一道“平行線性質(zhì)”習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

☉湖南婁底市第五中學(xué) 伍 歆

一道“平行線性質(zhì)”習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

☉湖南婁底市第五中學(xué) 伍 歆

課本中的習(xí)題都是教學(xué)材料中的精品，具有很強(qiáng)的典型性和示范性.在教學(xué)中，經(jīng)過合理的變化，往往可以生產(chǎn)許多內(nèi)涵更豐富、價值更高的問題.教師在使用習(xí)題素材時，不妨以一種預(yù)期的、反思的眼光利用習(xí)題，有意識地引導(dǎo)學(xué)生，從一個思維點出發(fā)，沿不同方向，提出各種途徑，和學(xué)生一起進(jìn)行“探究性學(xué)習(xí)”.本文介紹一個案例.

湘教版七年級下冊第89頁A組第3題：（以下簡稱原題）

如圖1，若AB∥CD∥EF，∠B= 45°，∠F=40°，求∠BCF的度數(shù).

這是一道很簡單的習(xí)題，如果就題論題，這道題一下子就解決了，但是隱藏在本題中的“構(gòu)造輔助線，探尋角度間的數(shù)量關(guān)系”等知識就被丟棄了.

圖1

一、構(gòu)造輔助線，探尋角度間的數(shù)量關(guān)系

變式1：如圖2，若AB∥EF，那么∠ABC、∠CFE、∠BCF有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

分析：在原題的啟發(fā)下，學(xué)生馬上想到構(gòu)造輔助線，利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到這三個角的數(shù)量關(guān)系.

圖2

圖3

解：如圖3，過C作CD∥AB.

則∠1=∠ABC.

由CD∥AB，AB∥EF，得CD∥EF.

則∠2=∠CFE.

又∠BCF=∠1+∠2，則∠BCF=∠ABC+∠CFE.

二、滲透分類討論思想

近幾年中考壓軸題往往需要學(xué)生進(jìn)行分類討論才能解決，但是學(xué)生在做這類題時，往往不知道怎樣進(jìn)行分類或分類討論不周全，導(dǎo)致得分率偏低.究其原因，主要是平時的教與學(xué)中，對分類討論這種數(shù)學(xué)思想滲透得不夠，學(xué)生運用起來不熟練.小學(xué)數(shù)學(xué)問題，答案往往是唯一的，導(dǎo)致學(xué)生思維單向性傾向明顯，從初一的教學(xué)中就開始滲透分類討論思想，可以循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性、有序性和全面性，對養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)大有裨益.通過對原題進(jìn)行變化，就生成了一道“根據(jù)圖形的位置變化分類討論題”.

變式2：已知直線AB∥EF，點C為不在直線AB、EF上一點，連接CB、CF，則∠ABC、∠CFE、∠BCF有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

分析：對于七年級的學(xué)生，本題的難度非常大，教師可以先用幾何畫板，畫出圖形，度量出∠ABC、∠CFE、∠BCF這三個角的大小，讓學(xué)生上臺拖動點C，教師引導(dǎo)學(xué)生不重復(fù)不遺漏地進(jìn)行分類，然后小組合作，經(jīng)歷“探究—猜想—證明”的解題過程.通過小組合作探究，出現(xiàn)了多種正確的分類方式.比如，按結(jié)果分成兩類：第一類，其中一個角等于另兩個角之和；第二類，三個角的和等于180°.按點C的位置分：第一類，點C在直線AB、CD之間；第二類，點C在直線AB、CD之外.下面展示按點C位置分類討論的解題結(jié)果.

解：情況一：點C在直線AB、CD之間.

①如圖4，點C在直線BF的左側(cè).

過C作CD∥AB.

則∠1=∠ABC.

由CD∥AB，AB∥EF，得CD∥EF.

則∠2=∠CFE.

又∠BCF=∠1+∠2，則∠BCF=∠ABC+∠CFE.

圖4

圖5

②如圖5，點C在直線BF的右側(cè).

過C作CG∥AB.

由CG∥AB，AB∥EF，得CG∥EF.

則∠3+∠CFE=180°.

則∠ABC+∠BCF+∠CFE=∠ABC+∠4+∠3+∠CFE=180°+180°=360°.

情況二：點C在直線AB、CD之外.

如圖6，過C作CH∥AB.

