基于等效磁化強度法的一種電磁式角振動臺氣隙磁場分析方法

唐波，何聞，賈叔仕

(1.中國計量大學 工業(yè)與商貿計量技術研究所, 浙江 杭州 310018；2.浙江大學 機械工程學院 浙江省先進制造技術重點實驗室, 浙江 杭州 310027)

基于等效磁化強度法的一種電磁式角振動臺氣隙磁場分析方法

唐波1,2，何聞2，賈叔仕2

(1.中國計量大學 工業(yè)與商貿計量技術研究所, 浙江 杭州 310018；2.浙江大學 機械工程學院 浙江省先進制造技術重點實驗室, 浙江 杭州 310027)

針對有限元法求解氣隙磁場的磁路幾何模型占用內存空間多和計算時間長等問題，提出一種基于等效磁化強度法求解電磁式角振動臺氣隙磁場分析方法?；诘刃Т呕瘡姸确ń⑹噶看盼坏奈⒎址匠探M，得到包含磁路幾何參數(shù)的磁感應強度解析表達式；與有限元法計算結果對比，驗證等效磁化強度法的正確性；采用等效磁化強度法對磁路參數(shù)進行優(yōu)化。分析結果表明：當氣隙厚度保持不變時，隨著永磁體扇形角的增加，氣隙中有效均勻磁感應強度的區(qū)域變寬，而隨永磁體厚度的增加，氣隙磁感應強度將增強；當永磁體扇形角和厚度保持不變時，磁感應強度隨氣隙厚度的增加而減小。該方法可以快速分析磁路結構參數(shù)變化對氣隙磁感應強度的影響程度，為優(yōu)化設計電磁式角振動臺磁路結構提供理論參考。

電磁學；角振動臺；氣隙磁場；等效磁化強度法；有限元法

0 引言

隨著科學技術的發(fā)展，角振動傳感器在航空航天、交通運輸和工業(yè)自動化等領域得到廣泛應用[1-2]。同線振動傳感器類似，為實現(xiàn)角振動傳感器測量結果的準確性和統(tǒng)一性，出廠或使用一段時間后需要對其進行校準[3-4]。電磁式角振動臺是用于校準角振動傳感器的角運動發(fā)生設備，其性能將影響角振動傳感器的校準精度，而磁路結構設計是電磁式角振動臺的重要環(huán)節(jié)[5]?；谳S向氣隙磁場的磁路結構具有能量轉換效率高、氣隙磁感應強度大和結構緊湊等優(yōu)點[6-7]，提出了一種適用于電磁式角振動臺的雙磁源磁路，對其磁路參數(shù)進一步優(yōu)化設計，改善氣隙磁場分布特性，對設計優(yōu)良特性的電磁式角振動臺具有重要的意義。

對于普通磁路結構分析，一般采用有限元法[8]和解析法[9]。有限元法雖然求解準確、精度高，但前處理復雜、求解時間長，無法直接反映出某參數(shù)變化對氣隙磁場的影響，而解析法具有簡潔、快速的特點，其關鍵還在于通過建立的解析表達式，可直接研究磁路結構參數(shù)對氣隙磁場特性的影響。解析法主要有等效磁路法[10]和等效磁化強度法[11-12]，等效磁路法存在精確建模困難，漏磁系數(shù)和磁阻系數(shù)采用經(jīng)驗值，對于不同磁路結構其取值大小不同等問題；等效磁化強度法是將永磁體等效成磁化強度，將整個求解區(qū)域劃分成：氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域，從而建立矢量磁位的微分方程組，該方法具有解析公式簡單、求解精度高的特點[13-14]。本文采用等效磁化強度法推導了電磁式角振動臺雙磁源磁路的氣隙磁感應強度解析公式，并通過有限元法驗證該解析公式的正確性。最后采用等效磁化強度法對磁路參數(shù)進行優(yōu)化。

