環(huán)Z4+uZ4上的斜循環(huán)碼

陳 楠, 朱士信

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

環(huán)Z4+uZ4上的斜循環(huán)碼

陳 楠, 朱士信

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章研究了環(huán)R=Z4+uZ4(u2=0)上的斜循環(huán)碼,通過分析斜多項式環(huán)R[x;σ]的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)給出了斜循環(huán)碼的生成元;并證明了環(huán)R上的斜循環(huán)碼等價于該環(huán)上的循環(huán)碼或一類準(zhǔn)循環(huán)碼;進一步給出了斜循環(huán)碼的計數(shù)及偶長的歐幾里得內(nèi)積和厄米特內(nèi)積下對偶碼的生成元。

斜多項式環(huán);斜循環(huán)碼;循環(huán)碼;準(zhǔn)循環(huán)碼;對偶碼;生成元

近年來,隨著糾錯碼理論的發(fā)展,有限域上線性碼和循環(huán)碼理論日益完善,許多學(xué)者逐漸將研究的重點轉(zhuǎn)移到環(huán)上的編碼理論,特別是有限環(huán)。文獻[1-7]通過Gray映射、Hensel提升、離散傅里葉變換等工具研究了有限環(huán)上循環(huán)碼和常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)、自對偶碼等,并得到了對應(yīng)有限域上的一些最優(yōu)碼。最近,利用有限非交換的代數(shù)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造碼的方法也引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻[8-12]首次研究了有限非交換斜多項式環(huán)上的線性碼,構(gòu)造了一種廣義的循環(huán)碼,稱為斜循環(huán)碼;并研究了斜多項式環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。隨后,斜循環(huán)碼的研究被推廣到其他類型的有限環(huán)上。文獻[13-20]通過構(gòu)造特殊的環(huán)自同構(gòu),討論了幾類有限非鏈環(huán)上的斜循環(huán)碼,并得到了相應(yīng)的結(jié)果。目前,環(huán)Z4+uZ4(u2=0)引起了人們的廣泛關(guān)注。文獻[21]研究了環(huán)Z4+uZ4上的線性碼,并利用線性碼構(gòu)造了許多形式的自對偶碼。文獻[22]研究了環(huán)Z4+uZ4上的循環(huán)碼。但有關(guān)環(huán)Z4+uZ4上的斜循環(huán)碼方面的研究不多。為此本文對環(huán)Z4+uZ4上的斜循環(huán)碼展開研究。

本文首先在環(huán)上定義了一個自同構(gòu),研究了斜多項式環(huán)R[x;σ]的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),并給出了斜循環(huán)碼的生成元;其次考慮了環(huán)Z4+uZ4上斜循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)性質(zhì)和計數(shù)問題;最后確定了在歐幾里得內(nèi)積和厄米特內(nèi)積下環(huán)Z4+uZ4上偶長度的斜循環(huán)碼的對偶碼的生成元。

1 基本知識

設(shè)R=Z4+uZ4(u2=0),則R是特征為4的有限交換環(huán);環(huán)R上的任意元素r都可以唯一地表示為r=a+bu,其中a,b∈Z4。環(huán)R的性質(zhì)為:

(1) 環(huán)R有〈0〉,〈1〉,〈u〉,〈2u〉,〈2〉,〈2+u〉,〈2,u〉7個理想。

(2) 環(huán)R是局部Frobenius環(huán),但不是主理想環(huán),并且有唯一的極大理想〈2,u〉。

(3) 環(huán)R單位可表示為R*={a+bu|a≡±1(mod 4)}。

在環(huán)R上定義一個自同構(gòu)σ:R→R,a+bu|→a-bu。對?r∈R,都有σ2(r)=r,即σ是一個2階自同構(gòu)。下文中出現(xiàn)的σ若無特殊說明都是指如上定義的同構(gòu)映射。

定義1[13]稱環(huán)R上多項式集合R[x;σ]={c0+c1x+…+cn-1xn-1|ci∈R，0≤i≤n-1}為斜多項式環(huán)，其中,加法定義為通常的多項式加法,乘法定義為(axi)*(bxj)=aσi(b)xi+j。

易知環(huán)R[x;σ]是非交換環(huán),且?guī)в喑ㄔ赗[x;σ]上不成立。定義環(huán)R[x;σ]的中心為:

定理1xn-1∈Z(R[x;σ])當(dāng)且僅當(dāng)n是偶數(shù)。

反之，設(shè)(xn-1)∈Z(R[x;σ]),(xn-1)*cmxm=cmxm*(xn-1)。對?cm∈R,有(xn-1)*cmxm=σn(cm)xn+m-cmxm和cmxm*(xn-1)=cmxn+m-cmxm,可推出σn(cm)=cm,故n是偶數(shù)。

