王忠林,劉樹堂

(1. 山東大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250061; 2. 濱州學(xué)院 航空工程學(xué)院, 山東 濱州 256603)

一個(gè)切換Lorenz混沌系統(tǒng)的特性分析

王忠林1,2,劉樹堂1

(1. 山東大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250061; 2. 濱州學(xué)院 航空工程學(xué)院, 山東 濱州 256603)

為使混沌系統(tǒng)更好地應(yīng)用于工程實(shí)踐，通過構(gòu)造由2個(gè)子系統(tǒng)組成的切換Lorenz型混沌系統(tǒng)，分析子混沌系統(tǒng)和自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，利用拓?fù)漶R蹄引理從理論上證明了切換混沌系統(tǒng)吸引子的存在性，基于模擬電路和數(shù)字電路2種實(shí)驗(yàn)手段實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)，分析結(jié)果表明，在相同參數(shù)下，切換系統(tǒng)具有與子系統(tǒng)的不同的動(dòng)力學(xué)特性，切換系統(tǒng)比子系統(tǒng)具有更大的混沌參數(shù)區(qū)間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致，在理論和實(shí)驗(yàn)兩方面證明了切換混沌系統(tǒng)的存在性。

切換混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)譜；分岔圖；電路實(shí)現(xiàn)；拓?fù)漶R蹄

0 引 言

混沌系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有對(duì)初始條件的高度敏感性、類隨機(jī)性、不確定性和非周期性等特征被廣泛應(yīng)用于保密通信、信息加密等領(lǐng)域。自Chen等利用反饋控制法在Lorenz系統(tǒng)[1]的基礎(chǔ)上提出Chen系統(tǒng)[2]以來，研究者陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多的混沌和超混沌系統(tǒng)[3-8]，將廣義Lorenz系統(tǒng)族中的平方項(xiàng)或者交叉乘積項(xiàng)用線性或非線性的切換函數(shù)代替，可以使得廣義Lorenz系統(tǒng)族由原來光滑的連續(xù)可導(dǎo)的三維二次多項(xiàng)式自治系統(tǒng)變換成為相對(duì)應(yīng)的不連續(xù)的分段型廣義Lorenz系統(tǒng)族[9-11]，但是變換后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)性質(zhì)對(duì)比研究還比較少，對(duì)于這種系統(tǒng)也缺乏嚴(yán)格的理論證明。

本文以文獻(xiàn)[3]提出的系統(tǒng)和修改的Lorenz系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，獲得了一個(gè)自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)[10]，通過對(duì)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的對(duì)比分析，自動(dòng)切換系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，當(dāng)固定某些參數(shù)的情況下，另外的參數(shù)在更大的范圍內(nèi)具有混沌特性，也就是說，通過切換，子系統(tǒng)在非混沌(周期或擬周期)狀態(tài)，切換系統(tǒng)成為混沌狀態(tài)。

1 系統(tǒng)模型

基于Lorenz系統(tǒng)，文獻(xiàn)[3]構(gòu)造的混沌系統(tǒng)模型為

(1)

把Lorenz系統(tǒng)第2個(gè)方程中y變成-y，得到的混沌系統(tǒng)模型為

(2)

由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)組成一個(gè)新的自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)

(3)

系統(tǒng)(3)中f(x)是切換函數(shù)，其定義為

(4)

即當(dāng)x≥0時(shí)，系統(tǒng)(3)運(yùn)行子系統(tǒng)(1)，當(dāng)x<0時(shí)，系統(tǒng)(3)運(yùn)行子系統(tǒng)(2)。系統(tǒng)(3)在子系統(tǒng)(1)和子系統(tǒng)(2)之間實(shí)現(xiàn)自動(dòng)切換。

2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖分析

當(dāng)h∈[0,9]，系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖1所示。下面通過h取不同值(h∈[0,9])時(shí)，采用系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)特性變化情況。