1 雙磁源磁路結構

具有雙磁源磁路結構的電磁式角振動臺結構模型如圖1所示，主要由運動部件、空氣軸承、彈性裝置和雙磁源磁路等組成。運動部件的上端部為角振動臺臺面，用于安裝被校準角振動傳感器，下端部連接圓盤式動圈，為動力發(fā)生部；運動部件通過空氣軸承氣浮支撐，以減小運動摩擦力，提高運動精度；彈性裝置用于保持運動部件的平衡位置。

圖1 角振動臺結構模型Fig.1 Structural model of angular vibrator

角振動臺的動力源是位于雙磁源磁路結構氣隙磁場中圓盤式動圈受到的力矩作用，原理圖如圖2所示。圖2中表示了單匝線圈在磁場中受力的情形：兩個獨立的單匝線圈在相鄰處沿圓盤徑向位置形成兩個驅動力部，分別位于兩段磁場區(qū)域中，且兩段磁場的磁感應強度B1(方向朝下)和B2(方向朝上)的方向均垂直于圓盤式動圈平面；合理設計線圈的繞向，使得當導線通過電流時，處于兩段磁場中的導線將因受洛倫茲力的作用而同時產(chǎn)生順時針或逆時針的扭轉力矩，從而推動運動部件產(chǎn)生旋轉運動。

圖2 圓盤式動圈產(chǎn)生力矩Fig.2 Generation of force moment on disk moving coil

為了提高機電轉換效率及輸出波形精度，實現(xiàn)強而均勻的氣隙磁場是關鍵。所謂雙磁源磁路結構由上下永磁體、上下導磁體、導磁環(huán)及氣隙構成，如圖3所示。根據(jù)串聯(lián)式磁路結構特性，當上、下對應永磁體的磁化方向相同時，可有效增強氣隙磁感應強度。根據(jù)圓盤式動圈導線由內繞到外或由外繞到內的方式，同一根導線形成的兩個驅動力部的導線中電流方向相反，因此對應永磁體處的磁場方向相反，從而在驅動力部處產(chǎn)生相同方向的旋轉力矩，使角振動臺輸出旋轉加速度。

圖3 磁路結構Fig.3 Magnetic circuit structure

2 等效磁化強度法

等效磁化強度法首先將三維模型等效為二維模型，接著采用永磁體的等效磁化強度分布函數(shù)建立矢量磁位的微分方程組，然后用分離變量法求解方程，最后得到包含磁路參數(shù)的氣隙區(qū)域磁感應強度解析表達式。

以永磁體平均半徑圍成的曲面為基準，將其展開成平面，則雙磁源磁路三維模型轉化成二維等效磁路模型，并做以下假設：1)導磁體的磁導率為無窮大；2)展開后的雙磁源磁路結構上下對應的永磁體沿著展開方向周期性復現(xiàn)；3) 永磁體的徑向方向尺寸假設為無限大。利用對稱性簡化求解過程，以氣隙中心線為x軸，以永磁體分布對稱線為y軸建立直角笛卡爾坐標系，展開后的等效雙磁源磁路模型如圖4所示，圖中將求解區(qū)域劃分為3個區(qū)域：氣隙區(qū)域Ⅰ、下永磁體區(qū)域Ⅱ和上永磁體區(qū)域Ⅲ.

圖4 等效雙磁源磁路模型Fig.4 Model of equivalent double-magnetic-source magnetic circuit

圖5 下永磁體磁化強度分布Fig.5 Distribution of lower permanent magnet magnetization intensity

根據(jù)圖5磁化強度分布規(guī)律，可得永磁體磁化強度分布函數(shù)M(x)的傅立葉級數(shù)[15]為

(1)

在氣隙區(qū)域Ⅰ中，矢量磁位AzI滿足拉普拉斯方程

(2)

在永磁體區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中，矢量磁位AzII和AzIII分別滿足泊松方程

(3)

