☉浙江紹興市新昌縣七星中學(xué) 甄亞芳

面對(duì)上網(wǎng)“搜題”，我們?cè)撛趺崔k
——從一道相似綜合題的“網(wǎng)傳解答”說(shuō)起

☉浙江紹興市新昌縣七星中學(xué) 甄亞芳

最近一次家庭作業(yè)中我們選用一道以矩形為載體的綜合題，該題的后兩問(wèn)較復(fù)雜，從批改作業(yè)情況來(lái)看，幾個(gè)學(xué)生使用了搜題軟件，出現(xiàn)了與網(wǎng)上錯(cuò)漏相同的解答，作為一次“反面”教育資源，筆者將相關(guān)解答呈現(xiàn)給學(xué)生，然后大家一起糾錯(cuò)，使得同學(xué)們對(duì)該題的理解走向深刻.本文記錄這次解題教學(xué)的過(guò)程，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、相似綜合題的“網(wǎng)傳解答”與評(píng)析

考題：如圖1，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于C、D兩點(diǎn)）.連接PM，過(guò)點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E.設(shè)CP= x，DE=y.

圖1

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若點(diǎn)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段AD上，求m的取值范圍.

（3）當(dāng)m=8時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

某網(wǎng)站上的解答：

（1）求解并不復(fù)雜，限于篇幅這里只給出簡(jiǎn)要思路.由“一線三等角”易證△PCM∽△EDP，可得比例式代入?yún)?shù)運(yùn)算出

評(píng)析與糾錯(cuò)：看到少數(shù)學(xué)生寫(xiě)了這樣的解答，初看感到莫名其妙，后來(lái)漸漸想通他們出錯(cuò)的原因，原來(lái)是利用了關(guān)于x的二次函數(shù)的最值公式，列出這個(gè)最值不大于4的不等式，但這是一個(gè)關(guān)于m的二次不等式，變形時(shí)把不等號(hào)弄錯(cuò)成“≥”，使得后面解這個(gè)二次不等式也出現(xiàn)錯(cuò)誤.

（3）存在，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H點(diǎn).

圖2

在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8-x，根據(jù)勾股定理，得

因?yàn)椤螮D′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠EAD′=∠PHD′=90°，所以△ED′A∽△D′PH，整理得

評(píng)析與糾錯(cuò)：上述解法只有個(gè)別學(xué)生“抄”在解答處.追問(wèn)他們?nèi)绾卫斫獾?，也吱唔著說(shuō)不清楚，幾個(gè)優(yōu)秀學(xué)生更是對(duì)“”表示不會(huì)化簡(jiǎn)、整理.而且還有優(yōu)秀學(xué)生指出“＞4”并一定要舍去，因?yàn)榈冢?）問(wèn)中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)點(diǎn)E一定要在邊AD上！

我們可以增設(shè)AD′=a，則BH=x，D′H=8-a-x，PD′= PD=8-x，D′E=DE=y，由△AD′E∽△HPD′，可得比例式可得a=2x，回代比例式，得.其中圖2對(duì)應(yīng)著的情況，而被“網(wǎng)傳答案”舍去的那種情形也可直觀構(gòu)圖如下，見(jiàn)圖3.

圖3

圖4

課堂片斷記錄：上述演算之后，雖然能貫通思路，算法也相較“網(wǎng)傳答案”簡(jiǎn)化一些，但仍然不是很簡(jiǎn)潔的運(yùn)算.后來(lái)班級(jí)上有優(yōu)秀學(xué)生提出還可以創(chuàng)造條件、構(gòu)造“射影定理”基本圖形，簡(jiǎn)化運(yùn)算.如圖4，設(shè)DD′交折痕PE于G，作直線GM交AD于F點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、平行線等分線段定理，有F為DA的中點(diǎn)，則有△DFG≌△MCP，所以FG=x，于是在Rt△GDE中，符合射影定理基本圖形，有FG2=DF·EF，可列出方程x2=2（y-2），把4x代入可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，從而求出答案.

二、關(guān)于解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.搜題軟件、網(wǎng)站泛濫，如何引導(dǎo)學(xué)生正確使用是關(guān)鍵.

