時(shí)統(tǒng)業(yè)

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凸函數(shù)的加權(quán)積分不等式及其生成的差

時(shí)統(tǒng)業(yè)

(海軍指揮學(xué)院信息系, 南京211800)

從凸函數(shù)的定義出發(fā), 建立了兩個(gè)新的帶有權(quán)函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式. 對(duì)于一階可微函數(shù), 利用一階導(dǎo)數(shù)的界給出由帶有權(quán)函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式生成的差值的估計(jì). 對(duì)二階可微的凸函數(shù), 證明了當(dāng)其一階導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí), 本文給出的結(jié)果是已有文獻(xiàn)結(jié)果的加強(qiáng).

-凸函數(shù); 凸函數(shù); Hermite-Hadamard型不等式; 權(quán)函數(shù)

引言

記正數(shù),的調(diào)和平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均、指數(shù)平均、算術(shù)平均分別為

定義1[1]設(shè). 如果對(duì)任意有

注2 可將引理1平行推廣到第二種意義上的-凸函數(shù)情形: 設(shè),是定義在上的函數(shù),, 則為上第二種意義上的-凸函數(shù)的充要條件是則為上第二種意義上的-凸函數(shù)．

本文從凸函數(shù)定義和Jensen不等式出發(fā), 建立兩個(gè)第二種意義上的凸函數(shù)的帶有權(quán)函數(shù)的Hermite- Hadamard型不等式．作為推論, 得到兩個(gè)新的凸函數(shù)的帶有權(quán)函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

用分部積分法容易證明

(2)

; (3)

; (4)

; (5)

; (7)

． (9)

1 第二種意義上的s-凸函數(shù)的帶有權(quán)函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式

, (10)

.

綜合式(12)、(13), 式(10)的左邊部分得證．

所以

, (15)

其中

,

于是

. (18)

綜合式(15)、(17)、(18), 則式(10)的右邊部分得證．

, (19)

2 由凸函數(shù)的帶有權(quán)函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式生成的差的估計(jì)

; (21)

; (22)

; (24)

; (25)

． (27)

證明 式(20)~(27)的證明是類似的, 這里僅證明式(27)．設(shè)

; (29)

;

;

;

．

, (31)

式(31)的證明

.

故式(31)成立．

式(32)的證明

．

,

其中

所以有

.

故式(32)成立．

[1] Hudzik H, Maligranda L.[J]. Aequationes Math., 1994(48): 100~111

[2] Dragomir S S, Fitzpatrick S.The Hadamards inequality for s-convex functions in the second sense[J]. Demonstratio Math., 1999, 32(4): 687~696

[3] Dragomir S S, Gomm I.(I)[J]. Scientia. Series A: Mathematical Sciences, 25: 17~25

[4] 劉三陽(yáng), 李廣民. 數(shù)學(xué)分析十講[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2011: 93

[5] Dragomir S S.(II)[J]. Proyecciones Journal of Mathematics, 2014, 33(4): 349~367

Weighted Integral Inequalities for Convex Functions and Their Difference Generated

SHI Tongye

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)

Starting from the definition of convex functions, we establish two new Hermite-Hadamard type inequalities with weighted functions. For first order differentiable functions, the estimates of the difference generated by Hermite-Hadamard type inequalities with weighted functions are given. For second order differentiable convex functions whose first order derivatives are convex functions, the results in this paper are the strengthening of the results in the existing literature.

-convex function, convex function, Hermite-Hadamard type inequality, weighted function

O178

A

1672-5298(2017)01-0001-06

2016-05-29

時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963?), 男, 河北張家口人, 碩士, 海軍指揮學(xué)院信息系副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)