淺析高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)

童成軍

[摘要]：在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是重要的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，良好的扎實(shí)的函數(shù)基礎(chǔ)可以在學(xué)習(xí)中起到事半功倍的效果。由于函數(shù)的概念比較抽象，教師教授起來(lái)比較復(fù)雜，學(xué)生掌握起來(lái)有時(shí)也會(huì)遇到困難，在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)往往知其然不知其所以然，只明白解題方法和過(guò)程，但對(duì)于怎樣去尋找解題思路，運(yùn)用什么知識(shí)去解題卻一概不知。針對(duì)這種情況，下面我就有關(guān)高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行淺析。

[關(guān)鍵詞]：高中階段 數(shù)學(xué)教學(xué) 函數(shù)

一、函數(shù)內(nèi)容處理方式的分析

1、強(qiáng)調(diào)函數(shù)背景及對(duì)其本質(zhì)的理解。

無(wú)論是引入函數(shù)概念，還是學(xué)習(xí)三類函數(shù)模型，課程標(biāo)準(zhǔn)都要求充分展現(xiàn)函數(shù)的背景，從具體實(shí)例進(jìn)入知識(shí)的學(xué)習(xí)。以往教材中，將函數(shù)作為一種特殊的映射，學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解建立在對(duì)映射概念理解的基礎(chǔ)上。學(xué)生既要面對(duì)同時(shí)出現(xiàn)的幾個(gè)抽象概念：對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)，還要理清它們之間的關(guān)系。實(shí)踐表明，在高中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平上，理解這些抽象概念及其相互之間的關(guān)系存在很大困難。而從函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景實(shí)例出發(fā)，加強(qiáng)概念的概括過(guò)程，更有利于學(xué)生建立函數(shù)概念。一方面，豐富的實(shí)例既是概念的背景又是理解抽象概念的具體例證；另一方面，在實(shí)例營(yíng)造的問(wèn)題情境下，學(xué)生能充分經(jīng)歷抽象概括的過(guò)程，理解概念內(nèi)涵。

2、加強(qiáng)函數(shù)思想方法的應(yīng)用。

函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。因此，函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用。加強(qiáng)函數(shù)的應(yīng)用，既突出函數(shù)模型的思想，又提供了更多的應(yīng)用載體，使抽象的函數(shù)概念有更多的具體內(nèi)容支撐。比如，新增加的內(nèi)容“不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)”和“二分法”，前者通過(guò)比較函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，使學(xué)生能夠更深刻地把握不同函數(shù)模型的特點(diǎn)，在面對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能根據(jù)它們的特點(diǎn)選擇或建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型反映實(shí)際問(wèn)題中變量間的依賴關(guān)系；后者充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，它是運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決方程近似解問(wèn)題的方法之一，通過(guò)二分法的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)看待和解決問(wèn)題，逐漸形成在不同知識(shí)間建立聯(lián)系的意識(shí)。

二、函數(shù)內(nèi)容教學(xué)中的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題

1、如何選擇生活實(shí)例。

無(wú)論是加強(qiáng)概念背景，還是突出知識(shí)的聯(lián)系與應(yīng)用，能達(dá)到很好效果的重要因素就是要選擇合適的實(shí)例。那么，如何選擇實(shí)例才能有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？對(duì)于起到不同作用的背景實(shí)例和應(yīng)用實(shí)例，標(biāo)準(zhǔn)并不完全相同。但總的來(lái)說(shuō)，一是實(shí)例的背景知識(shí)應(yīng)該盡量簡(jiǎn)單，這樣可以避免因背景的復(fù)雜性而影響對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的理解；二是實(shí)例應(yīng)豐富，這樣有利于全面、準(zhǔn)確地理解知識(shí)，不會(huì)產(chǎn)生偏差；三是實(shí)例應(yīng)貼近學(xué)生生活、具有一定的時(shí)代性，這樣才會(huì)引起學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。比如，介紹函數(shù)概念時(shí)，教材選擇了用解析式表示炮彈飛行的問(wèn)題、用圖象表示南極臭氧空洞的問(wèn)題、用表格表示恩格爾系數(shù)的問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是學(xué)生在物理中就很熟悉的，后兩個(gè)問(wèn)題是日常生活中經(jīng)常提及的，背景相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生就不會(huì)因?yàn)樾枰私膺^(guò)多的背景知識(shí)而沖淡對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。而且重要的是，這樣的三個(gè)問(wèn)題包括了不同的函數(shù)表現(xiàn)形式，利用它們概括函數(shù)概念，就可以消除初中學(xué)習(xí)中可能存在的一些認(rèn)識(shí)偏差，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到無(wú)論表示形式如何，只要對(duì)于每一個(gè)x，都有一個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，就是函數(shù)，而這正是函數(shù)的本質(zhì)特征。再如，根據(jù)汽車票價(jià)制定規(guī)則寫出票價(jià)和里程間的解析式，并利用解析式為售票員制作出我們?cè)谄嚿辖?jīng)?？吹降摹半A梯形票價(jià)表”這類問(wèn)題，貼近學(xué)生生活并具有現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用價(jià)值，能引發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)的積極性。