近幾年來(lái)，由于信息技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)的普及與帶速的提升，特別是智能手機(jī)的普及，各大題庫(kù)平臺(tái)、搜題軟件泛濫，學(xué)生可以輕松使用檢索、拍題方式獲得相關(guān)試題的解答或答案.然而“天下沒(méi)有免費(fèi)的午餐”，這些免費(fèi)的解答往往也存在不同的問(wèn)題，有些甚至是錯(cuò)漏解答，如果學(xué)生不加鑒別而直接“復(fù)制”，或習(xí)慣于遇到困難就上網(wǎng)找答案，則對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)甚益處.所以我們認(rèn)為如何正確引導(dǎo)學(xué)生上網(wǎng)檢索答案，獲取幫助是當(dāng)前面臨的一個(gè)急迫課題.如果面對(duì)一道較難習(xí)題，缺少思路或解題念頭，求助老師又不方便，可以在家長(zhǎng)的監(jiān)督下搜索，但重要的是如何理解網(wǎng)上的答案，并對(duì)錯(cuò)誤解法大膽質(zhì)疑、究錯(cuò)，而不是不求甚解，甚至直接抄到作業(yè)中應(yīng)付老師檢查.

2.對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的深刻理解可使繁雜解法走向簡(jiǎn)化表達(dá).

我們知道，數(shù)學(xué)上“算法簡(jiǎn)單的方法往往要付出邏輯思維的代價(jià)”.在求解上面考題的第（3）問(wèn)時(shí)，我們就感受到這點(diǎn)，“網(wǎng)傳解答”思維量不大，只要依次代入列出方程，只是這個(gè)繁雜的方程讓很多學(xué)生望而卻步，難以進(jìn)展下去.我們優(yōu)化這種關(guān)系之后，使得方程稍稍簡(jiǎn)化，但仍然需要一定的運(yùn)算量；而引導(dǎo)學(xué)生討論后，有學(xué)生提出了更為簡(jiǎn)化的解法，但是卻需要對(duì)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)有深入的理解，并且需要構(gòu)造和認(rèn)識(shí)射影定理的基本圖形，對(duì)數(shù)學(xué)思維有較高的要求.

3.在難點(diǎn)破解上引導(dǎo)學(xué)生參與研討，往往能生成精彩.

在講評(píng)這道考題時(shí)，筆者沒(méi)有深入預(yù)設(shè)到學(xué)生最后提出的更為簡(jiǎn)化的解法，而是在安排學(xué)生討論解法和理解思路時(shí)得到精彩生成，對(duì)該圖形結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)理解構(gòu)造出了射影定理的基本圖形，使得一個(gè)簡(jiǎn)潔的一元二次方程得以出現(xiàn)，節(jié)約了運(yùn)算的時(shí)間.可能課堂教學(xué)中，適時(shí)在難點(diǎn)破解進(jìn)程中，引導(dǎo)學(xué)生參與研討，往往有意外的收獲.

4.變式改編，跟進(jìn)檢測(cè)，反饋解題教學(xué)效果.

為了追求較好的講評(píng)效果，我們還對(duì)考題進(jìn)行了變式改編，供學(xué)生練習(xí)鞏固，可有效反饋學(xué)生的理解程度.作為本文最后，我們附上該題的變式改編.

變式改編題：如圖5，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于C、D兩點(diǎn)）.連接PM，過(guò)點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E.設(shè)CP=x，DE=y.

圖5

（1）當(dāng)m=4，x=2時(shí)，求y的值；

（2）當(dāng)m=4時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若點(diǎn)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段AD上，求m的最大值；

（4）當(dāng)m=8時(shí)，將矩形一角∠D沿直線PE翻折，當(dāng)點(diǎn)D恰落在邊AB上時(shí)，求x的值.

三、寫(xiě)在后面

《人民教育》近期有一篇文章提到“數(shù)學(xué)是一個(gè)深層次的人文活動(dòng)，并指出，數(shù)學(xué)不是簡(jiǎn)單的教給學(xué)生知識(shí)或進(jìn)行技能訓(xùn)練，而是要在解決問(wèn)題中激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的熱愛(ài)及社會(huì)責(zé)任感.”我們以為，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)搜題這一不可阻擋的流行方式，一味地堵是不可能的，只有想法疏導(dǎo)，通過(guò)引入一些網(wǎng)站上的典型錯(cuò)漏解法，引導(dǎo)學(xué)生參與思辨，并深化認(rèn)識(shí)，使得他們科學(xué)、全面、準(zhǔn)確地看待這些資源或素材，這樣可逐步培養(yǎng)學(xué)生的批判精神和科學(xué)求真品質(zhì).

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.羅增儒.巧在本質(zhì)關(guān)系的提示妙在深層結(jié)構(gòu)的接近（上）［J］.中等數(shù)學(xué)，2007（3）.

3.鮑建生，顧冷沅等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

4.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無(wú)錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.