江蘇/徐照姝

小學數學中整除性問題及其教學的探究

在小學數學四則運算中，加法和乘法永遠是可能進行的，就是說任何數都能相加或相乘。減法則不然，減法的條件很清楚，就是減數不能大于被減數。除法則又和減法有所不同，譬如能整除的除法有一定的條件限制，同時要想判斷一個數能否被另一個數整除，是小學數學教學中比較困難的一個問題。下面就數的整除性和教學有關問題作些探討。

一、數的整除性

為了進行整除性的判斷，我們需要首先學習一下有關的定理。定理1：如果a能整除c，d能整除a，那么d能整除c，c/a，a/d，則c/d。證明略。定理2：如果兩個加數c1和c2能被同一個自然數a整除，那么它們的和也能被這個自然數a整除，即c1/a，c2/a，C2/a，則(c1+c2)/a。證明略。

二、數的整除特征

數的整除特征較多，下面列舉常見的三種。(1)尾數能被2整除的數，一定能被2整除。例如數6534，其最后一位數4能被2整除，所以6534能被2整除。在自然數里，奇數和偶數是相互交錯的，如1是奇數，2是偶數，3是奇數，4是偶數等等。(2)個位上的數之和能被3整除的數就能被3整除。例如數5421，個位上的數的和12能被3整除，那么5421也能被3整除。我們再把1000分成999加l，把100分成99加1，把10分成9加1。這樣，我們可以用5倍999和5個單位來代替5000，以4倍99和4個單位來代替400；以2倍的9和2個單位來代替20，加數999、99和9都能被3整除，如果5+4+2+1的和能被3整除，那么5421也能被3整除。事實上5421÷3=1807。因此，我們說3能整除且僅能整除個位上的數的和能被3整除的數。(3)能被7、11、13整除的數的特征。關于能被7、1l、13整除的數的特征，論證起來比較復雜。

三、用輾轉相除法求最大公約數

輾轉相除法因涉及到一些理論問題，而且比較復雜，在小學數學教學中不常用，所以只作簡單探討。

用輾轉相除法求最大公約數。例如45和15，因為15能整除45，15也能整除15，所以15是45和15的公約數，也是最大公約數。實際上，因為145=50×2+45，所以45=145-50×2。由這兩個等式，根據二數的和與差的整除性，可以得出50和45的公約數，也是145的約數；145和50的公約數，也是45的約數。這樣，145和50、50和45有相同的公約數，所以它們的最大公約數也應當相同。我們知道用50除145，不能整除，得商2，余45，那么145和50的最大公約數應當等于50和45的最大公約數；再用45除50，仍不能整除，得商l，余5，這時50和45的最大公約數應當等于45和5的最大公約數。

四、整除教學的方法

因為有關數的整除知識，其中很大一部分是學習分數的必需的知識。所以，在小學教學這部分數學內容，是有一定難度的。但是，我們也應該看到，不僅如此，其中很大一部分內容，學生已經學過，只是在那時限于學習的重點是別的知識，以及考慮到兒童對知識的可接受性，沒有把問題提出來，或者沒有把問題展開來談。因此，我們說數的整除知識的學習，可加深對整數知識的理解。這里就數的整除的教學，先提出幾個帶有共同性的問題供作參考。

(一)在教學過程中，要注意使學生正確理解和區(qū)別這些不同的概念。其中有些概念都是同時出現(xiàn)的，弄得不好，學生就混淆不清。另外，這些概念在一定程度上來說，是一環(huán)扣一環(huán)的，前者不清，后者難學。為此，對于每一個概念，都應該講解得清清楚楚，務使學生確切理解。

(二)如果在教學中教師能注意充分利用學生已有的知識，有些內容是不難理解的。例如，關于整除、約數、倍數、偶數、奇數等知識，學生都已學過，只是在當時沒有明確地提出這些概念罷了。對這樣引入新概念學生理解起來，不會有什么困難。同時，我們還應該看到，在教學這部分知識過程中，有些概念是同時出現(xiàn)的，而且它們又是緊密聯(lián)系著的，講清前者就為學習后者作了準備；講了后者又復習、鞏固了前者，提高了對前者的認識。另外，像有些概念，如偶數和奇數這兩個概念，學生在認數以及進行整數四則計算中，早已很熟悉，只是沒有去講解就是了。教學中只要把自然數列出一部分，向學生指出哪些數是偶數，哪些數是奇數，學生是會很快把它們熟悉起來的。即使像質數與合數、分解質因數等這些新概念，如能在教學中充分利用學生的已有知識，教材處理得好，教法得當，學生也不會感到十分生疏，理解起來也不會困難太大。

(三)注意通過實例對比講清教材內容。數的整除這部分教材，在講授過程中，不要求作理論上的闡述，而主要是通過實例，采取分析、對比的方法，使學生理解所學內容。例如講整除時，就舉實例加以說明，并使所舉的實例包括各種情況。這樣進行分析、歸納，學生對除法算式的異同印象深刻，對整除概念，理解得透徹，在理解整除的意義的基礎上，結合所舉實例講解倍數和約數，學生就會感到是自己已經知道了的知識似的，不會有什么生疏之感。一個有限，一個無限，一個最大，一個最小，這樣通過實例進行分析比較，學生印象會十分深刻，獲得的知識也會牢固。

關于數的整除的特征，也主要是通過實例進行分析歸納，找出能被2、5、3整除的特征。教學中不要擴大教材內容，把教材中的內容講清楚，使學生牢固地掌握起來就可以了。

學習數的整除這部分內容，在一定意義上來說是為進行分數計算作準備的。因此，就小的段落來說，則分解質因數又是個重點。而在每一部分教學內容中又有其重點。筆者認為，教學中要抓住大的重點和每一部分的重點，把這些內容講解清楚，即可收到舉一反三之效。教師在講述這部分知識時，如果教材處理得當，講授得法，是會收到良好效果的。

江蘇省新沂市新店鎮(zhèn)小湖中心小學)