1)當(dāng)h=0.4時(shí)，采用Lyapunov指數(shù)包，計(jì)算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.044 392，LE2=-0.063 027，LE3=-9.781 365，系統(tǒng)(3)處于擬周期狀態(tài)。這時(shí)，系統(tǒng)(3)在x-y平面的相圖，用四階龍格庫(kù)塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2a所示。

圖1 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.1 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram

2)當(dāng)h=1.0時(shí)，采用Lyapunov指數(shù)包，計(jì)算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.027 530，LE2=-0.006 675，LE3=-10.668 625，系統(tǒng)(3)處于擬周期狀態(tài)。系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫(kù)塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2b所示。

3)當(dāng)h=2.8時(shí)，采用Lyapunov指數(shù)包，計(jì)算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=2.102 897，LE2=0.002 314，LE3=-14.305 211，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫(kù)塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2c所示。系統(tǒng)(3)中虛線表示運(yùn)行系統(tǒng)(2)，實(shí)線表示運(yùn)行系統(tǒng)(1)。

4)1個(gè)混沌的子系統(tǒng)和1個(gè)周期子系統(tǒng)切換后系統(tǒng)為混沌。當(dāng)h=5.0時(shí)，采用Lyapunov指數(shù)包，計(jì)算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=1.814 621，LE2=0.003 568，LE3=-16.218 189，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。這時(shí)，系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫(kù)塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2d所示。

5)2個(gè)周期的子系統(tǒng)切換后系統(tǒng)變?yōu)榛煦纾?dāng)h=8.0時(shí)，采用Lyapunov指數(shù)包，計(jì)算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.848 959，LE2=-0.000 682，LE3=-18.248 277，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。這時(shí)，系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫(kù)塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2e所示。

圖2 系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖Fig.2 y-z phase portrait of system (3)

3 自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助證明

3.1 理論依據(jù)

本文利用Yang等提出的拓?fù)漶R蹄引理證明自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)存在拓?fù)漶R蹄[11-13]。拓?fù)漶R蹄引理的主要內(nèi)容可以概括為：如果X是一個(gè)可分的度量空間，Q是這個(gè)度量空間X的緊子集，f:Q→X,且存在m個(gè)互不相交的緊致子集Q1,Q2,…,Qm，f|Qi是連續(xù)的。若存在f連接簇，則將存在一個(gè)緊不變子集QI?Q,使得f|QI與一個(gè)m移位映射半共扼。

對(duì)于連接簇f的定義是，設(shè)Γ是Q的緊子集，如果Γi=?！蒕i(i=1,2,…,m)是緊致的和非空的，則Γ就被稱為對(duì)應(yīng)于Q1,Q2,…,Qm的連接。令F為一簇對(duì)應(yīng)于Q1,Q2,…,Qm的連接，如果滿足Γ?F?f(Γi)?F。F就稱為對(duì)應(yīng)于Q1,Q2,…,Qm的f連接簇。

設(shè)m移位映射σ是一個(gè)度量空間到其本身的映射，也就是

σ(s)i=i+1,

(5)

這個(gè)映射的拓?fù)潇豦nt(σ)=lnm。

如果2個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)(X,f)與(Y,g)是半共扼的，則f的拓?fù)潇夭恍∮趃的拓?fù)潇?，也就是ent(f)≥ent(g)。

根據(jù)拓?fù)漶R蹄引理，可以進(jìn)一步得到ent(f)≥ent(σ)=lnm，若m>1,則動(dòng)力系統(tǒng)f就是混沌的。

3.2 輔助證明[12-13]

下面選取自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)(3)在y=-8.5時(shí)Poincaré截面，同時(shí)定義一個(gè)一次回歸Poincaré映射，證明該混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射與1個(gè)2移位映射半共扼，即這個(gè)系統(tǒng)的拓?fù)潇卮笥诨虻扔趌n2，且是混沌的。

系統(tǒng)(3)的相軌跡圖和它的Poincare截面如圖3所示，在y=-8.5平面內(nèi)，選取一個(gè)截面X，它的4個(gè)頂點(diǎn)分別為：[-4 ，30],[14，30],[14，60],[-4，60]。定義一個(gè)一次回歸Poincaré映射p:X→X，對(duì)于任意點(diǎn)x∈X，p(x)是由初始點(diǎn)x出發(fā)的自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)在X截面內(nèi)的第一次回歸映射或Poincaré映射。

