于丹竹， 黎 勝

(大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，運載工程與力學學部 船舶工程學院，大連 116024)

基于降階模型的水下結構振動主動控制仿真及實驗研究

于丹竹， 黎 勝

(大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，運載工程與力學學部 船舶工程學院，大連 116024)

基于降階模型對水下結構振動的主動控制進行了仿真及實驗研究，并取得了較好的抑制振動的效果?；诮Y構在可壓縮流體加載下的無阻尼實模態(tài)矩陣建立了水下結構的降階模型，由于維數的降低，進而能夠設計出相對簡化的主動控制系統(tǒng)，減少傳感器和作動器的數量。通過線性二次型最優(yōu)控制和結構主動變剛度控制兩種方法對水下結構振動進行了主動控制仿真，均使結構振動有所下降。仿真結果顯示線性二次型最優(yōu)控制能夠降低結構振動的峰值，而結構主動變剛度控制能夠將結構的固有頻率按照需要進行改變。還通過水下平板振動主動控制模型實驗，驗證了主動控制技術對水下結構的減振效果。

水下結構；降階模型；振動主動控制；線性二次型最優(yōu)控制；變剛度控制；實驗研究

船舶結構振動對船舶的安全性，儀器儀表的工作穩(wěn)定性以及人員的舒適性等都有非常大的影響。由結構振動引起的船舶水下輻射噪聲，對海洋生物和環(huán)境有不利影響，也降低了艦艇的隱蔽性。水下結構的振動控制一直以來都是船舶工程領域亟需著力解決的問題之一。目前船舶工程領域所廣泛采用的減振方法，通常是采用被動控制手段：如浮筏基座隔振技術、敷設阻尼材料降低振動、以及增大船體結構剛度等[1]。這類技術通常在低頻段很難獲得令人滿意的振動控制效果。

結構振動主動控制方法與傳統(tǒng)的被動控制方法相比，具有抑制低頻效果好，對被控結構的物理性質影響小，修正設計方便，以及能夠適應未知擾動，能適應系統(tǒng)和結構參數的不確定性等諸多優(yōu)點，已經被廣泛應用于航天工程和汽車工程領域，以空氣或真空中結構為研究對象。20世紀90年代FULLER[2]，顧仲權等[3]較全面地介紹了振動主動控制的理論、方法及應用。近年來，振動主動控制技術的研究也取得了不少進展。ZILLETTI等[4]對平板實施了多個速度反饋循環(huán)的實驗，通過使局部吸收量最大化的算法實現了增益矩陣自適應控制。結果表明, 自適應算法不僅使反饋循環(huán)的吸收總功率最大化，而且這組反饋增益非常接近能夠使測量面板的動能最小的值。KUMAR等[5]進行了柔性梁上壓電作動器、傳感器優(yōu)化布置的研究，得出結論作動器、傳感器的最優(yōu)位置應在模態(tài)應變能較高的區(qū)域內。馬天兵等[6]進行了智能結構振動主動控制研究，研究結果表明該方法具有很好的控制效果和魯棒性。浦玉學等[7]研究了結構振動主動控制算法，提出基于次級通道在線辨別的變步長振動主動控制算法，結果表明該控制系統(tǒng)對簡支梁振動響應有較好的抑制作用。

對水中船舶結構的振動控制需要考慮水的加載效應對結構振動的影響，因此，不能將現有的適用于空氣中結構振動主動控制的理論簡單的加以應用。本文基于可壓縮流體加載下的無阻尼實模態(tài)矩陣，建立了考慮流體加載效應的水下平板結構振動的降階模型，并對其進行了振動主動控制的數值仿真和實驗研究。研究了基于降階模型的水下結構振動主動控制方法，簡化了主動控制系統(tǒng)。通過模型實驗驗證了主動控制對水下結構振動的抑制效果。為水下結構振動主動控制提供了新的參考。

1 理論

1.1 水下結構振動的實模態(tài)矩陣

結構在簡諧激勵力作用下，并且考慮流體加載效應的有限元形式的運動方程為[8]：

(-ω2Ms+iωC+K)x=Ff-DTp

(1)

式中：ω為激勵圓頻率；i=(-1)1/2；Ms、C和K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x為結構位移向量；F為外力位置矩陣；f為外激勵力向量；D為轉換矩陣；矩陣T=∫SHTHdS，H為形狀函數矩陣，S為結構濕表面；p為結構表面流體壓強向量。結構表面流體壓強向量p和表面法向速度向量vn的關系式為

p=Zvn

(2)

式中：Z為聲阻抗矩陣。對水中平板結構，結構表面流體壓強和結構表面法向振速的關系式可通過對板表面Rayleigh積分[9]進行離散得到。

結構表面法向速度向量vn、結構有限元節(jié)點速度向量v和結構位移向量x之間的關系式可表示為：

vn=DTv=iωDTx

(3)

