☉湖北恩施州教科院 楊超

全面深化課程改革，踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

☉湖北恩施州教科院 楊超

2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》；教育部組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系；2016年9月正式發(fā)布了“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”，以科學(xué)性、時(shí)代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與三個(gè)方面.數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.2016年恩施州初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試中許多試題源于教材又高于教材，具有靈活多變、舊題新出的特點(diǎn)，很好地踐行了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以2016年恩施州初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題第24題為例進(jìn)行評(píng)析.

一、試題欣賞

如圖1，在矩形OABC紙片中，OA=7，OC=5，D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OCD沿OD折疊，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l：y=x-7上時(shí)，記為點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊OA上時(shí)，記為點(diǎn)G．

（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

（2）求經(jīng)過G、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式.

（3）當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l上時(shí)，求CD的長(zhǎng).

（4）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

圖2

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解析：（1）如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于M.

由折疊知OE=OC=5.

設(shè)點(diǎn)E（x，-x+7），則EM=-x+7，OM=x.

在Rt△OME中，OM2+EM2=OE2.

則x2+（-x+7）2=52.

解得x=3或x=4.

當(dāng)x=3時(shí)，y=-x+7=4；

當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+7=3.

則點(diǎn)E（3，4）、F（4，3）.

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.

由拋物線過點(diǎn)E（3，4）、F（4，3）、G（5，0），得

則所求拋物線的解析式為y=-x2+6x-5.

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)E時(shí)，設(shè)CD=m，作ME⊥x軸于M，交BC于N.

由點(diǎn)E（3，4），得CN=3，EM=4，EN=5-4=1.

DN=3-m，DE=CD=m.

在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2.

即m2=（3-m）2+12.

圖3

圖4

（4）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P符合題意，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2+ 6x-5）.

若PF為斜邊，如圖4，作FH⊥EM于H，作PK⊥EM于K.

∠PKE=∠EHF=90°.又∠PEK=∠EFH，則△PKE∽△EHF.

即x2-5x+6=0.

解得x=3（舍）或x=2，則點(diǎn)P（2，3）.

若PE為斜邊，同理可求得P（1，0）.

若EF為斜邊，點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，顯然該圓除點(diǎn)E、F以外與拋物線無交點(diǎn)，所以此時(shí)不存在點(diǎn)P使△EPF為直角三角形．

則存在點(diǎn)P（2，3）或點(diǎn)P（1，0），使以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形．

二、試題評(píng)析

試題來源于新人教版八年級(jí)上冊(cè)P79習(xí)題2和八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)活動(dòng)折紙，以矩形的折疊為載體，要求學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化中探究不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，動(dòng)靜結(jié)合，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交織在一起，綜合運(yùn)用了矩形、全等三角形、勾股定理、二次函數(shù)與一元二次方程、直線與圓等初高中銜接內(nèi)容，題目設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，梯度分明，綜合性強(qiáng).題目精心設(shè)計(jì)，構(gòu)思巧妙，矩形的長(zhǎng)是7，寬是5，精心設(shè)置這組數(shù)據(jù)是為了得出勾股數(shù)3、4，在此基礎(chǔ)上生成3+4=7，為進(jìn)一步求解奠基.動(dòng)手操作，探索解題思路，多種方法都行得通，但難易程度相去甚遠(yuǎn)，要一下子捕捉到簡(jiǎn)單、自然的方法，快速求出結(jié)果，需要豐富的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解題經(jīng)驗(yàn).在數(shù)學(xué)思想方法方面，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的思維能力、計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義觀，是一道踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題.

三、踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模

對(duì)于此題，初讀迷茫一片，如一頭霧水：1.將△OCD沿OD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在直線l：y=-x+7上嗎？要落在直線上，與什么量有關(guān)？取決于什么？2.點(diǎn)C′的位置是只有兩個(gè)點(diǎn)嗎？重重迷霧直指折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，抽象為數(shù)學(xué)問題就是動(dòng)手實(shí)踐中的“翻折”；在實(shí)踐中把握問題實(shí)質(zhì)，回到操作中去，定位C′.

引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作：拿一張自備的矩形紙片，按圖5所示方式折疊矩形的一個(gè)角，并使折痕經(jīng)過O點(diǎn).

教師提問：折疊時(shí)，你會(huì)遇到什么問題？在學(xué)生回答沒告訴沿哪條折痕折疊時(shí)，教師追問：確實(shí)，本題沒有給出折痕，正因?yàn)闆]給，所以同學(xué)們折的不一樣，是完全不一樣嗎？在學(xué)生思考得出所有折疊都過O點(diǎn)時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反復(fù)不同的操作.在學(xué)生充分體驗(yàn)思考后，教師引導(dǎo)：過O點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，你有什么感悟嗎？如果你有感悟，能和同學(xué)分享一下嗎？當(dāng)有學(xué)生指出，過O點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，實(shí)質(zhì)上是把線段OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，教師適時(shí)給出引導(dǎo)：過O點(diǎn)任意折疊矩形的一個(gè)角時(shí)，C點(diǎn)必落在哪兒？此時(shí)學(xué)生易給出如下應(yīng)答：C點(diǎn)必在以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓上，如圖6所示.