推論1 設(shè)n是偶數(shù),若xn-1=f(x)*g(x)∈Z(R[x;σ]),則有：

引理1 對f(x),g(x)∈R[x;σ],若滿足deg(f(x))>deg(g(x))和L(f(x))∈〈L(g(x))〉,則存在λ∈R,e(x)∈R[x,σ],有

其中,e(x)=0或deg(e(x))

證明 與文獻[17]中引理2.3的證明類似。

引理2[17]設(shè)f(x),g(x)∈R[x;σ],若L(g(x))是R的單位,則存在唯一一組多項式q(x),e(x)∈R[x;σ],使得：

其中,e(x)=0或deg(e(x))

證明 與文獻[8]中引理2.3的證明類似。

2 環(huán)Z4+uZ4

稱P(C)為碼C的多項式表示。

定義3 Rn的n維非空子集C叫做R上長度為n的斜循環(huán)碼,若C滿足以下條件:

(1)C為Rn的子模。

(2) 若(c0,c1,…,cn-1)∈C,則(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2))∈C。

類似循環(huán)碼可證:C為R上長度為n的斜循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)P(C)為R[x;σ]/(xn-1)的一個理想。對于這2種表示,文中不作區(qū)別。

設(shè)Rn=R[x;σ]/(xn-1),Rn中的加法為通常的多項式加法,乘法的定義如下:

若f(x)∈Rn,對?h(x)∈R[x;σ],有

f(x)mod(xn-1),

則稱Rn是左R[x;σ]-模。

定理2 碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,當(dāng)且僅當(dāng)碼C是左R[x;θ]-模Rn的左R[x;θ]-子模。

證明 與文獻[14]中定理10的證明類似。

證明 與文獻[13]中定理3的證明類似。

下面討論C中最低次數(shù)的多項式不是首一多項式的情況。

定理4 設(shè)C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,且含有首一多項式。若C中最低次數(shù)的多項式不是首一的,則C=〈a1(x),a2(x),au(x),a2u(x),a2+u(x)〉,其中,對i=1，2，u，2u，2+u,ai(x)表示C中首項系數(shù)為i的次數(shù)最低的多項式。

證明 設(shè)a1(x)為C中首項系數(shù)為1的次數(shù)最低的多項式,則對?c(x)∈C,由引理2知,存在唯一一組多項式q0(x),e0(x)∈R[x;σ],使c(x)=q0(x)*a1(x)+e0(x),其中,e0(x)=0或deg(e0(x))

(1) 當(dāng)L(e0(x))∈〈2〉時,由引理1知,存在多項式q1(x),e1(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e1(x)=0或deg(e1(x))

(2) 當(dāng)L(e0(x))∈〈u〉時,由引理1知,存在多項式q2(x),e2(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e2(x)=0或deg(e2(x))

(3) 當(dāng)L(e0(x))∈〈2u〉時,由引理1知,存在多項式q3(x),e3(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e3(x)=0或deg(e3(x))

(4) 當(dāng)L(e0(x))∈〈2+u〉時,由引理1知,存在多項式q4(x),e4(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e4(x)=0或deg(e4(x))

由上述討論知,存在唯一一組多項式l1(x),l2(x),l3(x),l4(x),e(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e(x)=0或deg(e(x))

在定理4中,碼C中次數(shù)最低的多項式不是首一多項式,即C中存在次數(shù)最低的多項式ai(x)。下面將對其展開討論。

引理3[18]若f(x)是碼C中次數(shù)最低的多項式,但首項系數(shù)不為1,則f(x)=ftg(x),其中ft∈R,且ft∈〈2,u〉,g(x)為R中首一多項式。

定理5 設(shè)C是R上長度為n的斜循環(huán)碼。若碼C中不含首一多項式,則

進一步,

(1) 若a2(x)為C中次數(shù)最低的多項式,則C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉;且若au(x)次數(shù)與a2(x)相等,則C=〈2g(x),ug(x)〉,其中g(shù)(x)為R中某首一多項式。

(2) 若au(x)為C中次數(shù)最低的多項式,則C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉;且若a2(x)次數(shù)與au(x)相等,則C=〈2g(x),ug(x)〉,其中g(shù)(x)為R中某首一多項式。

(3) 若a2+u(x)為C中次數(shù)最低的多項式,則C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉。

證明 證明與定理4同理。

定理6 設(shè)C是R上長度為n的斜循環(huán)碼。當(dāng)n為偶數(shù)時,C等價于環(huán)R上長度為n、指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼;當(dāng)n為奇數(shù)時,C等價于環(huán)R上長度為n的循環(huán)碼。

