張民，陳亮，陳欣

(南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院, 江蘇 南京 211106)

基于簡便約束粒子群優(yōu)化算法的空空導(dǎo)彈μ-PID控制器設(shè)計

張民，陳亮，陳欣

(南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院, 江蘇 南京 211106)

針對現(xiàn)有約束粒子群優(yōu)化(PSO)算法存在的算法復(fù)雜、應(yīng)用范圍受限、優(yōu)化效果不佳等缺陷，提出一種新型約束粒子群算法。該算法采用目標(biāo)函數(shù)替換的方法將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問題，具有簡便易用的優(yōu)點。通過典型測試函數(shù)測試并和其他具有代表性的約束PSO算法進(jìn)行對比，表明該算法在處理約束優(yōu)化問題上的優(yōu)越性。為了驗證該算法應(yīng)用于工程的可行性，以樣例導(dǎo)彈縱向模型為對象，針對經(jīng)典Raytheon控制結(jié)構(gòu)，采用該算法設(shè)計了μ-PID控制器。仿真結(jié)果表明，樣例導(dǎo)彈控制器可以在滿足多種時域指標(biāo)的同時具有良好的魯棒性能，達(dá)到了設(shè)計指標(biāo)要求，驗證了所提出算法的有效性。

飛行器控制、導(dǎo)航技術(shù)；空空導(dǎo)彈；粒子群優(yōu)化；約束優(yōu)化；魯棒性

0 引言

近年來，采用非線性優(yōu)化算法來解決控制器優(yōu)化設(shè)計問題的研究已逐步進(jìn)入應(yīng)用階段[1-2]。Kennedy等[3]在1995年提出的粒子群優(yōu)化(PSO)算法，作為其中有代表性的一種群體智能優(yōu)化算法，其具有如下優(yōu)點：1) 算法結(jié)構(gòu)簡單，只需要很少的代碼就可以實現(xiàn)該算法；2) 算法程序在計算量和內(nèi)存占用方面很小，有利于在計算機(jī)上實現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化；3) 與某些優(yōu)化算法不同，PSO算法對目標(biāo)函數(shù)沒有諸如線性、可微、凸集等要求；4) 算法對粒子的初值不敏感。目前，PSO算法已被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)訓(xùn)練、模糊系統(tǒng)控制和決策支持等各領(lǐng)域[1-2, 4]。

標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法無法處理帶等式或不等式約束條件的優(yōu)化問題，這限制了PSO算法在實際工程中的應(yīng)用。為了處理約束優(yōu)化問題，大量的改進(jìn)算法相繼被提出[2, 4]，Michalewicz等[5]在1996年共同提出了罰函數(shù)PSO算法，Bouallègue等[6]在2011年將其應(yīng)用于定結(jié)構(gòu)H∞控制器的設(shè)計中。為了解決傳統(tǒng)的罰函數(shù)PSO算法難以選取合適的懲罰因子的缺陷，蔡海鸞等[7]在2015年提出了一種新的自適應(yīng)懲罰函數(shù)法，該方法通過依據(jù)每一步迭代過程中違背約束條件粒子所占比例來動態(tài)調(diào)整懲罰因子，從而解決了懲罰因子選擇困難問題，成為現(xiàn)今廣泛被采用的一種新型懲罰函數(shù)法。該算法的不足之處在于其收斂性能對于需調(diào)參數(shù)α有很強(qiáng)的依賴性，而該參數(shù)的選擇需要依據(jù)工程人員豐富的經(jīng)驗。Sedlaczek等[8]在2006年提出了增廣拉格朗日PSO(ALPSO)算法來處理約束優(yōu)化問題，Kim等[9]在2008年將其應(yīng)用于PID控制器的設(shè)計中。ALPSO算法的不足之處在于為了處理約束條件而引入了拉格朗日算子，這增加了算法的復(fù)雜性，并且該方法還對目標(biāo)函數(shù)有連續(xù)、可微的要求，限制了該方法的應(yīng)用范圍。上述算法是PSO算法在處理約束優(yōu)化問題中目前具有代表性的方法。