式中：M(x)=MII(x)=-MIII(x)，MII(x)為下永磁體的磁化強度分布，MIII(x)為上永磁體的磁化強度分布。

氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁體區(qū)域Ⅱ、Ⅲ中偏微分方程的通解可表示為

(4)

由于氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁體區(qū)域Ⅱ、Ⅲ關于x軸對稱，則

(5)

根據(jù)磁通折射定律，磁通在通過交界面時磁場強度的切向分量連續(xù)，而磁感應強度的法向分量連續(xù)，由此可以得到不同區(qū)域的邊界條件。

氣隙區(qū)域Ⅰ和下永磁體區(qū)域Ⅱ交界面上的邊界條件為

(6)

式中：HxI(x,y)和HxII(x,y)分別為氣隙區(qū)域I和下永磁體區(qū)域Ⅱ切向分量的磁場強度；ByI(x,y)和ByII(x,y)分別為氣隙區(qū)域I和下永磁體區(qū)域Ⅱ法向分量的磁感應強度。

氣隙區(qū)域Ⅰ和上永磁體區(qū)域Ⅲ交界面上的邊界條件為

(7)

式中：HxIII(x,y)為上永磁體區(qū)域Ⅲ切向分量的磁場強度；ByIII(x,y)為上永磁體區(qū)域Ⅲ法向分量的磁感應強度。

由于假設導磁體的磁導率為無窮大，下永磁體區(qū)域Ⅱ和上永磁體區(qū)域Ⅲ與導磁體界面上磁感應強度切向分量為0，則磁感應強度的邊界條件為

(8)

將(5)式、(6)式、(7)式和(8)式代入(4)式中，并化簡得

(9)

通過(9)式對矢量磁位求偏導，得到氣隙區(qū)域中的磁感應強度ByI法向分量的表達式為

(10)

從(10)式中可以看出，氣隙磁感應強度與永磁體剩余磁感應強度Br、永磁體寬度τm、永磁體所占極距τ、永磁體厚度hm和氣隙厚度h有關。

3 氣隙磁場分析

由于角振動臺的雙磁源磁路中采用相同的永磁體，除永磁體的磁化方向有區(qū)別外，其他磁性能均保持一致，另外又由于磁路結構的對稱性，形成的閉合磁回路路徑也相同，因此每條閉合磁回路氣隙磁感應強度大小相等，方向相同或相反。鑒于此，可取其中一條閉合磁回路分析氣隙磁場的分布特性。上、下永磁體正對著的氣隙為扇形氣隙磁場，以扇形氣隙磁場平均半徑處的圓弧為測試路徑，圓弧起點、終點與原點之間連線形成的夾角為扇形氣隙角度。

3.1 等效磁化強度法的解

借助Matlab商用數(shù)值分析軟件，對氣隙區(qū)域磁感應強度解析表達式(10)式進行有限階次展開，得到不同階數(shù)時氣隙磁感應強度分布的解，如圖6所示。

圖6 氣隙磁感應強度分布Fig.6 Distribution of MFDs in air-gap

由圖6可見，當展開階數(shù)大于13階后，曲線基本重疊，從而說明表達式的解收斂；進一步，以展開階數(shù)21階作為參考值，計算各展開階數(shù)下解的誤差收斂情況，如圖7所示。由圖7可見，隨著表達式展開階數(shù)的增加，氣隙磁感應強度分布解的誤差逐漸減小，分布曲線變得光滑和平坦。氣隙磁感應強度分布曲線呈兩端部小、中間大而均勻的趨勢，這是由于永磁體的邊緣效應引起，越靠近端部漏磁越多，磁阻也越大。

圖7 氣隙磁感應強度分布解的誤差分析Fig.7 Error analysis of distributed solution for air-gap MFDs

3.2 等效磁化強度法解的驗證

有限元是準確計算電磁場的有效工具，在磁路結構和參數(shù)確定后進行精確分析具有獨特的優(yōu)勢，因此采用有限元法對等效磁化強度法求解氣隙磁感應強度分布結果的正確性進行驗證。考慮到求解結果的可比性，根據(jù)相同磁路幾何模型和參數(shù)，采用基于磁化強度法和有限元法對永磁體扇形氣隙角度為170°時的氣隙磁感應強度分布情況進行比較，其結果如圖8所示。