證明 (1) 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m(m∈N+),對任意(c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-1,0,cm-1,1)∈C,由|σ|=2得σ2(c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-1,0,cm-1,1)=(cm-1,0,cm-1,1,c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-2,0,cm-2,1)∈C。因此,當(dāng)n為偶數(shù)時,C等價于環(huán)R上長度為n、指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼。

(2) 當(dāng)n為奇數(shù)時,gcd(2,n)=1,存在整數(shù)s、t,使得2s+tn=1,由此得2s=1-tn=1+an,其中a>0。設(shè)c(x)=c0+…+cn-1xn-1∈C,有x2s*c(x)=σ2s(c0)x1+an+σ2s(c1)x2+an+…+σ2s(cn-1)xn+an=cn-1+c0x+…+cn-2xn-2∈C。因此,當(dāng)n為奇數(shù)時,C等價于環(huán)R上長度為n的循環(huán)碼。

推論2 (1) 若n為偶數(shù),則環(huán)R上長度為n的斜循環(huán)碼的個數(shù)等于(R[x]/(xm-1))2的R[x]/(xm-1)-子模的個數(shù),其中n=2m。

例1 設(shè)R=Z4+uZ4,n=4,g(x)=x2+2x+3,則由g(x)生成的長度為4的斜循環(huán)碼等價于R上長度為4、指數(shù)為2的準(zhǔn)循環(huán)碼。

例2 若R=Z4+uZ4,n=3,g(x)=x2+x+1,則由g(x)生成的長度為3的斜循環(huán)碼等價于該環(huán)上長度為3的循環(huán)碼。由于x3-1=(x-1)(x2+x+1),斜循環(huán)碼的個數(shù)為 (21+5)×(22+5)=63。

例3 若R=Z4+uZ4,n=5,g(x)=x4+x3+x2+x+1,則由g(x)生成的長度為5的斜循環(huán)碼等價于該環(huán)上長度為5的循環(huán)碼。由于x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1),斜循環(huán)碼的個數(shù)為(21+5)×(24+5)=147。

3 環(huán)Z4+uZ4上斜循環(huán)碼的兩類對偶碼

本節(jié)討論環(huán)R上斜循環(huán)碼的兩類對偶碼(歐幾里得對偶碼和厄米特對偶碼)問題。設(shè)x=(x1,…,xn)∈Rn,y=(y1,…,yn)∈Rn,x和y的歐幾里得內(nèi)積定義為:

x和y的厄米特內(nèi)積定義為:

若〈x,y〉E=0或[x,y]H=0,則稱x與y關(guān)于相應(yīng)的內(nèi)積正交。

定義4[20]設(shè)C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,在歐幾里得內(nèi)積下的對偶碼定義為:

在厄米特內(nèi)積下對偶碼的定義為:

若C?C⊥,則稱C為歐幾里得自正交碼;若C=C⊥,則稱C為歐幾里得自對偶碼。在厄米特內(nèi)積下的定義類似。

引理4 設(shè)C是環(huán)R上長度為n的斜循環(huán)碼,則C⊥和C*也是環(huán)R上的斜循環(huán)碼。

證明 因為碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,所以對任意a=(a0,a1,…,an-1)∈C,有

若n為奇數(shù),有σn-1(ai)=ai,則由a1b0+a2b1+…+a0bn-1=0得(bn-1,b0,…,bn-2)∈C⊥;由σ(a0)bn-1+σ(a1)b0+…+σ(an-1)bn-2=0得(σ(bn-1),σ(b0),…,σ(bn-2))∈C⊥,即C⊥為R上的斜循環(huán)碼。

若n為偶數(shù),有σn-1(ai)=σ(ai),則由σ(a1)b0+σ(a2)b1+…+σ(a0)bn-1=0得a0σ(bn-1)+a1σ(b0)+…+an-1σ(bn-2)=0,進而有(σ(bn-1),σ(b0),…,σ(bn-2))∈C⊥,即C⊥為R上的斜循環(huán)碼。

同理可證C*也是R上的斜循環(huán)碼。

引理5 設(shè)d(x)∈Z(R[x;σ]),且d(x)=u(x)*v(x),其中u(x),v(x)∈R[x；σ]都是首一多項式,則u(x)*v(x)=v(x)*u(x)。

證明 由d(x)=u(x)*v(x)∈Z(R[x;σ])知,對一切u(x)∈R[x；σ],有(u(x)*v(x))*u(x)=u(x)*(u(x)*v(x)),直接推出u(x)*(v(x)*u(x)-u(x)*v(x))=0。又因為u(x)是R[x；σ]中的首一多項式,不是零因子,所以在R[x;σ]中，u(x)*v(x)=v(x)*u(x)。

