王涵++王建明

摘 要：為了研究頂蓋驅(qū)動方艙流動的非定常流場結(jié)構(gòu)，采用二維直接數(shù)值模擬（DNS）對流場進(jìn)行計(jì)算，并運(yùn)用動力學(xué)模態(tài)分解（DMD）進(jìn)行模態(tài)分析。結(jié)果表明，當(dāng)雷諾數(shù)為9 000時(shí)，流場表現(xiàn)出自持振蕩的特征；動力學(xué)模態(tài)分解獲得了基頻和各階倍頻諧波下的速度場模態(tài)。揭示了由于剪切層不穩(wěn)定和擾動反饋所引起的周向排列漩渦是導(dǎo)致流場產(chǎn)生自持振蕩現(xiàn)象的主要原因；同時(shí)，嵌入大尺度漩渦中的小尺度擾動使得自持振蕩存在倍頻諧波。

關(guān)鍵詞：動力學(xué)模態(tài)分解 直接數(shù)值模擬 自持振蕩

中圖分類號：U46 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）10（c）-0001-03

Dynamic Mode Decomposition of a Cubical Lid-driven Cavity Flow

Wang Han Wang Jianming

（Shenyang Aerospace University， Shenyang Liaoning， 110136， China）

Abstract：In order to research the transient flow structure of a cubical lid-driven cavity flow， two dimensional Direction Numerical Simulation （DNS） was used in the flow field computation. Dynamic Mode Decomposition （DMD） was conducted to analysis the dynamic modes of this velocity field with different order. The results show that this cubical lid-driven cavity flow exhibits intensely self-sustained oscillation at the Reynolds number of 9000， at the same time DMD is able to extract the main self-sustained oscillation dynamic feature and high-order harmonic modes from original flow fields. The dynamic velocity modes fully reveal the circumferentially arranging vortex pairs， which were caused by the unstable shear layer and the feedback perturbation is the underlying physical mechanism of self-sustained oscillation. Meanwhile， the distortion of the first order oscillation which was caused by the small-scale spatial perturbance embedding in large-scale spatial vortices， and give rise to the high order harmonic waves in the flow field.

Key Words：Dynamic Mode Decomposition； Direction Numerical Simulation； Self-sustained Oscillation

二維頂蓋驅(qū)動方艙流動，可以用于簡化由某一壁面引起的空腔內(nèi)部環(huán)流[1]。從熱力學(xué)角度分析，是典型的功熱轉(zhuǎn)化過程。該文選用二維頂蓋驅(qū)動方艙流動模型作為DNS方法研究的載體。Navier-Stokes方程具有拋物型和橢圓型兩個特性，盡管控制方程具有混合特性，但采用MacCormack格式進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)求解是適定的。MacCormack格式是Lax-Wendroff格式的一個變種，在時(shí)間和空間上都具有二階精度的顯式有限差分格式[2]。由于MacCormack格式是最容易理解和實(shí)現(xiàn)的格式，同時(shí)得到的結(jié)果在很多實(shí)際應(yīng)用中都有令人滿意的結(jié)果，所以該文選用MacCormack格式直接求解Navier-Stokes方程。當(dāng)雷諾數(shù)為6 000～8 000時(shí)，流動為轉(zhuǎn)捩狀態(tài)；當(dāng)雷諾數(shù)達(dá)到10 000時(shí)，流動為局部湍流[3]。為了分析流場振蕩產(chǎn)生的原因，該文應(yīng)用動力學(xué)模態(tài)分解（DMD）技術(shù)對原流場進(jìn)行處理[4-7]。

1 數(shù)值模擬

該文考慮二維剪切力驅(qū)動方艙流動，方艙為長寬均為L=1 mm的正方形區(qū)域，雷諾數(shù)（Re=ρVL/μ=9 000），壁面為無滑移恒定壁溫邊界條件，理想氣體初始壓力為101 kPa。頂蓋運(yùn)動方向與右側(cè)壁面交接處被稱為DUE，右側(cè)壁面與下壁面的夾角處被稱為DSE，左側(cè)壁面與下壁面的夾角處被稱為USE，頂蓋運(yùn)動反方向與左側(cè)壁面交接處被稱為UUE，4個區(qū)域如圖1所示。

求解忽略體積力和體積熱的二維守恒形式Navier-Stokes方程：定義Et為單位體積動能和內(nèi)能的和，正應(yīng)力與剪切應(yīng)力為τxx、τyy、τxy、τyx，由Fourier定律得到熱交換率。采用MacCormack顯示時(shí)間推進(jìn)求解離控制方程，并運(yùn)用預(yù)測校正兩步法保證在時(shí)間和空間上都具有兩階精度。運(yùn)用網(wǎng)格Reynolds數(shù)的量級判斷計(jì)算網(wǎng)格的尺寸： Re≤40-50；Re≤40-50。在滿足網(wǎng)格Reynolds的條件，x和y方向分別設(shè)置200個節(jié)點(diǎn)，空間步長為0.5e-2mm。時(shí)間步長由（CFL）穩(wěn)定條件決定。

2 動力學(xué)模態(tài)分解

設(shè)某一非定常流動的時(shí)-空速度場表示為，列向量表示第i時(shí)間層上流場參數(shù)的空間分布。設(shè)存在一線性變換矩陣A連接相鄰兩時(shí)間層上的流場信息：。若流動是線性系統(tǒng)，A是恒定值；若流動是非線性系統(tǒng)，A為恒定假設(shè)表示對此系統(tǒng)的線性正切近似[6，7]。矩陣A只能從流場的內(nèi)在動力學(xué)機(jī)制中獲得，所以DMD采用A的伴隨矩陣S作為A的低維近似[6]。隨著采集時(shí)間層的增加，能夠更加精確地用之前的向量線性表示最后的向量，即：。矩陣形式為：

