極值點偏移問題探析

吳文昊　徐楠

近日，在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用時，集中整理了一些被歸結(jié)為極值點偏移背景問題的往年高考試題，并參閱了一些對該類問題探討的教學(xué)論文[1-3]，在解題思路上受益匪淺，頗有收獲.但也留下一些困惑：究竟什么叫極值點偏移即嚴(yán)格的定義是什么？該定義之下，如何簡潔判別（不求出）極值點是否偏移，并判定其類型？極值點偏移的本質(zhì)即偏移產(chǎn)生的充分必要條件是什么？

直觀地看，極值點偏移現(xiàn)象應(yīng)該具有這樣的幾何特征：在兩個等值點之間具有一個單獨的極值點，偏離了正中的位置，向左或右偏移.用數(shù)學(xué)語言敘述（簡稱為嚴(yán)格定義）就是：設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（a）=f（b），并在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值點x0；若x0<[SX（]a+b[]2[SX）]，則稱極值點x0左偏；若x0>[SX（]a+b[]2[SX）]，則稱極值點x0右偏.函數(shù)f（x）的極值點左偏和右偏統(tǒng)稱為函數(shù)f（x）的極值點偏移.

不難看出，這一嚴(yán)格定義涵蓋了參考文獻中極值點偏移的概念.但是，其屬性的詳盡研究已超出了初等數(shù)學(xué)范疇，為在現(xiàn)有的初等數(shù)學(xué)范圍中探討之，需要在數(shù)形結(jié)合的思想下使用簡化的概念.

因此，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)實際內(nèi)容，本文定義如下極值點偏移的簡化概念，并在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)意義上做一些探析.

簡化定義設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（a）=f（b），并在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極小值點x0.若對于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0f（x0+x）或f（x0-x）

注1對于極大值點的偏移，只需考察負(fù)值函數(shù)的極小值點偏移.

注2按簡化定義，函數(shù)f（x）在極小值點x0鄰近的左邊值f（x0-x）大于或小于右邊值f（x0+x）時，x0左或右偏移，其數(shù)形結(jié)合的特點十分明顯.因此，考察f（x0-x）與f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符號是十分自然的思路與方法.

文[1]將極值點發(fā)生偏移理解為函數(shù)在極值點左右增減速不同，導(dǎo)致函數(shù)失去對稱性.事實上，當(dāng)左側(cè)的減速大于右側(cè)的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定義，極小值點x0向左偏移.當(dāng)左側(cè)的減速小于右側(cè)的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]

文[2]在數(shù)形結(jié)合的思想下，歸納出的結(jié)論正是本文的簡化定義，但并未將其歸結(jié)成初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)極值點偏移現(xiàn)象的本質(zhì).

文[2]、[3]的結(jié)論中假定f（a）=f（b）=0是不適當(dāng)?shù)模驗樵S多函數(shù)圖像不與x軸相交，但仍有極值點偏移問題.

如在前述嚴(yán)格定義的基礎(chǔ)上，融合數(shù)形結(jié)合的思想，可得出如下初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（a）=f（b），并且只有一個極小值點x0.

（1）若f（a）

（2）若f（a）>f（2x0-b），則函數(shù)f（x）極值點x0右偏移.

證明由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)只有一個極小值點x0可知，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，x0），單調(diào)遞增區(qū)間為（x0，+∞）.

由此可判定，極值點x0分別左偏移或右偏移.

注3結(jié)論1、2在一定意義上刻畫了極值點偏移的本質(zhì).

值得一提的是，初等數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的方法并不是一種嚴(yán)格推理論證的數(shù)學(xué)思想方法，而是一種利用幾何特點輔助性推理的方法，只適用于初等數(shù)學(xué)范疇.

如右圖所示函數(shù)，隨著所考慮的區(qū)間改變，極小值點偏移的類型也在改變（甚至是不偏移的）：極小值點x0在區(qū)間（a，b）內(nèi)右偏移，在區(qū)間（c，d）內(nèi)左偏移.

因此，從嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上講，極值點偏移不是確定的概念，只適合在初等數(shù)學(xué)中用數(shù)形結(jié)合的思想去考察.本文的簡化定義，賦予了極值點偏移問題更加直觀、形象的理解，以及易于處理的思路.

參考文獻

[1]邢有寶.極值點偏移問題的處理策略[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（7）：19-22.

[2]王曉.對極值點偏移問題的再探究[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（12）：32-33，36.

[3]王歷權(quán)，黨忠良.也談?wù)剺O值點偏移問題[J] .福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（4）：12-14.