本文提出了一種采用PSO算法處理約束優(yōu)化問題的新穎且簡便易用的算法，該方法的主要優(yōu)點是在處理約束條件時沒有引入任何新的需調(diào)參數(shù)，并且具有優(yōu)良的搜索性能，對目標(biāo)函數(shù)也沒有連續(xù)可微等要求。利用典型測試函數(shù)[10]對該簡便約束PSO算法在處理約束優(yōu)化問題上的性能進(jìn)行了綜合測試，并和其他算法進(jìn)行比較。同時，針對傳統(tǒng)魯棒控制方法如H∞方法、μ綜合方法設(shè)計的導(dǎo)彈控制器存在的階次過高、難以實現(xiàn)等問題[11]，將所提出的簡便約束PSO算法應(yīng)用到導(dǎo)彈控制律的優(yōu)化設(shè)計中，設(shè)計了一種能夠滿足現(xiàn)代空戰(zhàn)對于導(dǎo)彈魯棒性能要求的μ-PID定結(jié)構(gòu)控制器。仿真結(jié)果表明所設(shè)計的控制器在滿足多種時域指標(biāo)的同時具有良好的穩(wěn)定魯棒性和性能魯棒性，從而驗證了簡便約束PSO算法應(yīng)用于工程實際的可行性。

1 PSO算法

PSO算法是由美國社會心理學(xué)家Kennedy等[3]在1995年共同提出的一種進(jìn)化計算技術(shù)，它是一種通過模擬鳥類群體行為進(jìn)行建模與仿真研究而發(fā)展起來的一種基于群體協(xié)作的隨機(jī)搜索算法，屬于群體智能搜索算法的一種，也稱為微粒群算法。該算法原理是從一組隨機(jī)的初始值出發(fā)，采用基于鄰域的搜索技術(shù)，通過迭代來尋找最優(yōu)解，在每一次迭代中，粒子通過個體極值(粒子本身找到的最優(yōu)解)和群體極值(種群目前找到的最優(yōu)解)來更新自己。由于PSO算法本身結(jié)構(gòu)簡單，并在多種復(fù)雜非凸優(yōu)化問題的應(yīng)用中表現(xiàn)優(yōu)異，近年來引起了越來越多的關(guān)注。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法

在PSO算法中，每一個優(yōu)化問題的解作為一只單個的鳥，或稱為粒子，粒子的屬性包括其位置x和速度v. 每個粒子在多維空間中依據(jù)個體經(jīng)驗和群體中其他粒子的經(jīng)驗來動態(tài)調(diào)整自身移動的軌跡與速度。在第k次迭代中，第i個粒子xi=(xi,1,xi,2,…,xi,m)∈Rm依據(jù)以下公式對位置和速度進(jìn)行調(diào)整：

(1)

(2)

(3)

(5)

cw,max和cw,min分別為cw的最大值與最小值，kmax為最大進(jìn)化代數(shù)。

1.2 約束PSO算法

PSO算法最初是作為一種非約束優(yōu)化算法被提出的，然而在大量的工程實踐中，有相當(dāng)多的應(yīng)用屬于要求滿足一定不等式約束條件下的優(yōu)化問題。典型的約束PSO算法有自適應(yīng)懲罰函數(shù)PSO算法和ALPSO算法，然而這兩種算法均有一些如前所述不足之處。為了克服這些不足，本文提出了一種新型簡便易用的約束PSO算法。

一般約束優(yōu)化問題可以描述為

(6)

式中：函數(shù)h(x)=[h1(x),h2(x),…,hn(x)]，(Rm→Rn)表示約束條件；F表示所有可行的區(qū)域，在本文中，假設(shè)F為非空集合。

本文采用如下一種新穎簡便的方法將(6)式所描述的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為(7)式所示的非約束優(yōu)化問題，在該過程中不需要增加任何新的算法參數(shù)。

(7)

式中：fm(x)定義為

(8)

本文提出的算法最大的優(yōu)勢在于其簡便性，它不需要像ALPSO算法那樣要求目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可微，也不需要像自適應(yīng)罰函數(shù)法那樣增加新的需調(diào)參數(shù)。在后續(xù)內(nèi)容中，該算法將與ALPSO算法、罰函數(shù)法進(jìn)行性能比較。

