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解投影與視圖題的錯(cuò)誤剖析

文/汪國(guó)剛

投影與視圖是初中數(shù)學(xué)的新內(nèi)容.在中考中，多以選擇題、填空題等小題形式出現(xiàn)，題目不難，但容易出錯(cuò)，現(xiàn)把解題中的各種錯(cuò)誤歸納如下．

一、審題不認(rèn)真導(dǎo)致失誤

例1（2016年婁底卷）下列幾何體中，主視圖和俯視圖都為矩形的是（）

錯(cuò)解：選D.

錯(cuò)解分析：想到三棱柱的側(cè)面都是矩形，于是直接選D，沒(méi)有看清題目要求主視圖和俯視圖都為矩形.

正解：選B.

溫馨小提示：熟悉長(zhǎng)方體、正方體、圓錐、圓柱、球體和三棱柱等常見(jiàn)幾何體的三視圖是解這類題的關(guān)鍵.

二、不理解三視圖的概念

圖1

例2（2016年鄂州卷）一個(gè)幾何體及它的主視圖和俯視圖如圖1所示，那么它的左視圖正確的是（）

錯(cuò)解：選C或D.

錯(cuò)解分析：選C或選D，沒(méi)有注意輪廓線和觀察的位置而致錯(cuò).

正解：從物體的左面看，正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面的正中間有一條看得見(jiàn)的棱.選B.

三、沒(méi)有理解組合體的三視圖

例3（2016年長(zhǎng)沙卷）圖2是由六個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）

圖2

錯(cuò)解：選A或D.

錯(cuò)解分析：A圖是組合體的左視圖，D圖是從右面看到的形狀.

正解：從正面看，第一層是三個(gè)小正方形，第二層是一個(gè)小正方形，第三層是一個(gè)小正方形.選B．

四、沒(méi)有考慮三視圖的實(shí)線與虛線的差別

例4（2016年金華卷）從一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的大立方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小立方體，得到的幾何體如圖3所示，則該幾何體的左視圖正確的是（）

圖3

錯(cuò)解：選A或D.

錯(cuò)解分析：錯(cuò)選A，從左面看，挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小立方體存在，但看不見(jiàn)，在右上角部分是虛線；錯(cuò)選D，右上角虛線的長(zhǎng)度不符合要求.

正解：選C.

五、根據(jù)三視圖求幾何體表面積的錯(cuò)誤

例5（2016年益陽(yáng)卷）圖4是一個(gè)圓柱體的三視圖，由圖中數(shù)據(jù)計(jì)算此圓柱體的側(cè)面積為．（結(jié)果保留π）

錯(cuò)解：24.

錯(cuò)解分析：圓柱體的側(cè)面展開圖是矩形，由主視圖的尺寸直接計(jì)算側(cè)面積，錯(cuò)解沒(méi)有考慮到展開圖的長(zhǎng)為4π.

正解：由三視圖可知，圓柱體的高為6，底面半徑為2，側(cè)面展開圖為矩形，它的側(cè)面積為S=2π×2×6=24π.

圖4

六、求小方塊的數(shù)量錯(cuò)誤

例6（2016年威海卷）一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成，其左視圖和俯視圖如圖5所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）

A．3.B．4.

C．5.D．6.錯(cuò)解：選A或D.

錯(cuò)解分析：錯(cuò)選A是直接由左視圖中的立方塊數(shù)來(lái)確定；錯(cuò)選D是將左視圖與俯視圖中立方塊個(gè)數(shù)簡(jiǎn)單相加所得.兩種錯(cuò)誤都沒(méi)有根據(jù)視圖確定組合體的模型.

正解：由俯視圖知，底層有3個(gè)小正方體；由左視圖可知，第2層有1個(gè)小正方體．故搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是3+1=4個(gè).

圖5

七、混淆中心投影與平行投影的特征

圖6

圖7

例7（2016年北京卷）如圖6，小軍、小珠之間的距離為2.7m，在同一盞路燈下的影長(zhǎng)分別為1.8m，1.5m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8m，1.5m，則路燈的高為m.

錯(cuò)解：2.7.

錯(cuò)解分析：①誤把小軍、小珠之間的距離為2.7m看成路燈的高；②把中心投影與平行投影混為一談，運(yùn)用平行投影的特征，設(shè)路燈高度為xm，，解得x=2.7（m）.

正解：如圖7，因?yàn)樾≤?、小珠都身高與影長(zhǎng)相等，所以，蟻E=蟻F=45°，AB=BE=BF，設(shè)路燈的高AB為xm，則BD=x-1.5，BC=x-1.8，又CD=2.7，

所以，x-1.5+x-1.8=2.7，解得x=3（m）.

故答案為3.