基于高階加權(quán)和迷宮算法的層析成像射線追蹤法

黃曉寒，王仲剛，袁 野，張 彧

(后勤工程學(xué)院 軍事土木工程系，重慶 401311)

基于高階加權(quán)和迷宮算法的層析成像射線追蹤法

黃曉寒，王仲剛，袁 野，張 彧

(后勤工程學(xué)院 軍事土木工程系，重慶 401311)

通過(guò)對(duì)LTI線性插值法的追蹤公式和全局掃描方法的改進(jìn)，提出了一種基于高階加權(quán)和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。該算法通過(guò)引入Taylor加權(quán)高階項(xiàng)對(duì)LTI追蹤公式進(jìn)行改進(jìn)，減小了由于線性條件假設(shè)而產(chǎn)生的累積誤差，提高了射線追蹤精度，解決了LTI追蹤公式出現(xiàn)復(fù)值解而失效的問(wèn)題；并利用迷宮算法原理對(duì)全局掃描方式進(jìn)行優(yōu)化，解決了傳統(tǒng)掃描方法不能反向和豎向追蹤的問(wèn)題。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，新算法HLTI較傳統(tǒng)的LTI算法具有更高的射線追蹤精度和更好的成像效果。

LTI線性插值法；泰勒展式;CT技術(shù);掃描優(yōu)化

線性插值射線追蹤[1-2]又稱LTI(Linear Travel-time Interpolation)，于1993年作為地震CT的正演過(guò)程被提出，主要用于地質(zhì)勘探、震源的排查。作為全局算法的一種，LTI由追蹤公式和掃描方法兩部分構(gòu)成。

圖1 計(jì)算D點(diǎn)的走時(shí)TD

追蹤公式推導(dǎo)如下。圖1為一離散網(wǎng)格，網(wǎng)格內(nèi)的慢度S是恒定的，點(diǎn)A,B,C和D坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x1,y1+d),(x1,y1+r)和(x2,y2)。A，B點(diǎn)的走時(shí)為TA和TB，射線穿過(guò)網(wǎng)格邊界AB線段上的C點(diǎn)(x1,y1+r)到達(dá)對(duì)面邊界D點(diǎn)(x2,y2)的走時(shí)TD可表示為:

(1)

由線性假設(shè)可得:

式中:d為AB間的距離;r為AC間的距離。

將式(1)代入式(2)可得:

根據(jù)Fermat原理，將式(3)對(duì)r求導(dǎo)，令dTD/dr=0,得到TD取最小值時(shí)的r值:

式中：ΔT=TA-TB,Δx=x2-x1,Δy=y2-y1。

將r代入式(3)，可求得TD的最小值:

C點(diǎn)在AB線段上可得到約束條件:

全局掃描分為向前處理和向后處理兩部分，皆采取按列的掃描方式。通過(guò)式(5)可計(jì)算出起點(diǎn)到接收點(diǎn)之間各像元邊界點(diǎn)上的走時(shí)，稱為線性插值追蹤的向前處理；通過(guò)式(4)可以準(zhǔn)確定位最小走時(shí)所對(duì)應(yīng)的像元邊界交點(diǎn)，稱之為線性插值追蹤的向后處理。

1 LTI算法誤差分析

LTI法追蹤公式的核心在于線性假設(shè)式(2)，基于理論方面的LTI算法誤差分析如下。

如圖1所示，網(wǎng)格內(nèi)慢度為S。射線從激發(fā)點(diǎn)發(fā)出經(jīng)由C點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)，從激發(fā)點(diǎn)到C點(diǎn)所經(jīng)歷的慢度為S。則C點(diǎn)及其鄰近兩點(diǎn)A、B處的旅行時(shí)間可以表示為：

將TB和TC在A點(diǎn)Taylor展開(kāi)得:

將式(10)和式(11)相減，整理即得:

分析式(12)可知：① 當(dāng)單元網(wǎng)格邊界插值點(diǎn)的數(shù)量趨近于正無(wú)窮時(shí)，式(12)中的r→0、d→0，此時(shí)該式即為傳統(tǒng)的LTI算法式(2)。② 作Taylor展開(kāi)所得的高階系數(shù)與A點(diǎn)走時(shí)TA成反比關(guān)系，又由于A點(diǎn)時(shí)間和激發(fā)點(diǎn)到A點(diǎn)的距離成正比關(guān)系，故點(diǎn)C距離激發(fā)點(diǎn)越遠(yuǎn)，高次項(xiàng)的影響越小。反之，當(dāng)C點(diǎn)越接近激發(fā)點(diǎn)，帶來(lái)的誤差越大。LTI算法于1993年作為地震CT的正演過(guò)程被提出，主要用于地質(zhì)勘探、震源的排查。在這類檢測(cè)中，精度不高，且激發(fā)點(diǎn)和接收點(diǎn)距離較遠(yuǎn)，使得高階系數(shù)的影響不大。但由于工程檢測(cè)[3]中受測(cè)斷面小，激發(fā)點(diǎn)和接收點(diǎn)距離近，高階項(xiàng)的誤差就不可忽略，因此傳統(tǒng)LTI算法在工程CT中的應(yīng)用將會(huì)受到限制。