圖3 系統(tǒng)(3)的相軌跡圖和它的Poincaré截面Fig.3 Attractor of system (3) and a suitable cross section

如果應(yīng)用拓?fù)漶R蹄引理證明切換系統(tǒng)(3)存在拓?fù)漶R蹄，必須在截面X內(nèi)找到2個(gè)或2個(gè)以上互相交的子集存在一個(gè)一次回歸Poincaré映射p:X→X的連接簇，才能應(yīng)用拓?fù)漶R蹄引理證明切換系統(tǒng)(3)的拓?fù)漶R蹄的存在性，從而證明切換系統(tǒng)的混沌吸引子的存在性。經(jīng)過大量的嘗試后，在X內(nèi)發(fā)現(xiàn)了2個(gè)互不相交的子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|，其中子集Q1的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

A1=[0.441 449 814 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.189 526 184 999 998]，

B1=[1.157 063 197 000 000,-8.500 000 000 000 000,36.396 508 728 000 001]，

C1=[3.954 460 967 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.014 962 594 000 004]，

D1=[3.108 736 059 000 000,-8.500 000 000 000 000,43.728 179 550 999 997]；

子集Q2的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

A2=[8.429 368 029 999 999,-8.500 000 000 000 000,50.012 468 828 000 003]，

B2=[8.763 940 520 000 000,-8.500 000 000 000 000,48.615 960 100 000 002]，

C2=[9.934 944 238 000 000,-8.500 000 000 000 000,50.187 032 418 999 998]，

D2=[9.544 609 664 999 999,-8.500 000 000 000 000,52.281 795 510 999 999]；

圖4 子集Q1的像和子集Q2的像Fig.4 Image of Q1and Q2

由上可知，對(duì)于X內(nèi)子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|的每一個(gè)連接γ，它的像p(γ∩Q1)和p(γ∩Q2)也完全穿過了子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|,既p(γ∩Q1)和p(γ∩Q2)也是子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|的連接。根據(jù)f連接簇的定義可知存在一個(gè)混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射的連接簇， 混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射與一個(gè)2移位映射拓?fù)浒牍捕?，它的拓?fù)潇豦nt(p)≥ln2>0。也就是說這時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)潇卮笥诹?，因此系統(tǒng)(3)是混沌的。

4 系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)是驗(yàn)證混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的有效手段，也是混沌應(yīng)用于工程實(shí)際的基礎(chǔ)?；煦缦到y(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)主要分為兩大類，一類是利用運(yùn)算放大器、電阻和電容等分立元件形成各自獨(dú)立的功能模塊連接組成的電路模擬硬件實(shí)現(xiàn)；另一類則是采用超大規(guī)模FPGA、DSP等數(shù)字處理芯片經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換輸出構(gòu)成電路數(shù)字實(shí)現(xiàn)，本文分別采用這2種方式實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)(3)。

4.1 模擬電路實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)

為了實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)(3)，設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路如圖5所示，電路包括兩部分，基本電路和自動(dòng)切換電路，基本電路由運(yùn)算放大器、模擬乘法器、線性電阻和電容組成。運(yùn)算放大器采用同相端接地，反相端輸入的方法，它和線性電阻實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算，和電容實(shí)現(xiàn)積分運(yùn)算，乘法器實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算，自動(dòng)切換電路由運(yùn)算放大器和模擬開關(guān)及電阻組成，運(yùn)算放大器采用LF347，乘法器采用AD633JN，模擬開關(guān)采用ADG409，其中C1=C2=C3=10 nF，R13=R20=5 kΩ，R15=R22=1 kΩ，R16=9.43 kΩ，R16=7.14 kΩ，R18=R23=100 kΩ，R21=13.5 kΩ，R24=80 kΩ，除R19外，其余電阻均為10 kΩ。當(dāng)R19=35.7 kΩ時(shí)，對(duì)應(yīng)參數(shù)h=2.8，在示波器上獲得系統(tǒng)(3)在x-z平面的實(shí)物投影如圖7所示，模擬電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果與圖2的數(shù)值計(jì)算結(jié)果符合得很好。

