將一個(gè)班或幾個(gè)班看成一個(gè)整體，又考慮到學(xué)生的學(xué)號不同，我們對模型進(jìn)行了修改，采取輪轉(zhuǎn)法求最短時(shí)間。我們還計(jì)算了耗時(shí)多的向耗時(shí)少的方向輪轉(zhuǎn)與耗時(shí)少的向耗時(shí)多的方向輪轉(zhuǎn)的區(qū)別。

其次，考慮到在測試時(shí)間段我們采取了對班級進(jìn)行分組的方法，針對不同的儀器對每個(gè)學(xué)生測試所用的時(shí)間不同，并且有些項(xiàng)目有多臺設(shè)備的錄入學(xué)號問題。

2 模型建立與計(jì)算

模型一：

為簡化問題，我們做出如下假設(shè)：

①將同一批次測試的學(xué)生看作整體（即不考慮班級與班級之間的學(xué)號問題）；②將同一項(xiàng)目的測試看作整體（即不考慮有多臺儀器的錄制學(xué)號問題）；我們將同一批次測試的學(xué)生分成5組，同時(shí)進(jìn)行5項(xiàng)測試。則所需時(shí)間如下：

PT1=10/3，PT2=20，PT3=15/2，PT4=20，PT5=210/10

mint=t1+t2+t3+t4+t5+5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3，20*x2，15*x3/2，20*x4，210*x5/10）

t2=max（10*x2/3，20*x3，15*x4/2，20*x5，210*x1/10）

t3=max（10*x3/3，20*x4，15*x5/2，20*x1，210*x2/10）

t4=max（10*x4/3，20*x5，15*x1/2，20*x2，210*x3/10）

t5=max（10*x5/3，20*x1，15*x2/2，20*x3，210*x4/10）

假設(shè)k=150人，求得結(jié)果如下（運(yùn)算程序見附件1）：

x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3155秒

模型二：我們考慮班級與班級之間的學(xué)號問題及多臺儀器的錄制學(xué)號問題。

①若考慮班級與班級的學(xué)號問題即每個(gè)班級的第一個(gè)學(xué)生與上一個(gè)班級的最后一個(gè)學(xué)生的學(xué)號不相連，所以就存在一個(gè)錄入時(shí)間5秒，用輪轉(zhuǎn)法得出5項(xiàng)測試有4項(xiàng)存在這個(gè)錄入時(shí)間（因?yàn)槲覀冊谶@里把每一批次的學(xué)生看作一個(gè)整體，故不存在耗時(shí)多向耗時(shí)少輪轉(zhuǎn)與耗時(shí)少向耗時(shí)多的差異，只有一個(gè)學(xué)號不相連的5秒差）。按時(shí)間分我們得出耗時(shí)間最長的臺階測試不要加，其余4項(xiàng)均加一個(gè)5秒。因此下面的第一項(xiàng)至第五項(xiàng)測試分別為臺階試驗(yàn)、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力、身高與體重。

我們將一批次的K個(gè)學(xué)生分成學(xué)號相連的5組

第一項(xiàng)測試：x1，x2，x3，x4，x5；第二項(xiàng)測試：x2，x3，x4，x5，x1因隊(duì)伍的學(xué)號加了一個(gè)錄入時(shí)間；第三項(xiàng)測試：x3，x4，x5，x1，x2因隊(duì)伍的學(xué)號加了一個(gè)錄入時(shí)間；第四項(xiàng)測試：x4，x5，x1，x2，x3因隊(duì)伍的學(xué)號加了一個(gè)錄入時(shí)間；第五項(xiàng)測試：x5，x1，x2，x3， x4因隊(duì)伍的學(xué)號加了一個(gè)錄入時(shí)間。

