林克正，王海燕，李 驁，榮友湖

哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院，哈爾濱 150080

高效求解方法的核典型相關分析算法*

林克正+，王海燕，李 驁，榮友湖

哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院，哈爾濱 150080

針對高維小樣本數(shù)據(jù)在核化圖嵌入過程中出現(xiàn)的復雜度問題，引入基于核化圖嵌入（kernel extension of graph embedding）的快速求解模型，提出了一種新的KGE/CCA算法（KGE/CCA-St）。首先將樣本數(shù)據(jù)投影到維數(shù)遠低于原樣本空間維數(shù)的總體散度矩陣對應的秩空間，然后采用核典型相關分析進行特征提取，整個過程減少了核矩陣的計算量。在Yale人臉庫和JAFFE人臉庫上進行仿真實驗，結果表明這種KGE/CCA算法的識別率明顯優(yōu)于KFD、KLPP和KNPE算法的識別率；和傳統(tǒng)的KGE/CCA算法相比，在不影響識別率的情況下，KGE/CCA-St算法有效減少了計算時間。

核化圖；典型相關分析；降維處理；散度矩陣

1 引言

人臉識別過程主要包括人臉圖像檢測、特征提取、模式識別匹配等幾個流程，其中特征提取環(huán)節(jié)是人臉識別整個流程中最核心的步驟[1]。線性特征提取方法，是對原始樣本進行線性映射并變換到一個低維空間進行鑒別信息的提取，提取出來的是人臉圖像的線性特征。目前，產(chǎn)生了大量經(jīng)典的線性特征提取方法，在各個領域得到了廣泛的應用，其中主要有主成分分析（principal component analysis，PCA）[2]、線性鑒別分析（linear discriminant analysis，LDA）[3]等方法。

典型相關分析（canonical correlation analysis，CCA）方法，也是一種線性特征提取方法，提取的是人臉數(shù)據(jù)的線性特征。該方法通過找到兩組特征之間的相關性，并使其最大化[4]，去除了特征間的冗余信息，最后將兩組特征融合成一個特征。CCA融合后的特征具有統(tǒng)計不相關性，同時增加了特征信息量，然而人臉圖像數(shù)據(jù)中非線性的鑒別信息沒有被充分地挖掘出來，而這些未被挖掘出來的非線性的鑒別信息往往是人臉識別分類的關鍵。核方法是一種有效的方法，用核方法來增強典型相關分析方法，不僅能剔除冗余信息，增強鑒別信息，還能解決人臉圖像特征線性不可分問題，挖掘出非線性因素。經(jīng)核方法擴展后的典型相關分析，表征能力更強[5]，更有助于人臉識別。近年來，還涌現(xiàn)出了核算法與一些經(jīng)典線性算法相結合的算法[4]，如核主成分分析方法（kernel principal component analysis，KPCA）[6]、核線性鑒別分析（kernel linear discriminant analysis，KLDA）[7]、核Fisher判別（kernel Fisher discriminant analysis，KFD）[8]、核局部保持投影（kernel locality preserving projection，KLPP）[9]、核鄰域保持嵌入（kernel neighborhood preserving embedding，KNPE）[10]等。這些基于核函數(shù)的方法都可以被歸納為核化圖嵌入（kernel extension of graph embedding，KGE）[11]。

在核典型相關分析算法的研究中發(fā)現(xiàn)，在核的圖嵌入過程中，核矩陣中的內積運算的時間復雜度由樣本數(shù)量和樣本矢量維數(shù)決定。針對核化圖算法中核矩陣計算量大的問題，引入了一種基于核化圖高效求解的方法，即在對樣本進行核化圖嵌入之前就先對樣本進行降維處理，大大減少了計算量；然后對降維后的樣本數(shù)據(jù)進行核映射處理；最后再找出投影到高維特征空間的投影矢量之間的典型相關關系。這樣得出了一種高效求解方法的核典型相關分析算法，達到減少存儲空間和計算時間的目的。這個處理過程為高效快速的人臉識別打好了基礎[12]。