圖8 兩種方法氣隙磁感應強度分布Fig.8 Distribution of MFDs with two methods

從圖8中可以看出，采用等效磁化強度法與有限元法求得的氣隙磁感應強度分布曲線基本一致，驗證了等效磁化強度法的正確性，中間段上等效磁化強度法求得的值大于有限元法是由于等磁化強度法計算時未考慮導磁體的磁阻而有限元法分析時考慮了導磁體的磁阻。

3.3 磁路參數(shù)對氣隙磁場的影響

3.3.1 永磁體扇形角的影響

由圖2的圓盤式動圈驅動原理可知，為了使得在驅動力部產(chǎn)生同向的驅動力矩，必須在兩個驅動力部處有兩個方向相反的氣隙磁場，所以雙磁源磁路中上、下永磁體必須分別由兩塊極性相反的磁體拼接起來，其中每塊磁體的扇形角大小對氣隙磁場的影響有必要進行計算研究。在永磁體厚度和氣隙厚度不變的條件下，選取永磁體的扇形角分別為160°、170°和175° 3種情況，計算得到氣隙磁感應強度分布如圖9所示。

圖9 不同永磁體扇形角時氣隙磁感應強度分布Fig.9 Distribution of air-gap MFDs at different sector angles of PM

從圖9中可以看出，隨著永磁體扇形角的增大，氣隙中有效均勻磁感應強度的區(qū)域越寬；然而扇形角過大，相鄰永磁體之間的漏磁作用增強，影響氣隙磁感應強度分布，同時也不利于永磁體的安裝和固定。因此在選取永磁體扇形角度時既要考慮動圈的有效運動范圍，又要考慮永磁體的安裝問題，二者之間需要合理取舍。

3.3.2 永磁體厚度的影響

由于角振動臺雙磁路的磁源為永磁體，永磁體厚度涉及到永磁體內部磁能大小，直接影響到氣隙磁感應強度的大小，從而影響圓盤式動圈輸出力矩能力，在永磁體扇形角和氣隙厚度不變的條件下，對永磁體厚度為13 mm、17 mm和21 mm 3種情況的氣隙磁感應強度分布進行分析，其計算結果如圖10所示。

圖10 不同永磁體厚度時氣隙磁感應強度分布Fig.10 Distribution of air-gap MFDs for different thickness of PM

從圖10中可以看出，隨著永磁體厚度的增加，氣隙磁感應強度也隨之增加，增加幅值先大后小，但是由于永磁體的磁導率接近于空氣，永磁體厚度增加的同時也增加了磁阻，由于磁阻的非線性，由此造成永磁體厚度的增加量與氣隙磁感應強度的增加量不呈正比關系。

3.3.3 氣隙厚度的影響

氣隙磁場是電磁式角振動臺實現(xiàn)機電能量轉換的重要載體，在扇形角和永磁體厚度不變的條件下，分別對氣隙厚度為5 mm、7 mm和9 mm 3種情況的氣隙磁感應強度分布進行分析，其結果如圖11所示。

圖11 不同氣隙厚度時氣隙磁感應強度分布Fig.11 Distribution of air-gap MFDs for different thicknesses of air-gap

從圖11中可以看出，在磁路結構確定的條件下，氣隙厚度越小，氣隙磁感應強度越大，氣隙磁感應強度大是由于氣隙磁場中單位體積的能量密度增大引起。為了獲得強的氣隙磁感應強度，在滿足條件的情況下，氣隙厚度越小越好，然而氣隙的厚度受到圓盤式動圈厚度的限制。