將式(2)和式(3)代入式(1)得：

(-ω2Ms+iω(C+DTZDT)+K)x=Ff

(4)

式(1)和式(4)中的流體加載項DTp或iωDTZDTx所表示的流體加載效應體現為流體附加質量Ma和流體附加阻尼Ca：

DTp=iωDTZDTx=(-ω2Ma+iωCa)x

(5)

將水視為可壓縮流體，對第i階水中結構模態(tài)，與其固有頻率ωi對應的附加質量矩陣Ma為[10]

(6)

求解由剛度矩陣K和質量矩陣M=Ms+Ma確定的廣義特征值問題，可得結構在可壓縮流體加載下的實模態(tài)矩陣Φ。由于空氣中的結構振動一般可以不考慮流體的加載效應，所以對空氣中不考慮流體加載效應的情況，其實模態(tài)矩陣可直接使用結構的質量矩陣Ms和剛度矩陣K來確定實模態(tài)矩陣。

1.2 結構振動降階模型的建立[11]

所求解的結構模態(tài)向量滿足正交關系：

ΦTMΦ=m

(7)

(8)

將式(8)代入到式(7)中，就得到單位矩陣，也就是式(7)通過新模態(tài)矩陣實現歸一化。利用這個關系將式(7)改寫，就得到建模方法的關鍵式為

(9)

(10)

同時，如果含有q個模態(tài)向量成分，則各誤差項用模態(tài)向量成分的函數來表示：

(11)

式中:φ是重新排序的模態(tài)成分φq構成的模態(tài)向量。重新定義的模態(tài)向量φ的修正向量設為δφ，為了使誤差向量ε為0，因此有：

(12)

(13)

則使用最小范數解，通過一般化逆矩陣，式(12)的修正向量為

(14)

由以上數據對比可以看出，實驗后實驗班在顛球、20 m腳內側運球過桿、腳內側定點射門三個項目成績高于對照班，其顛球技術具有非常顯著的差異。

1.3 結構振動主動控制

1.3.1 結構狀態(tài)空間運動方程

(15)

式中:x為降階后模型的位移變量。

將該運動方程轉換至狀態(tài)空間寫為[2]

(16)

式中:X及系數矩陣A、B、E分別為

(17)

觀測向量y為：

y=CxX

(18)

式中:Cx為觀測矩陣。與選取的點是否能夠滿足可觀測條件有關。

對系統(tǒng)施加的狀態(tài)反饋為

u=-GX

(19)

式中:G即為狀態(tài)反饋增益矩陣，本文將使用LQ控制和結構主動變剛度控制兩種方法對結構振動進行控制，求解狀態(tài)反饋控制力。

1.3.2 LQ控制理論

振動控制力求盡可能降低控制力所需的能量的同時，提高振動控制的效果。使二次形式性能指標函數最小化的最優(yōu)控制理論，被廣泛應用，稱為線性二次型最優(yōu)控制，即LQ控制。

定義系統(tǒng)的二次型性能指標函數為[13]

(20)

式中:Q是與狀態(tài)向量有關的加權矩陣的非負正定矩陣(Q≥0)；R為與輸入向量相關的加權矩陣的正定矩陣(R>0)，通過選取Q和R來取得振動特性和輸入能量之間的平衡。使性能指標函數最小的u可以求得為：

u=-R-1BTPX=-GX

(21)

式中:P是通過求解Riccati(黎卡蒂)方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(22)

的正定解來得到。

在Matlab的工具箱中提供了求解二次型狀態(tài)調節(jié)器問題的函數。將系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型等作為輸入參量，則輸出參量為最優(yōu)反饋增益矩陣。

1.3.3 結構主動變剛度控制

結構主動變剛度控制是通過改變結構的附加剛度，使結構控制系統(tǒng)的固有頻率遠離干擾頻率，避免結構發(fā)生共振，從而減小結構響應[14]。

首先，要給定一個受控后結構的各階固有頻率Ω1，Ω1應區(qū)別于結構受控前的固有頻率ωi，并遠離激勵圓頻率ω。結構實施主動變剛度控制后結構系統(tǒng)剛度陣為K1：

(23)

式中:ΔK為控制模型的附加剛度。受控后結構的運動方程為：

(24)

則狀態(tài)反饋控制力為

u=-ΔKx

(25)