2 典型相關分析

典型相關分析研究的是兩個隨機矢量的相互關系[13]，將兩組隨機矢量之間的研究簡化成幾對變量特征的研究[14]，是一種非常有效的多元統(tǒng)計方法。此方法應用到人臉識別領域中的特征提取過程時，就是在線性空間下，建立兩組特征向量之間的相關準則函數(shù)，求得投影矢量集，然后將兩組特征矢量之間的典型相關性特征作為有效鑒別信息[15]，既達到了信息融合的目的，還消除了特征之間的冗余信息[16]。設有兩個樣本分別為，CCA方法的目標是對兩個等式和進行組合求解，找出使這兩個等式之間的相關性達到最大的兩組基向量φx∈?p和φy∈?q。假設變量Cxx和Cyy分別表示樣本X和Y的協(xié)方差矩陣，Cxy表示樣本X和樣本Y的互協(xié)方差矩陣，E[·]表示期望。因此CCA方法的目標函數(shù)可表示為：

式（1）中：

根據(jù)式（1）中定義的相關系數(shù)，CCA方法的準則函數(shù)可轉化為求解式（2）：

求投影軸φx和φy方向上的特征值，且求得的特征值滿足。在所求得的特征值中選d對(d≤r)非零的特征值，求解出這d對特征值對應的特征向量，這些特征向量將被當作典型投影方向φxi和φyi，i=1,2,…,d，因此φxi和φyi可作為提取特征x?和y?。

3 核化圖嵌入算法

圖嵌入的基本思想是找到原始訓練樣本的低維特征結構，同時保留高維特征空間頂點的相似性，也即找到符合這兩個要求所對應的投影矢量a或者投影矩陣A（如果需要多個投影矢量）。對于一個原始訓練樣本數(shù)據(jù)X={x1,x2,…,xN}∈Rp×N，假設變量W為其相似度矩陣，圖G={X,W}是一個無向有權圖。原始樣本中的每一個點xi表示這個圖中的一個頂點，而矩陣中的每個度量表示樣本間的相似度，衡量樣本間近鄰點的相似度。因此相似度矩陣中的矩陣度量值可表示如下：

假設圖G的拉普拉斯矩陣為L，則拉普拉斯矩陣的定義式可以用相似度矩W和一個對角矩陣D來定義，它的對角元素的值為W對應的一行元素值的和，如式（5）所示：

因此，圖嵌入就是在保留高維空間中頂點相似性的同時，找到一個原始數(shù)據(jù)的低維表示，即X?=ATX。由以上分析可以得到一個線性圖嵌入框架的準則函數(shù)如式（6）：

通過求解式（7），可得最優(yōu)投影矢量a?：

核化圖嵌入則是在線性圖嵌入框架的基礎上，引入了非線性映射K，替換了線性內積，解決了原始樣本中存在低維空間不可線性化問題[17]。設原始訓練樣本為X，則原始樣本經(jīng)過非線性映射K后，樣本可表示為K(X)={K(x1),K(x2),…,K(xN)}。因此在原始訓練樣本通過非線性映射后，由于滿足aTK(X)LK(X)Ta=1，核化圖嵌入框架的最優(yōu)投影可表示為：

a?可通過求解下式的最大特征值所對應的特征向量得到：

4 高效求解方法的KGE/CCA算法

4.1 KGE/CCA算法的具體理論推導

假設原始訓練樣本中有兩個樣本分別為X={x1,x2,…,xN}∈Rp×N和Y={y1,y2,…,yN}∈Rq×N，這兩個樣本無向有權圖可分別表示為G={X,Wx}，G={Y,Wy}，其中Wx和Wy分別為X和Y相似度矩陣，矩陣中的度量表示樣本間的相似度，分別代表X和Y中的樣本i和j的相似度，它們的定義可參考式（4）。

假設兩個樣本最后求得的最優(yōu)投影為α∈Rp和β∈Rq，設分別為兩個樣本核化后在高維特征空間中測試樣本的均值向量，則有表達式和表達式。核函數(shù)的均值化處理，使得小樣本問題下高維特征空間中有效鑒別信息得到了較好的保留。根據(jù)式（8）可得兩個樣本的在高維特征空間的KGE方法的目標函數(shù)分別為式（10）和（11）：