2、如何展開(kāi)函數(shù)概念。

對(duì)于突破函數(shù)概念這個(gè)難點(diǎn)，可以在整段函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中采用顯化過(guò)程、加強(qiáng)聯(lián)系的方法。那么具體地，在從三個(gè)方向鞏固函數(shù)概念理解時(shí)，如何展開(kāi)像函數(shù)的單調(diào)性、二分法這些概念，才能讓學(xué)生掌握它們，從而達(dá)到鞏固理解函數(shù)概念的目的呢？函數(shù)的性質(zhì)就是研究函數(shù)的變化規(guī)律，這種規(guī)律最直觀的獲得來(lái)自于圖象，圖象的上升、下降就是單調(diào)性。問(wèn)題在于如何幫助學(xué)生從幾何直觀上升到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。同樣地，二分法也需要經(jīng)歷一個(gè)由直觀認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定義的過(guò)程。為此，就需要將直觀到嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義的過(guò)程劃分成幾個(gè)層次，為學(xué)生搭建認(rèn)識(shí)的臺(tái)階，使他們逐步地獲得概念。比如，介紹函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先給出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，觀察它們的圖象特征，即上升或下降；然后用問(wèn)題“如何描述函數(shù)圖象的‘上升‘下降呢”引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言描述出圖象特征；最后思考“如何利用解析式f（x）=x2描述‘隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）隨著減小……”，將自然語(yǔ)言的描述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的描述，并一般化得到單調(diào)性的數(shù)學(xué)定義。通過(guò)這樣的三步，利用數(shù)形結(jié)合的方法展開(kāi)單調(diào)性的概念，既有助于學(xué)生通過(guò)自己的努力獲得概念，而且也從數(shù)和形兩個(gè)方面理解了概念。

3、函數(shù)內(nèi)容中如何使用信息技術(shù)。

在數(shù)學(xué)課程中使用信息技術(shù)已經(jīng)毋庸置疑，同樣地信息技術(shù)的使用也是教材編寫中最為關(guān)注的問(wèn)題之一。那么在函數(shù)中有哪些適合使用信息技術(shù)的內(nèi)容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎樣的？

信息技術(shù)具有強(qiáng)大的圖象功能、數(shù)據(jù)處理功能和良好的交互環(huán)境，利用這些優(yōu)勢(shì)，在函數(shù)這部分內(nèi)容中可以使用信息技術(shù)的點(diǎn)主要有：求函數(shù)值、做函數(shù)圖象、研究函數(shù)性質(zhì)、擬和函數(shù)等。運(yùn)用常見(jiàn)的一些軟件，如excel、幾何畫(huà)板等就可以輕松地作出函數(shù)圖象，這在討論不同函數(shù)模型增長(zhǎng)差異時(shí)發(fā)揮很大作用，從幾幅圖就能直觀發(fā)現(xiàn)增長(zhǎng)的差異；運(yùn)用計(jì)算器可以解決二分法中計(jì)算量大的問(wèn)題，從而將更多精力關(guān)注到二分法的思想上，認(rèn)識(shí)到函數(shù)和方程間的聯(lián)系；而計(jì)算機(jī)的交互環(huán)境則為學(xué)生的自主探究提供了強(qiáng)有力的平臺(tái)，豐富了學(xué)習(xí)方式，如討論指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可以充分演示出圖象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，這樣就能在變化中尋求“不變性”，發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有的性質(zhì)。教材編寫時(shí)一方面在適合使用信息技術(shù)的地方給予提示，如“可以用計(jì)算機(jī)……”等；另一方面通過(guò)拓展欄目詳細(xì)地介紹一些信息技術(shù)應(yīng)用的專題，如“用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖象”重點(diǎn)介紹使用常用軟件做函數(shù)圖象的方法，“借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”給出探究的情境，要求學(xué)生親自利用信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，“收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型”介紹了如何用信息技術(shù)擬合函數(shù)，等等。通過(guò)這些方式，可以為教師和學(xué)生提供使用信息技術(shù)的機(jī)會(huì)和空間。