式中:ΔK即為主動變剛度控制中的位移反饋增益矩陣。

2 數值仿真

模型降階主動控制的仿真分析以水中鋼質平板為算例，平板長0.455 m，寬0.379 m，厚0.003 m，鋼密度為7 800 kg/m3，泊松比0.3，楊氏模量2.1×1011Pa，四周簡支。水介質密度1 000 kg/m3，水中聲速1 500 m/s。計算中采用四邊形四節(jié)點等參元對結構進行離散，網格為16×16，其中有限元為基于Mindlin板彎曲理論的板元，板表面Rayleigh積分的離散使用和有限元計算同樣的網格[15]。流體加載效應引起的模態(tài)阻尼比基于文獻[12]中的方法得到，按文獻[15]：流體加載引起的前五階模態(tài)阻尼比為：0.601 98%、0.002 26%、0.003 80%、0.000 07%、0.420 42%。如圖1所示，在結構的點1和點5位置處，分別受到幅值為1 N法線方向的外部激勵Fa和Fb。以結構的前五階模態(tài)作為振動控制對象，需要在結構的節(jié)點中選取5個點作為降階模型的觀測點和控制點，將計算獲得的狀態(tài)反饋控制力u以簡諧激勵的形式施加在各個控制點上，對降階模型實施主動控制，如圖2所示。

圖1 模型結構示意圖Fig.1 The underwater flat structure

圖2 降階模型示意圖Fig.2 The reduced order model

嘗試按照若干種不同方案選定觀測點和控制點位置，現羅列其中三種方案，如圖3所示。按照不同的選點方案將平板結構模型進行降階處理，得到降階模型的振動頻響曲線，與原始模型相對比，如圖4所示。由圖中可知，選取不同方案時，降階模型的精確度不同，其中方案1和方案2降階模型的頻響曲線與原始模型相去甚遠，因此不宜采用這兩種方案。而方案3降階模型的振動頻響曲線與原始模型的整體上最為接近，因此，按照方案3選取節(jié)點作為降階模型的觀測點和控制點，將平板結構簡化為五質點降階模型。

(a) 觀測點和控制點選取方案1

(b) 觀測點和控制點選取方案2

(c) 觀測點和控制點選取方案3圖3 觀測點和控制點選取方案Fig.3 Arrangement of observation and control points

以降階模型的質量陣、剛度陣和阻尼陣建立運動方程，計算模型在觀測點處的振動速度級(dB，參考值:10-9m/s)與原始模型進行比較，分析降階模型的準確性。降階后，模型的質量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣分別為：

(26)

(27)

圖5為兩種不同外力加載情況下結構的振動速度級曲線。其中圖(a)為外部激勵施加在點1時，點2的振動速度級曲線，圖(b)為外部激勵在點5時，點1處的振動速度級曲線。由圖可知考慮前五階模態(tài)的低元化模型，在210Hz以內的頻率響應與原始模型總體上吻合較好，振動速度曲線與原始模型曲線基本一致。誤差可以控制在5dB以下，對于不同的外力施加位置，降階模型響應曲線可以較好的吻合原始模型在觀測點處振動速度級曲線。

圖4 觀測點和控制點選取方案精確度比較Fig．4Comparisonofobservationandcontrolpointsarrangement圖5 原始模型與降階模型結構振動速度比較Fig．5Comparisonofstructuralvibrationvelocitiesbetweenoriginalmodelandreducedordermodel

圖6 結構受LQ控制前后振動速度級比較Fig.6 The structure vibration velocity before and after LQ control

在降階模型的基礎上，對水下平板結構實施LQ控制，加權矩陣R和Q分別為R=[I]5×5,Q=105×[I]10×10，所得的反饋增益矩陣隨外部加載力的頻率相應變化，板所受不同頻率的外部載荷激勵時，計算生成的反饋控制力不同，將計算求得的狀態(tài)反饋控制力施加在控制點1～5點上，求解受控后模型的在觀測點處的振動速度級。兩種不同的外部激勵施加工況下，結構受LQ控制前后振動速度級分別與原始模型進行比較，如圖6所示。圖(a)為在點1施加外部激勵時，受控前后點2的振動速度級曲線。圖(b)為在點5施加外部激勵時，受控前后點1的振動速度級曲線。從圖中可以很明顯的看出受到LQ控制的模型振動速度級顯著降低，特別是峰值減幅明顯，降低了約44 dB。結構受控后的振動響應已看不到明顯的共振峰，結構的共振響應明顯降低，且控制沒有改變結構的固有頻率，受控后結構的振動特性得到明顯改善。

圖7 結構受主動變剛度控制前后振動速度級比較Fig.7 The structure vibration velocity before and after active variable stiffness control

