例談數(shù)列中參數(shù)范圍問題的多種解題方法

祝忠虎

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 737200)

近年來,各省高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類題涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，能較好地考查學(xué)生的思維能力，很值得重視和探究.下面舉例說明此類問題的解題策略，供參考.

一、分離參數(shù)法

例1 已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式Sn>kan-2對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解 (1)略.

所以，不等式3(2n-1)>k·3·2n-1-2,即k<2-

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于參數(shù)與主變量未分開的不等式恒成立問題優(yōu)先考慮分離參數(shù)再轉(zhuǎn)化為最值問題處理.

二、單調(diào)性法

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于與數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的不等式恒成立問題可以利用數(shù)列單調(diào)性定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題的一般形式再求參數(shù)范圍.

三、最值(有界性)法

(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Rn,已知正實(shí)數(shù)λ滿足：對(duì)任意正整數(shù)n,Rn≤λn恒成立，求λ的最小值.

∴λn≥Rn>4n-1,即(λ-4)n>-1對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立.

另一方面，當(dāng)λ=4時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有Rn≤4n.

事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(m∈N*),

則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2n)<8m=4n.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1(m∈N*),

則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n.

∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有Rn≤4n.

綜上所述，正實(shí)數(shù)λ的最小值為4

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于一邊能求和(或放縮后能求和)的數(shù)列不等式恒成立問題，一般先求和再求出數(shù)列和的最值(或上界、下界)，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.

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[3]蘇振新.高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法研究[J].黑河學(xué)刊,2014(12):95-96.