原始樣本在高維特征空間的投影可通過式（10）和（11）來計算，這樣便將原始樣本投影到低維特征空間，提取了樣本數(shù)據(jù)的非線性特征。為了保證提取的非線性特征具有統(tǒng)計不相關性，再采用CCA方法，找到核化圖嵌入后的映射到高維特征空間中向量之間的相關關系，找到鑒別矢量，最終融合成一個特征。找到投影到高維特征空間中兩個向量之間的典型相關性，即找到投影方向上和投影方向上的相關性最大。其中假設變量Cxx和Cyy分別表示樣本X和Y的協(xié)方差矩陣，Cxy表示樣本X和樣本Y的互協(xié)方差矩陣，由典型相關分析方法的原理，可得KGE/ CCA方法的目標函數(shù)為式（12）：

等價于式（13）：

其中，Cxx、Cyy、Cxy分別定義如下：

又由于

且存在以下兩個等式：

因此，KGE/CCA方法的準則函數(shù)為：

4.2 核化圖嵌入算法的高效求解模型的引入

KGE/CCA方法融合了核化圖嵌入算法和典型相關分析算法，對兩個樣本進行處理的過程中需要大量的計算。整個算法過程中，在核化圖嵌入之前，先對樣本進行降維處理。將一種減少計算量的同時不影響最終結果的求解模型引入進來，形成的新方法暫且記為KGE/CCA-St。先將樣本降維到一個低維的特征空間，以減少維數(shù)。這個低維特征空間可以由總體散度矩陣St的非零特征值所對應的特征向量來求得。由于St的秩遠遠小于維數(shù)，故這種方法能夠起到降維的目的?？傮w散度矩陣St由下式計算：

對原始樣本采用PCA算法降維，投影到總體散度矩陣St的非零特征值對應的特征空間，記為H。在這個秩空間H中存在一個子空間Φt=span{α1,α2,…,αm}，并且設在這個H空間中St為總體散度矩陣，為H空間中子空間Φt的正交補空間。由此可知，這個正交補空間為協(xié)方差矩陣的零空間，則式（22）成立：

由上式可知，假設?∈Φt，δ∈，φ∈H，則φ=?+δ成立，由于為協(xié)方差矩陣的零空間，則式（23）成立：

以西門子MM420變頻器為例，為使S7-200 PLC與MM420變頻器以USS協(xié)議通訊，需要對MM420變頻器做的參數(shù)設置如下[8]：

也就是等式Jφ(φ)=Jφ(?)成立，因此對于核化圖嵌入算法的目標函數(shù)式（8）中為了不損失任何有效的鑒別信息，可以從?中選取鑒別矢量。將原始樣本轉換到總體散度矩陣對應的秩空間，之后進行核化圖操作，不影響鑒別信息的提取。因此，此種模型可以作為核典型相關分析的一種節(jié)省時間的快速求解方法。

4.3 KGE/CCA-St算法描述

根據(jù)KGE/CCA-St算法理論的具體推導過程，可以得到KGE/CCA-St算法的結構圖如圖1所示。

Fig.1 Steps of KGE/CCA-St圖1 KGE/CCA-St算法步驟圖

人臉圖像的正確分類識別需要完成三部分的工作：采集人臉圖像數(shù)據(jù)、特征提取和人臉識別。本文提出的快速求解方法的核典型相關分析算法（KGE/ CCA-St）的人臉識別流程如下：

5 實驗結果與分析

選擇在Yale和JAFFE標準的人臉庫上進行仿真實驗，采用高斯核函數(shù)k(x,y)=exp(||x-y||2σ)，σ= 5.5E+7。

（1）對基于核方法的4種降維算法，如KFD、KLPP、KNPE算法，與KGE/CCA算法進行比較實驗，驗證KGE/CCA算法的有效性。

（2）驗證KGE/CCA算法和KGE/CCA-St算法的識別率的等效性。

首先在Yale標準人臉庫上，在每個人臉類別里選擇4幅圖像作為實驗的訓練樣本集，將其他的作為測試樣本集。而在JAFFE人臉表情庫上，每個人臉類別隨機抽取5幅圖像作為訓練樣本集，其他剩余的人臉圖像將作為測試樣本集。通過這兩個人臉庫的實驗，考查KFD、KLPP、KNPE、KGE/CCA這4種算法的識別率隨著特征維數(shù)的變化情況，結果如圖2所示。

Fig.2 Comparison of recognition rate of 4 algorithms on different feature dimensions圖2 不同特征維數(shù)下4種算法的識別率比較

