導(dǎo)數(shù)與不等式聯(lián)姻的解決策略

韓華

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)來解決不等式問題，越來越多的被作為考查的重點(diǎn)出現(xiàn)在近幾年的高考題中，本文就這點(diǎn)結(jié)合教學(xué)過程中的實(shí)際來簡單探討一下。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 不等式

不等式是高中數(shù)學(xué)中的基本問題，它也是高考必考查的一類問題，通常是不等式的解法、含有參數(shù)的不等式、不等式的證明等。它可以和函數(shù)、數(shù)列等知識進(jìn)行綜合考查，考查函數(shù)思想、分類討論思想、可以很好的考查考生的綜合分析和解決問題的能力。本文就高考中和平時(shí)練習(xí)中出現(xiàn)的一些題型，茲舉幾例進(jìn)行說明。

一、利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式問題

（一）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：

1、直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立。

例1：x>0時(shí)，求證；x -ln（1+x）<0

證明：設(shè)f（x）= x -ln（1+x） （x>0）， 則f （x）=

∵x>0，∴f （x）<0，故f（x）在（0，+∞）上遞減，

所以x>0時(shí)，f（x）

2、把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求證：ab>b a， （e為自然對數(shù)的底）

證明：要證ab>b a只需證lnab>lnba 即證：blna-alnb>0

設(shè)f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；則f （x）=lna- ，

∵a>e，x>a ∴l(xiāng)na>1， <1，∴f （x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上遞增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb

所以ab>b a成立。

注意：此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f（x）=blnx-xlnb （e

則 ，f′（x）>0時(shí) 時(shí) ，故f（x）在區(qū)間（e， b）上的增減性要由 的大小而定，當(dāng)然由題可以推測 ，

故f（x）在區(qū)間（e， b）上遞減，但要證明 則需另費(fèi)周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構(gòu)造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時(shí)，如何選擇自變量來構(gòu)造函數(shù)是比較重要的。

（二）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。

導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值。 因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大（?。┲担僮C明不等式：

例3：求證：n∈N*，n≥3時(shí)，2n >2n+1

證明：要證原式，即需證：2n-2n-1>0，n≥3時(shí)成立

設(shè)f（x）=2x-2x-1（x≥3），則f （x）=2xln2-2（x≥3），

∵x≥3，∴f （x）≥23ln3-2>0

∴f（x）在[3，+∞ 上是增函數(shù)，

∴f（x）的最小值為f（3）=23-2×3-1=1>0

所以，n∈N*，n≥3時(shí)，f（n）≥f（3）>0， 即n≥3時(shí)，2n-2n-1>0成立，

二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f（x） （或m

例4：已知函數(shù) ，對f（x）定義域內(nèi)任意的x的值，f（x）≥27恒成立，求a的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由f（x）≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立

知 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即 對x∈（0，+∞）恒成立

設(shè) 則 ，由h′（x）=0解

h′（x）>0時(shí)，解得00時(shí)x>

所以h（x）在（0， ）上遞增，在（ ，+∞）上遞減，

故h（x）的最大值為 ，所以

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來解決，這是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)新的應(yīng)用，也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。

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