2 算法性能測試

目前，非線性優(yōu)化算法的優(yōu)劣尚不能從理論上進(jìn)行證明，通常只能通過測試函數(shù)的實測結(jié)果來進(jìn)行比較。為了驗證所提出的約束PSO算法的性能，在本部分內(nèi)容中采用了多個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)[10]來對其性能進(jìn)行全面測試與驗證。在文獻(xiàn)[10]中包含24個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，我們選擇了其中帶不等式約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題共12個測試函數(shù)，這些測試函數(shù)在約束優(yōu)化算法的性能測試中被廣泛采用。

測試程序在Matlab 7.8環(huán)境下運行，采用一臺Intel i5 CPU PC機(jī)，內(nèi)存為4 GB. 每個任務(wù)運行30次，算法停止的條件是達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)1 000. 同時為了與前述自適應(yīng)罰函數(shù)法PSO算法、ALPSO算法進(jìn)行對比，對這兩種算法也進(jìn)行了同樣的測試。在進(jìn)行比較分析時，粒子群算法參數(shù)取為：粒子數(shù)量 30；粒子維數(shù)依測試函數(shù)；粒子最大移動速度vmax,d=xmax,d/2；學(xué)習(xí)因子:cp=2,cs=2；慣性系數(shù)最大與最小值：wmax=0.9,wmin=0.4；最大搜索代數(shù): 1 000.

測試結(jié)果如表1所示。本文提出的簡便約束PSO算法在處理帶約束的優(yōu)化問題中具有優(yōu)越的性能，對測試函數(shù)尋優(yōu)的成功率明顯高于自適應(yīng)罰函數(shù)PSO算法和ALPSO算法，并且得到的最終優(yōu)化結(jié)果及其分布特性也優(yōu)于上述兩種算法。

表1 3種約束優(yōu)化算法測試結(jié)果Tab.1 Test results of three constrained optimization algorithms

3 導(dǎo)彈μ-PID控制應(yīng)用

3.1 問題描述

3.1.1μ分析方法

結(jié)構(gòu)奇異值μ是一種線性代數(shù)工具，用來定量的表征結(jié)構(gòu)化不確定性對線性動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的影響。相比于H∞方法，μ綜合方法可以同時分析控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能[11-14]。

對任意多輸入不確定線性閉環(huán)系統(tǒng)，總可以由圖1所示的結(jié)構(gòu)來描述。其中M代表系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，由控制器和控制對象構(gòu)成。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)反饋控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Standard feedback control structure

Δ代表模型不確定性，即作為控制對象的數(shù)學(xué)模型與實際對象存在的差異，且有

(9)

(10)

若系統(tǒng)不確定性Δ滿足(10)式，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣M的結(jié)構(gòu)奇異值定義為

(11)

直接按照(11)式來求解結(jié)構(gòu)奇異值μ是非常困難的，通常采用的是一種逼近方法。首先計算μ值的上下界，當(dāng)上下界之差足夠小時，取其為近似值，該方法稱為“D-K”迭代法，由Doyle等[15]在1985年提出。

3.1.2μ-PID控制器設(shè)計問題

μ分析問題可由圖2表示。

圖2 μ分析問題結(jié)構(gòu)方塊圖Fig.2 Block diagram of μ analysis

在此結(jié)構(gòu)中，M代表廣義控制對象以及控制器，w1表示外部輸入信號，z2和w2分別表示模型不確定性的輸入和輸出信號，z1表示控制輸出信號。此時系統(tǒng)∑(s,x)可分解為

(12)

在本文中，基于約束優(yōu)化的μ-PID控制器設(shè)計可以描述為

(13)