由圖2可知，在Yale人臉庫中訓練樣本數(shù)為4時，本文KGE/CCA算法在特征維數(shù)為30時，識別率達到最高的78.7%，且算法的最高識別率相對其他3種算法的識別率都有較明顯提高。在特征維數(shù)為20時，4種算法的識別率基本差不多，特征維數(shù)大于20之后，KGE/CCA算法表現(xiàn)出了優(yōu)越性。在JAFFE人臉庫的實驗中，KGE/CCA算法在特征維數(shù)為35時，識別率達到最高的87.1%。本次實驗結果圖（b）較實驗結果圖（a）中的點相對稀疏，也就是說算法間的識別率差別較明顯。這是由于JAFFE人臉庫是一個表情變化較大的表情庫，充分驗證了本文提出的KGE/ CCA算法對于表情復雜的情況識別率較理想。KLPP、KNPE兩種算法的圖線波動變化不大，總體識別率較接近，而KGE/CCA較其他3種算法都有很明顯的優(yōu)勢。

5.2 識別率與訓練樣本數(shù)的關系

分別在Yale和JAFFE標準的人臉庫上做實驗，考查4種識別算法在選擇不同的訓練樣本個數(shù)i(i=2, 3,4)時，識別精度的變化范圍。對實驗所選的訓練樣本數(shù)組都重復實驗10次，4種算法的識別率隨不同訓練樣本數(shù)變化的情況如表1和表2所示。

Table 1 Recognition rate comparison on Yale face database with different methods表1 在Yale人臉庫中不同算法的識別率對比

Table 2 Recognition rate comparison on JAFFE face database with different methods表2 在JAFFE人臉庫中不同算法的識別率對比

由表1可知，在取樣本數(shù)為2、3、4時，各算法間識別率差別不大，但是由識別率后面的數(shù)字可知，各算法在重復進行實驗時，識別率波動范圍較大。在不同的訓練樣本數(shù)下，KGE/CCA算法都較其他3種算法有明顯的優(yōu)越性。

由表2可得，4種算法在訓練樣本數(shù)較低的情況下的識別性能與較高時的識別性能差別較大，在取不同的訓練樣本數(shù)重復進行實驗時，由識別率后面的數(shù)字可知，較上次實驗中，波動范圍較小，也就是算法的穩(wěn)定性較高。無論訓練樣本個數(shù)選擇多少，KGE/CCA算法的識別性能都明顯高于其他3種算法。

5.3 KGE/CCA-St和KGE/CCA識別時間和識別率的比較

由于本文在核化圖嵌入之前進行了降維處理，對于KGE/CCA算法整體引進了一種核化圖嵌入算法的高效求解方法，引入求解模型的算法記為KGE/ CCA-St。對KGE/CCA-St和KGE/CCA算法的計算時間做了對比。首先在Yale標準人臉庫上對每個不同的類別隨機分別選擇4幅圖像作為實驗的訓練樣本集，將其他的作為測試樣本集。而在JAFFE人臉表情庫上每個人臉類別隨機抽取7幅圖像作為訓練樣本集，其他剩余的人臉圖像作為測試樣本集。每次實驗獨立重復10次。表3為KGE/CCA-St和KGE/ CCA算法不同樣本下計算時間的比較。

Table 3 Comparison of computing time between KGE/CCA-Stand KGE/CCA表3 KGE/CCA-St和KGE/CCA計算時間的比較

由表3的結果可以看出，本文KGE/CCA-St算法有效減少了計算時間，提升了計算速度，隨著樣本數(shù)的增加，計算過程所減少的時間占比也呈增加趨勢。本實驗中，樣本數(shù)為4時，已經(jīng)比KGE/CCA算法的時間減少了將近1/2，而樣本數(shù)為7時，時間減少了將近2/3。