。其中，可通過求解極小最

小二乘解得到，r為誤差向量；由于可以用線

性表示，所以能夠?qū)r(shí)空流場沿時(shí)間

方向平移：。

矩陣形式為：。其中伴隨矩陣S的特征值包含了系統(tǒng)的時(shí)間推進(jìn)特性；將時(shí)-空流場矩陣投影到矩陣S的特征向量上，即可到流場沿時(shí)間推進(jìn)的空間模態(tài)：。

3 流場的自持振蕩

由于粘性的影響，流體由頂蓋剪切力驅(qū)動作用下撞擊方艙右側(cè)壁形成一股射流沖擊方艙下壁面[1]，在方艙中形成穩(wěn)定的初級渦，USE、DSE、UUE區(qū)域出現(xiàn)一定數(shù)量的次級渦。同時(shí)流線呈現(xiàn)出波浪狀的擺動，初級渦剪切層內(nèi)有周期性出現(xiàn)的局部高速區(qū)域，流場呈現(xiàn)出非定?，F(xiàn)象；此外，USE、DSE、UUE區(qū)域次級渦的個數(shù)發(fā)生周期性的變化，也能直觀地反映出頂蓋驅(qū)動流的非定常特征，如圖2所示。

將S矩陣特征值取自然對數(shù)：。ωj的虛部表征對應(yīng)模態(tài)的相速度，包含模態(tài)的頻率信息；ωj的實(shí)部表征對應(yīng)模態(tài)沿時(shí)間增長、衰減的趨勢。圖3中大部分都落在零線附近說明絕大多數(shù)的模態(tài)在時(shí)間上中性穩(wěn)定。

圖4顯示了方艙下壁面中心位置測量點(diǎn)上瞬時(shí)靜壓快速傅立葉變換的頻譜特征。靜壓頻譜出現(xiàn)一個波峰清晰的基頻f1≈80922 Hz和它的3個倍頻諧波f2、f3、f4。圖4顯示了各動力學(xué)模態(tài)相關(guān)系數(shù)與頻率之間的關(guān)系，頻率為f1、f2、f3、f4的4個模態(tài)在相關(guān)系數(shù)上出現(xiàn)峰值。

圖5顯示了頻率為f1的一階空間速度場模態(tài)，此模態(tài)的頻率與方艙自持振蕩壓力脈動一階頻率一致，并且在原速度場中具有顯著的相關(guān)性。由于流體的粘性和剪切層的不穩(wěn)定性，當(dāng)射流沖擊方艙下壁面時(shí)形成了周向排列的漩渦，并沿著方艙壁面順時(shí)針移動，這種擾動信息在頂蓋帶動作用下迅速減小，但持續(xù)保留在剪切層內(nèi)，當(dāng)下一次進(jìn)入射流并沖擊方艙下壁面時(shí)微小的擾動將在方艙底部誘發(fā)新的周向排列旋渦。

由于這種渦運(yùn)動的存在，提高了剪切層中動量、熱量和質(zhì)量的傳遞速率；同時(shí)，相對于初級渦剪切層內(nèi)流體層之間相對滑移引起的切應(yīng)力外，增加了流體微團(tuán)局部動量交換的切應(yīng)力。即這種渦運(yùn)動的存在使得閉口系統(tǒng)的耗散能力有了顯著的提高，加快了流體動能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化。

圖6、圖7為頻率為f2、f3的速度場模態(tài)；與一階模態(tài)相似，此兩階模態(tài)在空間上均呈現(xiàn)出沿順時(shí)針方向周期性出現(xiàn)的周向漩渦結(jié)構(gòu)，漩渦的空間尺度隨頻率的增加而減小，同時(shí)與原速度場的相關(guān)性也隨頻率的增加而減小。這兩個模態(tài)表征了由于一階振蕩畸變產(chǎn)生的高階諧波；同時(shí)，在物理上代表了嵌入較大尺度漩渦中的各階小尺度擾動[7]；高階模態(tài)有可能是一階自持振蕩周向分布漩渦與空腔壁面的相互作用或是對周圍環(huán)境流體的卷攜作用所造成的。

4 結(jié)語

該文采用直接數(shù)值模擬（DNS）和動力學(xué)模態(tài)分解方法（DMD）對雷諾數(shù)Re=9 000的頂蓋驅(qū)動方艙流動進(jìn)行了分析。

在Re=9 000時(shí)，頂蓋驅(qū)動方艙流動表現(xiàn)出自持振蕩現(xiàn)象，這種振蕩來源于方艙底部壁面與射流相互作用引起的周向排列漩渦結(jié)構(gòu)。流動的自持振蕩增加了摩擦阻力和動能的損失，提高了閉口系統(tǒng)的耗散能力，加快了流體動能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化，并加熱方艙中心，通過等溫壁面向環(huán)境散熱。

一階自持振蕩模態(tài)中的周向排列漩渦與空腔壁面的相互作用或是對周圍環(huán)境流體的卷攜作用，產(chǎn)生嵌入大尺度漩渦中的各階小尺度擾動，導(dǎo)致自持振蕩存在各階倍頻諧波。

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