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      N(2,2,0)代數(shù)的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

      2017-02-20 10:49:18傅小波廖祖華
      計算機(jī)與生活 2017年2期
      關(guān)鍵詞:子代數(shù)模糊集無錫

      傅小波,廖祖華

      1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 無錫 214121

      2.江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無錫 214122

      N(2,2,0)代數(shù)的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

      傅小波1,廖祖華2+

      1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 無錫 214121

      2.江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無錫 214122

      將模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈(屬于)”和“q(λ,μ)(廣義重于)”關(guān)系推廣為“∈δ(Ω-屬于)”和“(Ω-重于)”關(guān)系,提出了-模糊代數(shù)。將-模糊代數(shù)與N(2,2,0)代數(shù)相結(jié)合,給出了點(diǎn)態(tài)化-模糊理想和Ω(λ,μ)-模糊理想的概念,證明了兩者之間的等價關(guān)系,研究了它們的一些基本性質(zhì);最后提出了點(diǎn)態(tài)化-模糊子代數(shù)和Ω(λ,μ)-模糊子代數(shù)的定義,研究了-模糊理想和-模糊子代數(shù)的相互關(guān)系。

      N(2,2,0)代數(shù);-模糊理想;-模糊子代數(shù)

      1 引言

      非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論是處理不確定性信息的有力工具。近年來,越來越多的學(xué)者運(yùn)用代數(shù)學(xué)的相關(guān)理論研究非經(jīng)典邏輯。1996年,鄧方安、徐揚(yáng)從代數(shù)學(xué)的角度對fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)[1]的蘊(yùn)涵算子做進(jìn)一步抽象,提出了N(2,2,0)代數(shù)[2];隨后,眾多學(xué)者對N(2,2,0)代數(shù)的相關(guān)理論做了大量的研究,獲得了許多有意義的結(jié)果[3-7]。

      1965年,美國控制論專家Zadeh創(chuàng)立了模糊集理論[8],隨后模糊集的思想和理論引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,并被廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域;1980年,劉應(yīng)明在文獻(xiàn)[9-10]中給出了模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈(屬于)”和“q(重于)”關(guān)系,極大地促進(jìn)了模糊集理論的發(fā)展;1992年,Bhakat和Das利用“∈(屬于)”和“q(重于)”關(guān)系,在文獻(xiàn)[11]中定義了(∈,∈∨q)-模糊子群。2012年,廖祖華等人將“q(重于)”關(guān)系推廣為“q(λ,μ)(廣義重于)”關(guān)系,在文獻(xiàn)[12]中引入了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數(shù),豐富了模糊集理論,并獲得了許多有意義的結(jié)果[13-15]。

      2001年,Young等人在文獻(xiàn)[16]中提出了Ω-模糊集,并將其與BCK/BCI代數(shù)相結(jié)合,給出BCK/BCI代數(shù)的Ω-模糊理想的概念。2005年,詹建明等人提出了BCK/BCI代數(shù)的Ω-模糊點(diǎn)理想的概念,進(jìn)一步促進(jìn)了Ω-模糊集的發(fā)展[17]。隨后,彭家寅對Ω-模糊集做了進(jìn)一步的研究,給出了BCI代數(shù)的Ω-模糊p-理想、BCI代數(shù)的Ω-模糊H-理想、BCH代數(shù)的Ω-模糊正定關(guān)聯(lián)理想、BCH代數(shù)的Ω-模糊點(diǎn)理想等概念[18-21];2013年,廖祖華等人將Ω-模糊集與群和環(huán)相結(jié)合,并對相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行了研究,獲得了許多有意義的結(jié)果[22-25]。同時,劉衛(wèi)鋒將Ω-模糊集應(yīng)用于布爾代數(shù),給出了Ω-模糊子代數(shù)的概念[26]。2015年,湯華晶將Ω-模糊集與軟集理論相結(jié)合,提出了Ω-模糊軟環(huán)的概念[27]。

      本文在上述工作的基礎(chǔ)上,給定一個集合Ω,提出了模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈δ(Ω-屬于)”和“(Ω-重于)”關(guān)系。若模糊點(diǎn)和模糊集間具有“∈δ(Ω-屬于)”和“(Ω-重于)”關(guān)系的代數(shù)結(jié)構(gòu),稱之為(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)。由定義8及例3可知:若令A(yù)(x,δ)=A′(x),則模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈δ(Ω-屬于)”是“∈(屬于)”,“(Ω-重于)”是“(廣義重于)”,此時,(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數(shù)。在一般情況下,(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)不一定是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數(shù)。因此,(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)是一種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。本文將(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)與N(2,2,0)代數(shù)相結(jié)合,給出了點(diǎn)態(tài)化的(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數(shù)的概念,并討論了其相關(guān)性質(zhì)。

      2 預(yù)備知識

      定義1[2]設(shè)S是含有常元0的集合,在S中定義二元運(yùn)算*和Δ,如果?x,y,z∈S,滿足下列條件:

      (1)x?(yΔz)=z?(x?y)

      (2)(xΔy)?z=y?(x?z)

      (3)0?x=x

      則稱(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),簡稱S是一個N(2,2,0)代數(shù)。

      若(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),則(S,?)和(S,Δ)都是半群,因此N(2,2,0)代數(shù)是帶有一對對偶半群的雙半群;若將定義1中的條件(3)0?x=x,加強(qiáng)為0?x=x=x?0,則(S,?,Δ,0)代數(shù)是一個交換幺半群,且?=Δ。

      例1設(shè)S={0,1},S上的運(yùn)算*和Δ的定義如表1、表2,則S={0,1}是一個N(2,2,0)代數(shù)[2],同時也是一個交換幺半群。

      Table 1 Operator“*”表1 運(yùn)算“?”