4 實驗驗證

將優(yōu)化后的雙磁源磁路參數(shù)應用于電磁式角振動臺樣機中，同時為了測試電磁式角振動臺樣機中氣隙磁場的分布特性，采用BST-100高斯計對氣隙磁場的磁感應強度進行測試，在氣隙磁場平均半徑位置上沿圓周方向每隔10°作為一個測試點，實測得到的氣隙磁感應強度分布如圖12所示。

圖12 電磁式角振動臺氣隙磁感應強度分布Fig.12 Distribution of air-gap MFDs in the electromagnetic angular vibrator

通過圖12中測試值和計算值對比可以看出，二者具有類似的分布趨勢，由于機械間隙、實際的永磁體性能參數(shù)和物理尺寸存在偏差，測試得到的磁感應強度稍低于理論計算值，驗證了解析算法的正確性。

5 結論

本文提出一種基于等效磁化強度法求解電磁式角振動臺雙磁源磁路氣隙磁感應強度的分析方法，采用變量分離法求解氣隙區(qū)域拉普拉斯方程和永磁體區(qū)域泊松方程，得到包含磁路幾何參數(shù)的氣隙區(qū)域磁感應強度的解析表達式，借助Matlab商用數(shù)值分析軟件對氣隙磁感應強度的分布情況進行數(shù)值求解，并與有限元法求得的結果進行對比，二者的磁感應強度分布趨勢一致，驗證了等效磁化強度法的正確性。通過等效磁化強度法計算，結果表明：當氣隙厚度保持不變時，隨著永磁體扇形角的增加，氣隙中有效均勻磁感應強度的區(qū)域變寬，而隨永磁體厚度的增加，氣隙磁感應強度將增強；當永磁鐵扇形角和厚度保持不變時，磁感應強度隨氣隙厚度的增加而減小。該方法可以快速分析磁路結構參數(shù)變化對氣隙磁感應強度的影響程度，為優(yōu)化設計電磁式角振動臺磁路結構提供理論參考。

References)

[1] Naqui J, Martin F. Transmission lines loaded with bisymmetric resonators and their application to angular displacement and velocity sensors[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2013, 61(12): 4700-4713.

[2] Mustafa M S, Cheng P, Oelmann B. Stator-free low angular speed sensor based on a MEMS gyroscope[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2014, 63(11): 2591-2598.

[3] ISO 16063—2006 Methods for calibration of vibration and shock transducers [S]. Geneva: ISO Copyright Office, 2006.

[4] GB/T 20485—2010 振動與沖擊傳感器校準方法[S]. 北京:中國標準出版社, 2010. GB/T 20485—2010 Methods for calibration of vibration and shock transducers [S]. Beijing: Standards Press of China, 2010. (in Chinese)

[5] 唐波, 何聞. 寬頻帶電磁式角振動臺運動部件動態(tài)優(yōu)化設計[J]. 農業(yè)機械學報, 2015, 46(10): 376-382, 390.

TANG Bo, HE Wen. Dynamic optimization design of moving component for broadband electromagnetic angular vibration[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 46(10): 376-382, 390. (in Chinese)

[6] Park S, Kim W, Kim S. A numerical prediction model for vibration and noise of axial flux motors[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(10):5757-5762.

[7] Pippuri J, Manninen A, Keranen J, et al. Torque density of radial, axial and transverse flux permanent magnet machine topologies[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2013, 49(5): 2339-2342.

[8] 劉曉, 葉云岳, 鄭灼, 等. 永磁直線伺服電機的磁場分析及優(yōu)化設計[J]. 浙江大學學報:工學版, 2008, 42(11): 1962-1965. LIU Xiao, YE Yun-yue, ZHENG Zhuo, et al. Magnetic analysis and optimization of permanent magnet linear servo motor[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2008, 42(11):1962-1965. (in Chinese)

[9] He W, Wang C Y, Yu Mei, et al. Closed-double-magnetic circuit for a long-stroke horizontal electromagnetic vibration exciter[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2013, 49(8):4865-4872.