式中：K(s,x)表示控制器，x∈Rm為控制器參數(shù)。搜索其最小值并滿足由時域響應(yīng)指標(biāo)組成的約束條件。

3.2 導(dǎo)彈控制設(shè)計與仿真

樣例導(dǎo)彈采用基于多工作點線性化模型的控制律設(shè)計，6自由度非線性模型驗證的方法，因此本文中控制律設(shè)計仍以線性化模型為設(shè)計對象。以樣例導(dǎo)彈在15 000 m高度、馬赫數(shù)為2.8、40°攻角下的特征工作點縱向通道狀態(tài)空間模型為例，其狀態(tài)方程為

輸出方程為

式中：u、w分別為縱向和法向速度；α為攻角；q為俯仰角速率；az為法向加速度；δe為等效升降舵偏角。

導(dǎo)彈的定結(jié)構(gòu)控制器可以有各種形式，如姿態(tài)控制器、迎角控制器和過載控制器等，每種控制器依據(jù)控制對象本身的特性和控制需求還可以細(xì)分為更多的回路控制結(jié)構(gòu)。不失一般性，本文以經(jīng)典Raytheon駕駛儀控制結(jié)構(gòu)為例，其縱向控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 樣例導(dǎo)彈縱向Raytheon駕駛儀控制結(jié)構(gòu)Fig.3 Sample missile longitudinal Raytheon control structure

圖3中各項參數(shù)分別為：kazc為法向加速度指令增益系數(shù)；kvz為法向速度增益系數(shù)；kθ為俯仰角增益系數(shù)；kq為俯仰角速率增益系數(shù)；Azg為給定法向加速度。

樣例導(dǎo)彈縱向通道所需滿足的時域性能指標(biāo)如表2所示。

表2 縱向通道階躍響應(yīng)性能指標(biāo)Tab.2 Longitudinal channel step response performance index

采用如上所述性能指標(biāo)函數(shù)和約束條件，基于3種不同PSO算法的優(yōu)化結(jié)果如表3～表5所示。表3～表5中的Pm、Gm分別為相角裕度和幅值裕度。

本文方法的最終設(shè)計結(jié)果體現(xiàn)在表5中，并且由表3～表5可知，罰函數(shù)PSO算法所得到的3種μ值均最大，μ最小值大于1，表明該優(yōu)化方法所得到的控制器魯棒性較差；ALPSO算法總體性能次之；本文提出的簡便約束PSO算法顯然具有最佳的性能，并且傳統(tǒng)的幅值和相角裕度指標(biāo)也驗證了這一結(jié)果。基于上述3種PSO算法的目標(biāo)函數(shù)收斂性曲線如圖4～圖6所示。

表3 罰函數(shù)PSO算法優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Statistical analysis of optimized results: PSO with adaptive penalty functions-design case

表4 ALPSO算法優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Statistical analysis of optimizated results: ALPSO-design case

表5 本文算法優(yōu)化結(jié)果Tab.5 Statistical analysis of optimizated results: the proposed PSO-design case

圖4 罰函數(shù)PSO算法目標(biāo)函數(shù)收斂性曲線Fig.4 Objective function convergence curves-PSO with adaptive penalty function

圖5 ALPSO算法目標(biāo)函數(shù)收斂性曲線Fig.5 Objective function convergence curves-ALPSO

圖6 本文算法目標(biāo)函數(shù)收斂性曲線Fig.6 Objective function convergence curves-PSO presented in the present paper

由圖4～圖6明顯可見，相比于罰函數(shù)PSO算法和ALPSO算法，本文提出的簡便約束PSO算法在設(shè)計樣例導(dǎo)彈縱向通道控制律過程中具有最好的統(tǒng)計收斂特性。

在簡便約束PSO算法得到的50次結(jié)果中，選取最優(yōu)值結(jié)果:kazc=0.97，kvz=0.2，kθ=2.44,kq=0.41作為控制參數(shù)，并且在圖7所示的俯仰通道閉環(huán)系統(tǒng)中，wi為理想相應(yīng)權(quán)函數(shù)，wp為模型性能指標(biāo)權(quán)函數(shù)，win為模型不確定性權(quán)函數(shù)，wn為噪聲干擾權(quán)函數(shù)，Δin為模型不確定性,du為模型不確定性輸入的干擾信號，dn為噪聲輸入的干擾信號，zazo為az的輸出信號測量值。權(quán)函數(shù)取值參見參考文獻(xiàn)[16]。

對閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻域和時域性能分析如下：

1)頻域性能分析。

①魯棒穩(wěn)定性分析。在圖7所示的俯仰通道閉環(huán)系統(tǒng)中，令外輸入為0，僅考慮輸入端乘型不確定性Δin作用下zazo的響應(yīng)。如圖8(a)所示為從du到zazo的傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)奇異值上界曲線。由圖8(a)中可見結(jié)構(gòu)奇異值均在0.3以下，表明系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性驗證仿真結(jié)構(gòu)Fig.7 Closed-loop system robustness verification simulation structure

圖8 系統(tǒng)魯棒曲線Fig.8 System robust curve

②魯棒性能分析。考察在外輸入和輸入端乘型不確定性同時作用下系統(tǒng)的性能。如圖8(b)所示，結(jié)構(gòu)奇異值均在1以下，表明系統(tǒng)的魯棒性能也滿足指標(biāo)要求。

2)時域性能分析。

①標(biāo)稱系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。在圖7所示的俯仰通道閉環(huán)系統(tǒng)中，令Δin=0且擾動dn=0,僅考慮俯仰通道過載命令azg=1作用下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。從圖9可見，系統(tǒng)的標(biāo)稱性能滿足表2所示的時域性能指標(biāo)。

②攝動系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。在外輸入和輸入端乘型不確定性同時作用下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖10所示，可知系統(tǒng)在攝動下的性能仍然滿足表2所示的時域性能指標(biāo)，從而印證了頻域分析的結(jié)果。

圖9 標(biāo)稱系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig.9 Nominal performance response curve

圖10 攝動系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig.10 Perturbation system performance curves

4 結(jié)論

1)本文提出了一種新穎且簡便易用的約束PSO算法，并將其應(yīng)用到導(dǎo)彈駕駛儀定結(jié)構(gòu)魯棒控制器的設(shè)計中。通過典型測試函數(shù)的測試，并與其他約束優(yōu)化PSO算法進(jìn)行對比，表明了本文提出的算法在解決約束優(yōu)化問題中的優(yōu)越性。

2)以某樣例導(dǎo)彈縱向通道數(shù)學(xué)模型為控制對象，采用該簡便約束PSO算法設(shè)計了μ-PID控制器，并對其時域性能和魯棒性進(jìn)行了分析，結(jié)果各項性能指標(biāo)滿足要求，從而驗證了該算法的有效性。在本文中，僅對樣例導(dǎo)彈縱向通道控制器進(jìn)行了設(shè)計，在建立了μ-PID魯棒控制器設(shè)計方法的基礎(chǔ)上，將其推廣到導(dǎo)彈的三通道的聯(lián)合設(shè)計是下一步值得研究的工作。

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A Simple Constrained PSO Algorithm and Its Application inμ-PID Controller Design for Missile Autopilot

ZHANG Min, CHEN Liang, CHEN Xin

(College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, Jiangsu, China)

The existing constrained particle swarm optimization(PSO) algorithms have the disadvantages of algorithm complexity, limited application and poor optimization. A kind of novel constrained particle swarm optimization algorithm is proposed. The proposed algorithm converts a constrained optimization problem into an unconstrained one using the method of objective function substitution method. It is tested with the typical test functions. The algorithm shows its superiority in handling the constrained conditions clearly compared with other constrained PSO algorithms. In order to verify the feasibility of the proposed constrained PSO algorithm applying in the engineering, the proposed algorithm is used to design aμ-PID fixed-structure robust controller by taking a sample missile longitudinal model for the classical Raytheon control structure. The simulated results indicate that the sample missile controller can not only satisfy a variety of time domain indexes but also have strong robustness, and the proposed algorithm is effective.

control and navigation technology of aircraft; air-to-air missile; particle swarm optimization; constrained optimization; robustness

2016-05-03

張民(1973—)，男，副研究員，博士。E-mail: zhangmin@nuaa.edu.cn

V249.122+.4

A

1000-1093(2017)01-0089-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.01.012