對結構實施主動變剛度控制，首先，按照遠離結構的固有頻率和激勵圓頻率的原則設定模型受控后固有頻率。模型前五階的固有頻率及設定受控后固有頻率如表1所示。然后，基于式(23)，計算求得實施變剛度控制后系統(tǒng)剛度陣K1，再得到K1與不受控模型的剛度陣的差值作為位移反饋增益矩陣，進而確定狀態(tài)反饋控制力。最后將反饋控制力施加在點1～5上，受控前后結構的振動速度級比較如圖7所示，圖(a)為在點1施加外部激勵時，受控前后點2的振動速度級曲線。圖(b)為在點5施加外部激勵時，受控前后點1的振動速度級曲線?？梢钥闯鼋Y構受到變剛度控制后，在振幅下降的同時曲線共振峰出現明顯偏移。模型在受到主動變剛度控制后，結構頻響曲線的峰值出現在設定的固有頻率處，幅值有所下降，最大減幅達到45 dB，但是頻響曲線起伏趨勢依然較為明顯。主動變剛度控制并沒有改變結構原有頻響曲線的趨勢，只改變了結構固有頻率。

表1 原始模型固有頻率及受控后固有頻率

圖8 測試系統(tǒng)框圖Fig.8 Test system

3 實驗研究

模型實驗可以更直接的反映出主動控制對水下結構振動的影響效果。測試系統(tǒng)主要包括結構主體、激勵系統(tǒng)、反饋系統(tǒng)、數據采集系統(tǒng)，測試系統(tǒng)框圖如圖8所示。實驗模型如圖9所示，板長0.455 m，寬0.379 m，厚0.003 5 m，船用鋼材質，四邊由夾具固定，實驗在消聲水池中進行。

圖9 平板結構模型實物圖Fig.9 Picture of flat plate

逐一針對水下平板結構振動各個峰值頻率施加主動控制，由激振器在1點位置對平板結構施加單頻原始激勵，由1～5號位置振動傳感器拾取振動信號，分析測量結構振動響應，根據LQ主動控制算法，由原始激勵、各測點結構振動響應計算1～5號控制點所需的控制力，通過作為次級振源的壓電陶瓷施加到平板結構上，實現水下平板結構各個峰值頻率結構振動主動控制，列表顯示結果如表2所示。

表2 受控前后各個測點振動響應對比

由表2中可知，結構由于受到主動控制的影響，在各個測點處的振動速度級均有所下降。 施加主動控制后，在26.56 Hz頻點下，點4控制效果最明顯，約為6.2 dB，點3、點5位置控制效果也有約6 dB的控制效果。在79.38 Hz頻點下，各測點處控制效果均較為明顯，在9～11 dB之間。通過結果對比，LQ主動控制可以有效降低平板水下第2個峰值頻率的結構振動響應。在148.4 Hz頻點下，主動控制對測點1～3處結構振動均取得了較好的控制效果，在12～14 dB之間。在257.8 Hz和271.9 Hz頻點下，針對水下平板結構振動進行LQ主動控制，各個測點均到達了較為理想的效果。

4 結 論

本文基于模型降階對水下結構進行了仿真及實驗研究，通過主動控制方法降低了水下結構振動。通過對計算及實驗結果的分析和比對，得到以下結論：

(1)可以通過主動控制的方法有效抑制水下結構的振動響應，尤其是低階峰值頻點處的振動響應。

(2)LQ控制能夠降低結構的振動速度級幅值，但不改變水下結構的固有頻率，使結構的頻響曲線趨勢平緩。

(3)結構主動變剛度控制能有效規(guī)避外界激勵力頻率與水下結構固有頻率重合造成的共振，以此降低振動速度級。

(4)降階模型能夠降低水下結構的維數，減少主動控制中所使用的傳感器和作動器的數量，使振動主動控制系統(tǒng)的設計更加簡單。

(5)模型實驗研究表明和驗證了基于降階模型的水下結構振動LQ控制可以有效降低水下平板結構振動響應。

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Active vibration control simulation and experiment studies of underwater structures based on a reduced order model

YU Danzhu, LI Sheng

(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, School of Naval Architecture, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

In order to effectively suppress vibration of an underwater structure, its active vibration control simulation and experiment studies were implemented based on a reduced order model. The compressible fluid-loaded undamped modal matrix was used to build the reduced order model of the underwater structure. Due to dimension number’s reduction, a simplified vibration active control system was designed to decrease the number of sensors and actuators. Active control of underwater structural vibration of a plate was simulated with the linear quadratic(LQ)control method and the variable stiffness control method, respectively. The simulation results showed that the plate’s vibration amplitude is quite well controlled with the LQ control method, while the natural frequencies of the plate can be changed according to requirements with the variable stiffness control method; based on the reduced order model, the active control is relatively easy to implement and the experimental results verifies the vibration reduction effects of active control technique on underwater structures.

underwater structure; reduced order model; vibration active control; LQ optimal control; variable stiffness control; experimental study

2015-09-16 修改稿收到日期：2016-01-17

于丹竹 女，博士生，1985年7月生

黎勝 男，教授，博士生導師，1973年5月生 E-mail：shengli@dlut.edu.cn

U663.2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.012