引理6 設(shè)n為偶數(shù),xn-1=u(x)*v(x)∈Z(R[x；σ]),其中,u(x)和v(x)是R[x；σ]中的首一多項式,且C=〈v(x)〉是R上長度為n的斜循環(huán)碼,則c∈C當(dāng)且僅當(dāng)在Rn中c(x)*u(x)=0。

證明 設(shè)c∈C,因為C=〈v(x)〉是R上長度為n的斜循環(huán)碼,所以存在r(x)∈R[x；σ],使得c(x)=r(x)*v(x)。由推論1和引理4知,在Rn中,c(x)*u(x)=(r(x)*v(x))*u(x)=r(x)*(u(x)*v(x))=0。反之,在R[x；σ]中,c(x)*u(x)=r(x)*(xn-1)=r(x)*u(x)*v(x)=r(x)*v(x)*u(x),u(x)是R[x；σ]中的首一多項式,故c(x)=r(x)*v(x),進而有c∈C。

定理7 當(dāng)n為偶數(shù)時,(xn-1)∈Z(R[x；σ]),xn-1=u(x)*v(x),其中,u(x)和v(x)是R[x；σ]中的首一多項式。設(shè)C=〈v(x)〉是R上長度為n的斜循環(huán)碼,且dim(C)=k。若u(x)=u0+u1x+…+uk-1xk-1+xk和v(x)=v0+v1x+…+vn-k-1xn-k-1+xn-k,則

(1)C⊥=〈ua(x)〉,在Rn中,ua(x)=σk(u0)xk+σk-1(u1)xk-1+…+σ(uk-1)x+1。

(2)C*=〈ub(x)〉,在Rn中,ub(x)=σk+1(u0)xk+σk(u1)xk-1+…+σ2(uk-1)x+1。

其中,uk=1，ut=0，k+1≤t≤n-1。

設(shè)α=(us,σ(us-1),…,σs(u0),σs+1(un-1),…,σn-1(us+1)),由(1)可得〈c,α〉E=0。由此推出,對0≤s≤n-1,ps=0當(dāng)且僅當(dāng)c∈C與(un-1,σ(un-2),…,σn-1(u0))及其所有的斜循環(huán)移位都是歐幾里得正交,故〈ua(x)〉?C⊥。當(dāng)k為奇數(shù)時,設(shè)va(x)=1+vn-k-1x+σ(vn-k-2)x2+…+σ(v1)xn-k-1+v0xn-k,可知va(x)*ua(x)=0。當(dāng)k為偶數(shù)時,設(shè)va(x)=1+σ(vn-k-1)x+vn-k-2x2+…+σ(v1)xn-k-1+v0xn-k,有va(x)*ua(x)=0。

綜上所述,ua(x)是xn-1的右因子,且|〈ua(x)〉|=|R|n-k=|C⊥|,故C⊥=〈ua(x)〉。

(2) 證明與(1)同理。

推論3 設(shè)C=〈v(x)〉是環(huán)R上長度為偶數(shù)的斜循環(huán)碼,則有：①C是歐幾里得自對偶碼當(dāng)且僅當(dāng)v(x)=ua(x);②C是厄米特自對偶碼當(dāng)且僅當(dāng)v(x)=ub(x)。

4 結(jié) 論

本文研究了環(huán)R=Z4+uZ4(u2=0)上的斜循環(huán)碼。通過構(gòu)造環(huán)Z4+uZ4上的自同構(gòu),探索了環(huán)Z4+uZ4上斜循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。當(dāng)n為偶數(shù)時,討論了環(huán)Z4+uZ4上斜循環(huán)碼的歐幾里得對偶碼和厄米特對偶碼的生成元。斜循環(huán)碼具有良好的參數(shù)和性質(zhì),能為找到好碼提供幫助,下一步可以研究環(huán)Z4+uZ4上斜循環(huán)碼的分類。

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Skew cyclic codes over ringZ4+uZ4

CHEN Nan, ZHU Shixin

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

In this paper， a class of linear codes， called skew cyclic codes over the ringR=Z4+uZ4is studied， whereu2=0. By analyzing the structural properties of skew polynomial ringR[x;σ]， the generators of skew cyclic codes are given. It is shown that skew cyclic codes overRare equivalent to either cyclic codes or quasi-cyclic codes overR. Then the enumeration of skew cyclic codes is given， and the generators of even length of dual codes with respect to Euclidean and Hermitian inner products are determined.

skew polynomial ring; skew cyclic code; cyclic code; quasi-cyclic code; dual code; generator

2015-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項目(61370089)；安徽省自然科學(xué)基金資助項目(JZ2015AKZR0229)

陳 楠(1990-)，女，安徽亳州人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生； 朱士信(1962-)，男，安徽樅陽人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.01.024

TN911.22

A

1003-5060(2017)01-0135-05