[10] 趙精晶, 石庚辰, 杜琳. 盤式永磁微型發(fā)電機的磁路設計方法[J]. 兵工學報, 2014, 35(8): 1144-1151. ZHAO Jing-jing, SHI Geng-chen, DU Lin. Design method of magnetic circuit in planar permanent magnetic micro-generator[J]. Acta Armamentarii, 2014, 35(8): 1144-1151.(in Chinese)

[11] Wang J B, Jewell G W, Howe D. A general framework for the analysis and design[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1999, 35(3):1986-1999.

[12] Kang G H, Hong J P, Kim G T. A novel design of an air-core type permanent magnet linear brushless motor by space harmonics field analysis[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2001, 37(5): 3732-3736.

[13] 劉曉, 葉云岳, 鄭灼, 等. 空心式永磁直線伺服電機氣隙磁場及推力分析[J]. 浙江大學學報:工學版, 2010，44(3):533-538. LIU Xiao, YE Yun-yue, ZHENG Zhuo, et al. Magnetic field and thrust analysis of air-cored permanent linear servo motor[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2010, 44(3): 533-538. (in Chinese)

[14] 葛研軍, 聶重陽, 辛強. 調制式永磁齒輪氣隙磁場及轉矩分析計算[J]. 機械工程學報, 2012, 48(11):153-158. GE Yan-jun, NIE Chong-yang, XIN Qiang. Analytical calculation of air-gap magnetic field and torque of modulated permanent magnetic gears[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(11):153-158.(in Chinese)

[15] 葉其孝, 沈永歡. 實用數(shù)學手冊[M]. 第2版. 北京:科學出版社, 2006. YE Qi-xiao, SHEN Yong-huan. Practical mathematics handbook[M]. 2nd ed. Beijing: Science Press, 2006. (in Chinese)

An Air-gap Magnetic Field Analysis Method of Electromagnetic Angular Vibrators Based on Equivalent Magnetization Intensity Method

TANG Bo1,2，HE Wen2，JIA Shu-shi2

(1.Institute of Industry and Trade Measurement Technique, China Jiliang University, Hangzhou 310018, Zhejiang, China;2.Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province, College of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang, China)

The finite element method (FEM) takes much more memory space and computing time for establishing a magnetic circuit geometrical model for the analysis of the air-gap magnetic field . An efficient analytical approach is presented to solve the air-gap magnetic field of electromagnetic angular vibrators based on the equivalent magnetization intensity method (EMIM). The differential equations of the magnetic potential vector are built up based on the EMIM, and an analytical expression of magnetic flux density (MFD) that contains the geometrical parameters of magnetic circuit is derived. The effectiveness of EMIM is verified by comparing the calculated results of FEM and EMIM. The magnetic circuit parameters are optimized by using EMIM. The results show that the region of the effective uniform MFD is widened with the increase in the sector angle of permanent magnet (PM), and MFD in the air-gap becomes strong with the increase in the thickness of PM when the thickness of air-gap remains constant. MFD decreases with the increase in the thickness of air-gap when the sector angle and thickness of PM remain constant. The proposed method can be used to quickly analyze the parameters of magnetic circuit that impact on the air-gap magnetic field, and provide the theoretical reference of the magnetic circuit optimal design in electromagnetic angular ribrators.

electromagnetism；angular vibrator；air-gap magnetic field；equivalent magnetization intensity method；finite element method

2016-04-06

國家自然科學基金項目(51375443)；國家重大儀器設備開發(fā)專項項目(2013YQ470765)；浙江省自然科學基金杰出青年基金項目(LR12E05001)；浙江省先進制造技術重點實驗室開放基金項目(2016KF05)

唐波(1985—)，男，講師。E-mail:tang-bo001@163.com

何聞(1969—)，男，教授，博士生導師。E-mail:hewens@zju.edu.cn

TB534+.2

A

1000-1093(2017)01-0202-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.01.027