6 結束語

本文綜合考慮核化圖算法與典型相關分析算法的優(yōu)點，結合核化圖的一種高效求解方法，提出了一種基于核化圖高效求解方法的核典型相關分析算法。一方面解決了人臉圖像數(shù)據(jù)因光照、姿態(tài)、表情等原因引起的線性不可分的問題，找出了樣本數(shù)據(jù)之間的相關關系，去除了冗余信息，同時在考慮樣本零空間的基礎上，充分挖掘了非零空間的鑒別信息；另一方面，核化圖嵌入算法高效求解方法的引入，解決了計算量大和存儲空間大的問題。實驗結果證明了KGE/CCA-St算法具有較好的識別率和較低的運行時間。然而，本文在識別分類階段，采用的是最簡單的最近鄰分類器，分類規(guī)則過于簡單，在進一步的研究中，可以考慮其他分類器，或者加一些限制分類規(guī)則，從而取得更高的識別率。

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LIN Kezheng was born in 1962.He received the Ph.D.degree in control theory and control engineering from Harbin Engineering University in 2001.Now he is a professor and M.S.supervisor at Harbin University of Science and Technology.His research interests include image processing,machine vision and pattern recognition,etc.

林克正（1962—），男，山東蓬萊人，2001年于哈爾濱工程大學控制理論與控制工程專業(yè)獲得博士學位，現(xiàn)為哈爾濱理工大學教授、碩士生導師，主要研究領域為圖像處理，機器視覺，模式識別等。發(fā)表學術論文70余篇，主持完成了黑龍江省教育廳科研基金項目，承擔過國家科技攻關項目。

WANG Haiyan was born in 1988.She is an M.S.candidate at Harbin University of Science and Technology.Her research interests include image processing and pattern recognition,etc.

王海燕（1988—），女，黑龍江齊齊哈爾人，哈爾濱理工大學計算機科學與技術專業(yè)碩士研究生，主要研究領域為圖像處理，模式識別等。

LI Ao was born in 1986.He received the Ph.D.degree in communication and information systems from Harbin Engineering University in 2014.Now he is a lecturer at Harbin University of Science and Technology.His research interests include sparse representation,image restoration and computer vision,etc.

李驁（1986—），男，黑龍江哈爾濱人，2014年于哈爾濱工程大學通信與信息系統(tǒng)專業(yè)獲得博士學位，現(xiàn)為哈爾濱理工大學講師，主要研究領域為稀疏表示，圖像復原，計算機視覺等。主持國家自然科學基金1項、黑龍江省自然科學基金1項，參與船舶工業(yè)國防科技預研項目1項，發(fā)表學術論文10余篇，授權發(fā)明專利1項。

RONG Youhu was born in 1989.He is an M.S.candidate at Harbin University of Science and Technology.His research interests include image processing and pattern recognition,etc.

榮友湖（1989—），男，江西萍鄉(xiāng)人，哈爾濱理工大學計算機應用技術專業(yè)碩士研究生，主要研究領域為圖像處理，模式識別等。

Kernel Canonical CorrelationAnalysis Based on Solving Method with High Efficiency*

LIN Kezheng+,WANG Haiyan,LIAo,RONG Youhu
School of Computer Science and Technology,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China
+Corresponding author:E-mail:link@hrbust.edu.cn

Aiming at the problem of the complexity of high dimensional small sample data during the process of KGE (kernel extension of graph embedding),by a fast calculation model based on KGE,this paper proposes a new KGE/ CCA algorithm(KGE/CCA-St)which can reduce the computational complexity of kernel matrix.Firstly,sample data are projected into corresponding rank space of total scatter matrix in which the dimension is far lower than that in original sample space.Then,kernel canonical correlation analysis is used for feature extraction,the calculation of kernel matrix is decreased in this process.Through the simulation experiments on Yale face database and JAFFE face database,the results show that the recognition rate of the KGE/CCA algorithms is significantly better than that of KFD, KLPP and KNPE algorithms.Compared with the traditional KGE/CCA algorithm,KGE/CCA-Stcan effectively reduce the computation time without affecting the recognition rate.

kernel extension of graph;canonical correlation analysis;dimension reducing processing;scatter matrix

10.3778/j.issn.1673-9418.1512064

A

TP391.4

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61501147(國家自然科學基金);the Natural Science Foundation of Heilongjiang Province under Grant No.F2015040(黑龍江省自然科學基金).

Received 2015-12,Accepted 2016-04.

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版:2016-04-08,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160408.1642.004.html

LIN Kezheng,WANG Haiyan,LI Ao,et al.Kernel canonical correlation analysis based on solving method with high efficiency.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(2)：286-293.