②一項(xiàng)測試有多臺儀器的項(xiàng)目均需增加一個(gè)錄入時(shí)間5秒。

得出如下（運(yùn)算程序見附件2）：

由個(gè)班級組合成一個(gè)人數(shù)為k的批次

mint=t1+t2+t3+t4+t5+n*5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3+5+5，20*x2+5，15*x3/2+5+5，20*x4+5，210*x5/10+5）

t2=max（10*x2/3+5+5，20*x3+5，15*x4/2+5+5，20*x5+5，210*x1/10+5）

t3=max（10*x3/3+5+5，20*x4+5，15*x5/2+5+5，20*x1+5，210*x2/10+5）

t4=max（10*x4/3+5+5，20*x5+5，15*x1/2+5+5，20*x2+5，210*x3/10+5）

t5=max（10*x5/3+5+5，20*x1+5，15*x2/2+5+5，20*x3+5，210*x4/10+5）

假設(shè)k=150，n=1，得：x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3180秒

由以上結(jié)果我們得出規(guī)律并編排出表1：①用輪轉(zhuǎn)法時(shí)，要將同一批次的學(xué)生均衡的分配。②學(xué)生測試用時(shí)最多的盡量充分利用。

因?yàn)?0+75=115<210，

所以我們將時(shí)間最短的兩個(gè)項(xiàng)目看作整體，得出表2：

由以上分析得，一批次的學(xué)生為40人最佳，其次是50人。但學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有的項(xiàng)目。因而我們只有向40、50拼湊，次可選組合人數(shù)80，90，100，120，故可選組合數(shù)為40、50、80、90、100、120。又因?yàn)槿藬?shù)越多學(xué)生的等待時(shí)間越長，所以數(shù)字盡量小且數(shù)字只能比可選人數(shù)小而不能比可選人數(shù)大。

我們將附表得如下分組：①40人的組有3個(gè)。②50人的組有8個(gè)。③79人的組有2個(gè)。（可以當(dāng)作4個(gè)40人的組）。④80人的組有9個(gè)。（可以當(dāng)作18個(gè)40的組）。⑤89人的組有1個(gè)。（可以當(dāng)作1個(gè)40人的組和1個(gè)50人的組）。⑥90人的組有1個(gè)。（可以當(dāng)作1個(gè)40人的組和1個(gè)50人的組）。⑦99人的組有1個(gè)。（可以當(dāng)作2個(gè)50人的組）。⑧120人的組有2個(gè)。（可以當(dāng)作6個(gè)40人的組）。

即我們把附表中的班級當(dāng)作36個(gè)40人的組和12個(gè)50人的組。

k=40m+50n≤150

4m11+5n11≤15000/225 4m12+5n12≤1170/225

4m21+5n21≤15000/225 4m22+5n22≤1170/225

m11+m12+m21+m22=36 n11+n12+n21+n22=12

按照優(yōu)先填滿原則，求得：

答案一：m11=14n11=2m12=8n12=4 答案二： m11=9n11=6m12=13n12=0

我們可以參照上面其中一個(gè)答案編排出學(xué)生測試時(shí)間安排表，結(jié)果所有56個(gè)班級所需要的時(shí)段為4個(gè)，如表3所示：

這個(gè)表格雖然不是時(shí)間編排最緊湊的（即可以把第二天下午測試的批次分配到其余三個(gè)時(shí)段），經(jīng)過我們的分析得出：第二天下午不能完全分配到其余三個(gè)時(shí)段，因而最少時(shí)段仍為4個(gè)時(shí)段，且學(xué)生的等待時(shí)間均相等。故我們在這不再做調(diào)整。

第I批次的學(xué)生在測試場地的時(shí)間各項(xiàng)測試的總時(shí)間

批次為40人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T1=（40*21+5+5*5-275）*40=23800秒；批次為50人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T2=（50*21+5+14*5-275）*50=43550秒；批次為79人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T3=（80*21+5+4*5-275）*79=112970秒；批次為80人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T4=（80*21+5+18*5-275）*80=120000秒；批次為89人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T5=（90*21+5+2*5-275）*89=145070秒；批次為90人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T6=（90*21+5+2*5-275）*90=146700秒；批次為99人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T7=（100*21+5+3*5-275）*99=182655秒；批次為120人的學(xué)生的總等待時(shí)間：T8=（120*21+5+8*5-275）*120=274800秒。

按上述編排方法可以得到最佳方案，即測試所需段數(shù)最少為4段，學(xué)生等待的總時(shí)間為1049545秒。

參 考 文 獻(xiàn)

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[3] 費(fèi)培之，程中瑗.數(shù)學(xué)模型實(shí)用教程[M].成都：四川大學(xué)出版社，1999.

[4] 唐應(yīng)輝，唐小我.排隊(duì)論——基礎(chǔ)與分析技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2006.