艾小川,陳華,張四蘭

(1.海軍工程大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430033)

(2.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430068)

(3.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

三項(xiàng)指數(shù)和四次均值的精確計(jì)算公式(2)

艾小川1,陳華2,張四蘭3

(1.海軍工程大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430033)

(2.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430068)

(3.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

本文進(jìn)一步深入研究了三項(xiàng)指數(shù)和四次均值的計(jì)算問(wèn)題.運(yùn)用指數(shù)和的相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合求解同余方程組的方法與技巧,利用兩種不同的方法獲得了兩個(gè)精確的均值計(jì)算公式,揭示了三項(xiàng)指數(shù)和的計(jì)算與同余方程組解的個(gè)數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系,推廣了已有的結(jié)果.

三項(xiàng)指數(shù)和;四次均值;轉(zhuǎn)換公式;同余方程組

1 引言

指數(shù)和與著名的華林問(wèn)題有著密切的聯(lián)系,它在華林問(wèn)題的主項(xiàng)研究中起著重要的作用.許多著名的學(xué)者如華羅庚、Weil、高斯等對(duì)指數(shù)和的上界估計(jì)做出了重要的貢獻(xiàn)[1-6].近些年來(lái),指數(shù)和高次均值的計(jì)算成了這一領(lǐng)域的熱點(diǎn),相關(guān)研究成果豐碩[7-11,13-17].

設(shè)q,m,s,n,k,t為整數(shù),且q≥3,定義二項(xiàng)指數(shù)和與三項(xiàng)指數(shù)和如下:

其中e(x)=e2πix,表示對(duì)所有滿(mǎn)足(a,q)=1的整數(shù)a求和.

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)于二項(xiàng)指數(shù)和的各種性質(zhì)做了深入細(xì)致的研究,取得了眾多的研究成果[7-11,16,17].但是關(guān)于三項(xiàng)指數(shù)和的各類(lèi)性質(zhì),國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究尚不多見(jiàn).

1972年,Mordel[12]利用三項(xiàng)指數(shù)和成功的研究mod p剩余類(lèi)的有理函數(shù)表示.

2012年,陳華等人[13]研究了帶Dirichlet特征的三項(xiàng)指數(shù)和四次均值的計(jì)算公式,并給出了的精確計(jì)算公式.

2014年,論文[14]給出了三項(xiàng)指數(shù)和的四次均值

在k=2t,(t,p-1)=1,2時(shí)的精確計(jì)算公式,主要結(jié)果如下:

命題1.1設(shè)p為素?cái)?shù),則對(duì)任意固定的滿(mǎn)足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

本文將進(jìn)一步深入討論三項(xiàng)指數(shù)和四次均值的計(jì)算問(wèn)題,在命題1.1的條件下,給出在(t,p-1)=3,4時(shí)的精確計(jì)算公式,本文主要結(jié)果見(jiàn)定理1.1.此外,本文還將給出命題1.1和定理1.1的一個(gè)簡(jiǎn)化證明方法.

定理1.1設(shè)p為奇素?cái)?shù),則對(duì)任意固定的滿(mǎn)足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

2 引理和定理的證明

首先給出定理證明中需要用到的幾個(gè)引理.

高校在“愛(ài)國(guó)”教育上應(yīng)做到：組織大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)，參與“挑戰(zhàn)杯”和“互聯(lián)網(wǎng)+”等活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注國(guó)家的發(fā)展，勇于創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)，推動(dòng)國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展；組織革命歌曲大聯(lián)唱、詩(shī)詞大會(huì)、成語(yǔ)大會(huì)、“成人禮”等教育活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)國(guó)學(xué)，弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把握主觀意識(shí)形態(tài)，分辨認(rèn)識(shí)誤區(qū)，堅(jiān)持國(guó)家利益高于一切；組織國(guó)防安全、大學(xué)生入伍等學(xué)習(xí)教育活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)軍隊(duì)的過(guò)硬作風(fēng)，了解軍事，積極投身于國(guó)防建設(shè)，堅(jiān)決捍衛(wèi)國(guó)家的主權(quán)和領(lǐng)土完整。

引理2.1設(shè)p≥3,t是正整數(shù),(n,p)=1,則有

其中

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[14]中的引理3.

引理2.2

證易見(jiàn)的值為如下同余方程組解的個(gè)數(shù),

其中2≤a,c≤p-1.

情形1若(t,p-1)=3,則xt≡1(modp)有3個(gè)解,分別記為1,其中A2(modp),A3≡1(modp),則(2.1)等價(jià)于如下方程組:

情形2若(t,p-1)=4,則xt≡1(modp)有4個(gè)解,分別記為±1,±A,其中A2≡-1(modp)所以(2.1)式等價(jià)于如下方程組:

此時(shí)ct≡At≡1(modp)與條件矛盾,無(wú)解;

此時(shí)

下面證明定理1.1.

在引理2.1中令(t,p-1)=3,結(jié)合引理2.2可得

類(lèi)似的,在引理2.1中令(t,p-1)=4,結(jié)合引理2.2可得

在命題1.1及定理1.1中令t=1,2,3,4,可得如下結(jié)論.

推論2.1設(shè)p為素?cái)?shù),則對(duì)任意固定的滿(mǎn)足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

3 定理1.1的另一種證明

這一部分將給出三項(xiàng)指數(shù)和的四次均值

在k=2t時(shí)的簡(jiǎn)化證明方法.

當(dāng)k=2t時(shí),有

上式的計(jì)算可歸結(jié)為求解同余方程組的問(wèn)題,經(jīng)分析和計(jì)算亦可獲得命題1.1及定理1.1中的結(jié)果,此處不再展開(kāi)討論.

本文進(jìn)一步深入研究了三項(xiàng)指數(shù)和四次均值

的計(jì)算問(wèn)題,獲得了k=2t,(k,p-1)=3,4時(shí)的精確計(jì)算公式,推廣了論文[14]中的結(jié)果.下一步將用本文提出的方法研究

的計(jì)算問(wèn)題.本文所使用的思想和方法對(duì)于四項(xiàng)指數(shù)和與更多項(xiàng)指數(shù)和也有一定的借鑒作用,但其算法復(fù)雜度大大增加.

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RESEARCHING THE RELATION BETWEEN THE THREE-TERM EXPONENTIAL SUMS AND THE SYSTEM OF THE CONGRUENCE EQUATIONS

AI Xiao-chuan1,CHEN Hua2,ZHANG Si-lan3
(1.School of Science,Navy University of Engineering,Wuhan 430033,China)
(2.School of science,Hubei University of Technology,Wuhan 430068,China)
(3.College of Science,Huazhong Agricultural University,Wuhan 430070,China)

In this paper,the computation problem of the fourth power mean of the three-term exponential sums is further studied.By using the properties of exponential sums and various techniques and methods of solving the system of congruence equations,two explicit formulas of mean value are given throughout two different methods.Moreover,the essential relation between the fourth moment and the system of congruence equations is discovered.

three-term exponential sum;fourth power mean;transform formula;the system of congruence equations

tion:11T23;11T24

0156.4

A

0255-7797(2017)01-0177-08

2014-06-27接收日期:2014-11-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(NSFC61502156);海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金(HGDQNSQJJ15001);湖北省自然科學(xué)基金(2014CFB189);湖北工業(yè)大學(xué)博士啟動(dòng)基金(BSQD13051).

艾小川(1978–),女,江蘇南京,講師,主要研究方向:數(shù)論與密碼學(xué).

陳華.