則∠5=∠ABC.

由CH∥AB，AB∥EF，得CH∥EF.

則∠HCF=∠CFE.

谷物促進(jìn)瘤胃發(fā)育，從3日齡或更小開始飼喂谷物，3周齡時開始大量攝入谷物（0.5磅/天），斷奶前 14～21天攝入谷物1磅/天或更多。斷奶之前顆粒料采食量跟斷奶后顆粒料采食是直接線性相關(guān)的。

又∠HCF=∠5+∠BCF，則∠CFE=∠ABC+∠BCF.

（在直線AB、CD之外改變點C的位置時，還會出現(xiàn)其他答案，但都是其中兩角之和等于第三個角）

圖6

三、啟蒙動態(tài)幾何問題

圖形中的點、線運動構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一類新問題“動態(tài)幾何問題”，它通常分為三類：動點問題、動線問題、動形問題.動態(tài)幾何問題是近幾年中考中的熱點問題，筆者在收集的20份2015年中考數(shù)學(xué)試卷中，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)把這類問題作為壓軸題的試卷有18份.動態(tài)幾何問題已經(jīng)成為了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可回避的一環(huán).但是，動態(tài)幾何問題是一類集幾何、數(shù)與式、方程與函數(shù)于一身的問題，題型新、難度大、綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的空間想象能力、綜合分析和解決問題的能力提出了很高的要求.解決這類問題的方法不是一朝一夕就能掌握的，所以我從現(xiàn)在開始，通過這節(jié)課啟蒙動態(tài)幾何問題中的第一類——動點問題.

變式3：已知直線a∥b，直線d分別和直線a、b交于點M和點N，在直線MN上有一動點C.

（1）如圖7，若C點在M、N兩點之間運動，問：∠ACB、∠CAM、∠CBN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）若C點在M、N兩點之外運動（C點不與M、N兩點重合），以上觀點還成立嗎？若不成立，試寫出新的結(jié)論并說明理由.

分析：雖然有前面的兩題作鋪墊，但是學(xué)生剛接觸“動點問題”，理解題意還是有困難，根據(jù)題意畫出圖形更難、在教學(xué)時筆者借助幾何畫板演示題目，幫助學(xué)生理解題意，通過度量三個角的大小，猜想三個角度的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生前后聯(lián)系，添加輔助線證明猜想.具體解題過程留給學(xué)生課后作為家庭作業(yè)書寫，給學(xué)生充足的理解、思考、解答的時間，并通過家庭作業(yè)進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識.具體講解過程，筆者借助ppt和幾何畫板，用Camtasia Studio錄制成一段五分鐘的微視頻，可以讓學(xué)生反復(fù)觀看，有助于學(xué)生把握動態(tài)幾何題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解：（1）如圖7，過C作CF∥a.

則∠ACF=∠CAM.

由CF∥a，a∥b，得CF∥b.

則∠FCB=∠CBN.

又∠ACB=∠ACF+∠FCB，則∠ACB=∠CAM+∠CBN.

圖7

圖8

（2）①點C在點M的上方.

如圖8，過C作CG∥a.

則∠GCA=∠CAM.

由CG∥a，a∥b，得CG∥b.

則∠GCB=∠CBN.

又∠GCB=∠GCA+∠ACB，則∠CBN=∠CAM+∠ACB.

②點C在點M的下方.

如圖9，過C作CH∥a.

則∠CAM=∠ACH.

由CH∥a，a∥b，得CH∥b.

則∠BCH=∠CBN.

又∠ACH=∠ACB+∠BCH，則∠CAM=∠ACB+∠CBN.

（四）探究性學(xué)習(xí)后的反思.

本課設(shè)計立足教材中的習(xí)題素材，把習(xí)題變形，設(shè)計成學(xué)生要探索的問題，讓學(xué)生在多元化的操作過程中體驗數(shù)學(xué)問題的演變過程，符合學(xué)生從特殊到一般、從靜態(tài)到動態(tài)的圖形認(rèn)知規(guī)律，通過探究性學(xué)習(xí)滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

本課作為“平行線性質(zhì)”的一堂習(xí)題課，充分挖掘習(xí)題的價值，避免了題海戰(zhàn)術(shù)，通過設(shè)計構(gòu)建合理的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生猜想歸納并證明，讓習(xí)題課也能上出精彩.

圖9