圖2 路徑公式出現(xiàn)復(fù)數(shù)解

為了解決以上兩個(gè)問(wèn)題，筆者將根據(jù)工程CT特點(diǎn)，從追蹤公式和掃描算法兩方面對(duì)傳統(tǒng)LTI算法進(jìn)行改進(jìn)，并提出了一種基于高階加權(quán)和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。

2 HLTI算法追蹤公式推導(dǎo)

基于上述分析，對(duì)傳統(tǒng)的LTI追蹤公式進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)引入Taylor高階項(xiàng)來(lái)修正傳統(tǒng)LTI的線性假設(shè)所帶來(lái)的誤差，不但提高了追蹤精度，而且避免了追蹤公式在全局掃描過(guò)程中因出現(xiàn)復(fù)數(shù)解而失效的問(wèn)題。下面介紹改進(jìn)后的追蹤公式及其穩(wěn)定條件的推導(dǎo)。

將TC在r=0處Taylor展開(kāi)，根據(jù)展式正負(fù)交替出現(xiàn)的性質(zhì)，對(duì)其三階及以上的高階項(xiàng)放縮，并把放縮以后的項(xiàng)作為權(quán)值與二階項(xiàng)合并，得：

根據(jù)圖1所示，TD為D點(diǎn)的旅行時(shí)間，有表達(dá)式：

為了與TC形式上統(tǒng)一，對(duì)TD第二項(xiàng)做Taylor展開(kāi)，保留二階項(xiàng)得:

代入式(13)則可得TD的最終表達(dá)式：

根據(jù)Fermat原理，對(duì)式(16)作r的變分即得:

-2dQ2≤Q1≤0(r的穩(wěn)定條件)

式中：

3 HLTI算法全局掃描方法

對(duì)于射線追蹤技術(shù)來(lái)說(shuō)，掃描方式與追蹤公式同等重要，傳統(tǒng)LTI法的掃描方式存在的問(wèn)題有：掃描采用從左往右按列的掃描方式，人為限定了搜索順序，無(wú)法進(jìn)行反向和縱向追蹤；編程步驟冗長(zhǎng)繁復(fù)，存在大量重復(fù)運(yùn)算。為了解決這些問(wèn)題，筆者基于迷宮問(wèn)題[4]中路徑尋優(yōu)的思想，提出了一種新的掃描方法。新方法包括定義數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)傳遞方式兩部分。

(1) 定義數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。檢測(cè)斷面劃分為一系列小網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格看作獨(dú)立的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，每個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所含數(shù)據(jù)為該格慢度S,8個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)走時(shí)t1，t2，t3，t4，t5，t6，t7，t8和對(duì)應(yīng)坐標(biāo)量(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),(x6,y6),(x7,y7),(x8,y8),如圖3所示。

圖3 單個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)示意

(2) 定義數(shù)據(jù)傳遞方式。如圖4所示，對(duì)數(shù)據(jù)組中第4個(gè)點(diǎn)賦值走時(shí)的方法有兩種。一種如圖中虛線所示，通過(guò)數(shù)據(jù)組內(nèi)已知的走時(shí)和坐標(biāo)數(shù)據(jù)，以追蹤公式(17)、(18)計(jì)算求得，并將其中最小值賦給第4個(gè)點(diǎn)，稱這種數(shù)據(jù)傳遞方式為組內(nèi)數(shù)據(jù)傳遞。另一種如圖中實(shí)線所示，網(wǎng)格A和B相鄰，A中第4個(gè)點(diǎn)與B中第8個(gè)點(diǎn)重合，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的走時(shí)、坐標(biāo)應(yīng)相同。若8

圖4 數(shù)據(jù)傳遞方式示意

綜上，HLTI算法流程如圖5所示。

圖5 HLTI算法流程

圖6 數(shù)值模型與觀測(cè)系統(tǒng)

4 仿真試驗(yàn)