4.2 數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)

用數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)混沌系統(tǒng)，首先需要對(duì)連續(xù)的混沌系統(tǒng)進(jìn)行離散化，本文采用歐拉算法對(duì)系統(tǒng)(1)，(2)和(3)進(jìn)行離散化處理，采用Matlab 2008a中的Simulink工具箱中的DSP Builder進(jìn)行建模，將模型文件轉(zhuǎn)換成基于Quartus II 9.0的工程文件，最后，下載到Altera公司的EP3C25Q240C8N芯片中，D/A采用的是TI的14位的DAC904高速DA轉(zhuǎn)換器，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示，當(dāng)h=0.4，1.0，5，8時(shí)，在示波器上獲得系統(tǒng)(3)的實(shí)物投影如圖7所示，數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果與圖2的數(shù)值計(jì)算結(jié)果符合的很好。

圖5 實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)(3)的電路圖Fig.5 Circuit of implementing of system(3)

圖6 數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.6 FPGA evaluation board used to perform digital implementation

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了一個(gè)由2個(gè)子系統(tǒng)組成的自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)，通過對(duì)子混沌系統(tǒng)和自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的對(duì)比分析，可以發(fā)現(xiàn)，相同參數(shù)下，自動(dòng)切換系統(tǒng)與子系統(tǒng)具有完全不同的動(dòng)力學(xué)行為；利用拓?fù)漶R蹄引理從理論上證明了切換混沌系統(tǒng)吸引子的存在性；通過模擬電路和數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)了子混沌系統(tǒng)和切換混沌系統(tǒng)，用數(shù)字電路和模擬電路所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算機(jī)軟件的計(jì)算結(jié)果完全一致，從而在理論和實(shí)驗(yàn)兩方面證明了切換混沌系統(tǒng)的存在性，這在基于混沌的工程實(shí)踐中是很有意義的。

圖7 系統(tǒng)(3)在y-z平面的示波器上的實(shí)物投影Fig.7 Experiment observations results of system(3)

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(編輯：魏琴芳)

Analysis of properties of a switched Lorenz type chaotic system

WANG Zhonglin1,2, LIU Shutang1

(1. College of Control Science and Engineering, Shangdong University, Ji'na 250061,P.R.China; 2. College of Aeronautical Engineering Binzhou University, Binzhou 256603,P.R.China)

In order to promote the application of chaotic systems in engineering practice, this paper presents a Lorenz-type switched system composed of two subsystems. The new chaotic system is analyzed with Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. To present a computer assisted verification of chaos, the switching system is also studied by utilizing topological horseshoe theory. Physical verification has also been done in two different methods with an analog electronic circuit and a digital electronic circuit, respectively. Numerical analysis shows that the switched system has a larger chaotic region than its subsystems and the dynamics characteristics much different from subsystems. It also shows that numerical and experimental results are matches very well. The existence of the chaotic attractors is proved in both theory and experiment.

switched chaotic system; Lyapunov exponent spectrum；bifurcation diagram; circuit experiment; topological horseshoe

10.3979/j.issn.1673-825X.2017.01.011

2015-12-20

2016-06-21 通訊作者：王忠林 E-mail:bzcong@126.com

山東省自然科學(xué)基金(ZR2014FQ019)

Foundation Item：The Natural Science Foundation of Shangdong Province of China(ZR2014FQ019)

TN914.42

A

1673-825X(2017)01-0068-07

王忠林(1970-)，男，副教授，在讀博士，主要從事混沌理論及應(yīng)用與EDA技術(shù)研究。E-mail：bzcong@126.com 劉樹堂，男， 教授，博士生導(dǎo)師，主要從事混沌理論及應(yīng)用研究。