圖6

圖5

觀察并思考下列問題：

①過O點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，C點(diǎn)一定會(huì)落在直線l上嗎？

②過O點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，C點(diǎn)所落的位置C′點(diǎn)與直線l有哪些位置關(guān)系？

③折疊后C點(diǎn)與直線l三種位置關(guān)系取決于什么？與哪些量有關(guān)？

不難發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)與l的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是直線與圓O的位置關(guān)系，而直線與圓的位置關(guān)系用圓心到直線的距離d與r（OC）的大小關(guān)系來衡量.這就回到了直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.易求得圓心到直線的距離＜5，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).令交點(diǎn)為E、F，如圖7所示.

圖7

如圖7所示，定點(diǎn)E、F已經(jīng)找到，那么AE、AF就一定是定值.

問題化歸到定點(diǎn)E、F到矩形OABC的頂點(diǎn)、邊界、靜態(tài)線段的距離都是定值時(shí).于是很容易將問題化歸為圖8中的問題：在矩形OABC中，沿過O點(diǎn)的某條直線折一個(gè)“拐”，使C點(diǎn)落在邊MN上，同理，F(xiàn)點(diǎn)也演化為類似問題.

圖8

圖9

找出圖8中矩形OABC的有關(guān)已知線段.化繁為簡(jiǎn)，去掉多余的圖形，從圖8中提煉圖9中的問題，在矩形OMNC中，沿直線OD折疊，D點(diǎn)恰好落在直線MN上的E點(diǎn)，且已知EN=1，求CD的長(zhǎng).怎樣求DE的長(zhǎng)呢？這時(shí)學(xué)生頭腦中熟悉的翻折模型被喚醒了：將圖形的一個(gè)角的頂點(diǎn)折到圖形某邊所在直線上，這里是將矩形的一個(gè)角“拐”的頂點(diǎn)折到相鄰的邊MN上，既然問題與熟知的模型有關(guān)，就得回到模型中去認(rèn)識(shí).轉(zhuǎn)化到三角形中，用勾股定理模型求解.從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

四、踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——直觀想象、數(shù)學(xué)建模

在解答（4）時(shí)，除用標(biāo)準(zhǔn)答案外，可以通過數(shù)學(xué)建模、直觀想象，簡(jiǎn)化運(yùn)算，直接得出答案.要使以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，由分類討論可分三類：

①以E為直角頂點(diǎn).

如圖10，作FH⊥EM于H，延長(zhǎng)FH交拋物線于點(diǎn)P.由已知直觀想象，顯然三角形FHE為等腰直角三角形；∠FEH=45°.

圖10

由拋物線的對(duì)稱性觀察可得∠FEK=∠PEH=45°.

所以∠FEP=90°，顯然點(diǎn)P滿足條件.

點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由F（4，3），有P（2，3）.

②以F為直角頂點(diǎn).

過F作FP⊥EF交拋物線于點(diǎn)P′.通過觀察得P′（1，0）.

聯(lián)想勾股定理模型.

由勾股定理可以求得：

FP′2=18，EF2=2，EP′2=20，顯然FP′2+EF2=EP′2.

由由勾股定理逆定理知：

三角形P′EF為直角三角形.從而可求得P（1，0）.

③以P為直角頂點(diǎn)（同標(biāo)準(zhǔn)答案）.

這樣通過直觀想象、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)推理等，神奇.簡(jiǎn)潔地解決了數(shù)學(xué)難題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

五、踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析

題目構(gòu)思巧妙，數(shù)據(jù)精心設(shè)計(jì)；題目中數(shù)據(jù)只有5、7，直線方程為x+y=7；由（1）的解答E（3，4）、F（4，3），數(shù)據(jù)中有3、4.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算，3+4=7（x+y=7），32+ 42=52（x2+y2=52）.由直觀想象、邏輯推理，有x、y對(duì)應(yīng)3、4，所以x=3，y=4或x=4，y=3.由此可知E（3，4）、F（4，3）既在直線x+y=7上，又在以原點(diǎn)為圓心、5為半徑的圓（x2+y2= 52）上.從而達(dá)到用最簡(jiǎn)潔的辦法解決數(shù)學(xué)難題的目的.縱觀此題題目和答案數(shù)據(jù)（1、2、3、4、5、7），僅有簡(jiǎn)單的6個(gè)個(gè)位數(shù)，卻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，詮釋了數(shù)學(xué)的魅力，令人嘆為觀止.

此題以平面直角坐標(biāo)系為背景，通過翻折將全等變換、相似構(gòu)造融進(jìn)矩形中，數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)非常巧妙.引導(dǎo)學(xué)生分析，構(gòu)造基本圖形.在解這類題時(shí)，首先要讀懂圖形，理解題意，深入挖掘隱含條件.要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)才能解決此問題.數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探究、猜想、思考、受挫、反思、感悟的過程，在不斷的參與中，窮盡問題本質(zhì)，在理解和把握之后求解，是學(xué)生能力培養(yǎng)、品質(zhì)提升的重要途徑.在教學(xué)中，要強(qiáng)化核心知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探索問題的解決方法，教會(huì)學(xué)生思考，善于思考.全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，達(dá)到培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”的核心目標(biāo).