設(shè)計(jì)一個(gè)如圖6(a)所示的含缺陷的數(shù)值化模型，截面長(zhǎng)1 000 mm，寬1 000 mm，波速為ν正常=4 000 m·s-1,缺陷區(qū)域波速為ν缺陷=3 000 m·s-1。設(shè)置激發(fā)點(diǎn)10個(gè)，接受點(diǎn)10個(gè)，采取一發(fā)多收信號(hào)采集方式，網(wǎng)格100個(gè)，射線100條，收發(fā)點(diǎn)布置方式和初始射線路徑見(jiàn)圖6(b)，不失一般性，以第5號(hào)激發(fā)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的10條射線為例進(jìn)行分析。

表1 LTI和HLTI走時(shí)對(duì)比與相對(duì)誤差 μs

圖7 理論走時(shí)和兩種算法的離差曲線

通過(guò)射線走時(shí)和射線路徑與理論值的對(duì)比分析，判定兩種算法的追蹤效果。表1為10條射線的理論走時(shí)與通過(guò)兩種射線追蹤方法得到的走時(shí)值和誤差計(jì)算，圖7為兩種方法走時(shí)與理論值的離差曲線。圖8為兩種算法追蹤出的射線路徑。由表1可知， LTI算法和HLTI算法與理論走時(shí)的最高誤差分別為12%和0.7%，平均誤差分別為2.9%和0.2%，HLTI算法的最大離差不超過(guò)2.1 μs，小于LTI算法，走時(shí)曲線與理想走時(shí)曲線更為貼近，提高了追蹤精度。在圖8(a)中的第4、5、6根射線無(wú)法繞開(kāi)缺陷，而8(b)中通過(guò)向上搜索基本繞開(kāi)了缺陷區(qū)。故通過(guò)分析可得出結(jié)論：在含低速區(qū)的慢度場(chǎng)中，HLTI算法能解決LTI算法無(wú)法縱向追蹤的問(wèn)題，具有更好的射線追蹤效果。

圖8 兩種算法的射線追蹤路徑

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)LTI線性插值法的追蹤公式和全局掃描方法的改進(jìn)，提出了一種基于高階加權(quán)和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。新算法通過(guò)引入Taylor高階項(xiàng)減少了原算法追蹤公式的誤差，避免了原有追蹤公式出現(xiàn)復(fù)數(shù)解導(dǎo)致追蹤失效的情況；對(duì)其全局掃描方法進(jìn)行改進(jìn)，解決了原方法無(wú)法縱向追蹤的問(wèn)題。算例驗(yàn)證表明，提出的HLTI算法較傳統(tǒng)的LTI算法具有更高的射線追蹤精度，獲得了更好的追蹤效果。

[1] VIDALE J E. Finite-difference calculation of travel times[J]. Geophysics, 1988, 78: 2062-2076.

[2] 李強(qiáng), 白超英. 復(fù)雜介質(zhì)中地震波前及射線追蹤綜述[J].地球物理學(xué)進(jìn)展,2012,27(1): 92-104.

[3] 顧孝同. 國(guó)內(nèi)工程CT技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用[J]. 工程地球物理學(xué)報(bào), 2006,3(4): 278-282.

[4] 吳建明. 電腦鼠走迷宮算法模擬器的仿真建模與實(shí)現(xiàn)[J].電腦開(kāi)發(fā)與應(yīng)用,2014, 27(2): 33-39.

Tomography Ray-tracing Based on High-order Weighting and Maze Algorithm

HUANG Xiao-han, WANG Zhong-gang, YUAN Ye, ZHANG Yu

(Department of Civil Engineering, Logistic Engineering University, Chongqing 401311, China)

Through the improvement to the LTI track formula (linear travel-time interpolation) and global scanning method, a HLTI based on higher order weighting and maze algorithm has been advanced. By means of improving LTI track formula via bringing in Taylor higher order weighted item, this new algorithm reduces the accumulative error caused by linear condition hypothesis, improves the accuracy of ray-tracing, and thus solves the invalidation problem come about by the complex-value solution of LTI track formula. Besides, by taking advantage of the maze algorithm principle to optimize the global scanning method, the problem of the traditional scanning method which is incapable of backward and vertical tracing has been solved. The simulation experiment results indicate that the new HLTI has higher ray-tracing accuracy and better image quality than the traditional LTI.

Linear travel-time interpolation; Taylor expansion; CT Technique; Scan optimization

2016-05-25

黃曉寒(1990-),女，碩士，講師，主要研究方向?yàn)樘胤N結(jié)構(gòu)檢測(cè)與加固。

黃曉寒,E-mail:hxhshr@sina.com。

10.11973/wsjc201702009

TG115.28

A

1000-6656(2017)02-0034-04