      Table 2 Operator“Δ”表2 運(yùn)算“Δ”

      一般情況下,若(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),且?≠Δ,則(S,?,Δ,0)不一定是交換幺半群。

      例2設(shè)S={0,a,b},S上的運(yùn)算?和Δ的定義如表3、表4,則S={0,a,b}是一個N(2,2,0)代數(shù)[3],但不是交換幺半群。

      Table 3 Operator“*”表3 運(yùn)算“?”

      Table 4 Operator“Δ”表4 運(yùn)算“Δ”

      引理1[2]若S是一個N(2,2,0)代數(shù),則?x,y,z∈S,恒有下列等式成立:

      (1)x?y=yΔx;

      (2)x?(y?z)=y?(x?z),(xΔy)Δz=(xΔz)Δy;

      (3)(x?y)?z=x?(y?z),(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)。

      定義2[3]Q是S的子集,稱Q是S上的一個理想,如果滿足下列條件:

      (1)0∈Q;

      (2)?x∈Q,若x?y∈Q,則y∈Q。

      定義3[15]Q是S的子集,稱Q是S上的一個子代數(shù),如果滿足下列條件:

      (1)0∈Q;

      (2)?x,y∈Q,有x?y∈Q且yΔx∈Q。

      定義4[15]設(shè)A是S上的一個模糊子集,稱A是S廣義模糊N(2,2,0)子代數(shù),如果?x,y∈S,滿足下列條件:

      (1)A(0)∨λ≥A(x)∧μ;

      (2)A(x?y)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ;

      (3)A(xΔy)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ。

      定義5[15]設(shè)A是S上的一個模糊子集,稱A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代數(shù),如果?t,r∈(λ,1]及?x,y∈S,則有:

      (1)若xt∈A,則0t∈∨q(λ,μ)A;

      (2)若xt∈A且yr∈A,則(x?y)t∧r∈∨q(λ,μ)A;

      (3)若xt∈A且yr∈A,則(xΔy)t∧r∈∨q(λ,μ)A。

      引理2[15]A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代數(shù)?A是S的(λ,μ)-模糊N(2,2,0)子代數(shù)。

      定義6[12]設(shè)t,λ,μ∈[0,1]且λ〈μ,A是S上的一個模糊集,若A(x)≥t,則稱xt屬于A,記作xt∈A;若λ〈t且A(x)+t>2μ,則稱xt廣義重于A,記作xtq(λ,μ)A;若xt∈A或者xtq(λ,μ)A,則記作xt∈∨q(λ,μ)A。

      本文從現(xiàn)在開始恒假設(shè)λ,μ∈[0,1]且λ〈μ。

      定義7[16]設(shè)Ω,X是非空給定集合,則稱映射A:X×Ω→[0,1]為X的Ω-模糊集。

      3 N(2,2,0)代數(shù)的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想

      4 N(2,2,0)代數(shù)的(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數(shù)

      5 結(jié)束語

      給定一個集合Ω,提出了模糊點(diǎn)和模糊集間更為廣泛的“∈δ(Ω-屬于)”和“(Ω-重于)”關(guān)系的定義,并將其應(yīng)用于N(2,2,0)代數(shù),給出了(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數(shù)的概念;研究了它們的一些基本性質(zhì)及相互之間的關(guān)系,獲得了一些有學(xué)術(shù)意義的結(jié)論。在后續(xù)的工作中,將對(∈δ,∈δ∨)-模糊代數(shù)做進(jìn)一步的研究。

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      FU Xiaobo was born in 1980.He is a lecturer at Wuxi Institute of Technology,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

      傅小波(1980—),男,江蘇灌云人,無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,CCF會員,主要研究領(lǐng)域為人工智能,粒計算等。

      LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

      廖祖華(1957—),男,江西奉新人,江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師,主要研究領(lǐng)域為人工智能,粒計算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇,主持省部級基金項目多項。

      (∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-Fuzzy Ideals ofN(2,2,0)Algebras*

      FU Xiaobo1,LIAO Zuhua2+
      1.Wuxi Institute of Technology,Wuxi,Jiangsu 214121,China
      2.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
      +Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@aliyun.com

      In this paper,“Ω-belongs to(∈δ)”and“Ω-quasi-coincident with()”relationships are generalized by the view of“belongs to(∈)”and“quasi-coincident with(q)”relationships between the fuzzy point and the fuzzy set.The definition of-fuzzy algebra is presented.Combining the-fuzzy algebras and theN(2,2,0)algebras,the concepts of pointwise-fuzzy ideals andΩ(λ,μ)-fuzzy ideals are introduced, and the equivalence relationship of this two definitions is discussed.Some basic properties of them are also studied.Finally,this paper proposes the concepts of pointwise-fuzzy subalgebras andΩ(λ,μ)-fuzzy subalgebras, and studies the mutual relationships between-fuzzy ideals and-fuzzy subalgebras.

      N(2,2,0)algebra;-fuzzy ideals;-fuzzy subalgebras

      10.3778/j.issn.1673-9418.1512084

      A

      TP18

      *The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.611702121,11401259(國家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province under Grant No.BK2015117(江蘇省自然科學(xué)基金);the Scientific Research Subject of Wuxi Institute of Technology under Grant No.3116015931(無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研課題).

      Received 2015-12,Accepted 2016-03.

      CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-03-17,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160317.1129.002.html

      FU Xiaobo,LIAO Zuhua.(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-fuzzy ideals ofN(2,2,0)algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(2):323-332.

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