吳文肖

摘 要： 關(guān)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的處理問(wèn)題，除了必要的半徑及時(shí)間推導(dǎo)公式外，有效確定粒子的圓弧軌跡顯得尤為關(guān)鍵。區(qū)別于傳統(tǒng)“定圓心”“取半徑”“畫(huà)圓弧”的常規(guī)法，本文從另一個(gè)角度給出了一種確定粒子軌跡的新方法——“窮舉法”，通過(guò)這種方法在例題中的實(shí)踐應(yīng)用，讓讀者通過(guò)不斷作圓的過(guò)程體驗(yàn)粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，達(dá)到對(duì)粒子的動(dòng)力學(xué)認(rèn)識(shí)以及物理數(shù)學(xué)綜合能力的雙重提升。

關(guān)鍵詞：窮舉法；應(yīng)用；討論

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）2-0036-3

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，往往會(huì)受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡成為解決其相關(guān)物理問(wèn)題的核心?，F(xiàn)行高中教材主要是利用粒子運(yùn)動(dòng)的幾何特點(diǎn)來(lái)加以確定，但是這種方法在原理特點(diǎn)上，帶有較為明顯的幾何特征，對(duì)幾何數(shù)學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備要求較高，對(duì)多粒子或多軌跡的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)處理起來(lái)則顯得力有未逮。那么，有沒(méi)有一種更接近物理學(xué)科特點(diǎn)，更優(yōu)化，更能被學(xué)生接受同時(shí)提升其發(fā)展能力的處理方法呢？下面我們將介紹一種全新的方法，并對(duì)這種方法的應(yīng)用功能加以討論。

下面我們認(rèn)識(shí)一下粒子運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要特點(diǎn)：

1 兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)

1.1 半徑推導(dǎo)式

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，運(yùn)行的半徑推導(dǎo)：r=。因此，對(duì)于同一帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，入射速度越大，磁場(chǎng)越弱，粒子運(yùn)動(dòng)的圓周半徑越大。

1.2 運(yùn)動(dòng)時(shí)間推導(dǎo)式

由粒子的周期公式可推導(dǎo)運(yùn)行的時(shí)間：t=?？梢?jiàn)，對(duì)于同一帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角越大，磁場(chǎng)越弱，運(yùn)行時(shí)間越久。

2 窮舉法

2.1 基本思想

窮舉思想屬于數(shù)學(xué)和計(jì)算學(xué)范疇的分支，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)高端難題及密碼破譯工作中，是一種針對(duì)不定或難定事件，通過(guò)給出可能滿(mǎn)足的系列假設(shè)解，再通過(guò)篩選對(duì)這些解進(jìn)行一一驗(yàn)證，從而取出滿(mǎn)足題設(shè)所有條件的唯一解的方法。[1]

2.2 基本原理

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡的確定，實(shí)際上就是一個(gè)尋找唯一解的過(guò)程。常規(guī)法中利用垂徑定理和一條垂直于速度的線(xiàn)或兩條分別垂直于速度的線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)“定圓心”。但是，對(duì)于運(yùn)動(dòng)軌跡的不確定性、多解性或模糊性所導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)軌跡難定的物理模型，常規(guī)法的應(yīng)用就顯得捉襟見(jiàn)肘了。對(duì)此，我們急需一種優(yōu)化方法有效解決這類(lèi)問(wèn)題。

窮舉法的步驟：（1）根據(jù)洛倫茲力的方向確定圓心的大致范圍；（2）在圓心范圍內(nèi)作系列圓弧軌跡；（3）篩選圓弧遴選出滿(mǎn)足題意所有條件的圓弧。

3 應(yīng) 用

粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌跡的難定性主要來(lái)自入射速度大小的不確定性、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的不確定性及入射方向的不確定性三個(gè)方面。而其中由入射速度大小及磁感應(yīng)強(qiáng)度大小所導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)不定在效果上一致。下面分成兩大類(lèi)進(jìn)行簡(jiǎn)要應(yīng)用舉例。

3.1 入射速度（或磁感應(yīng)強(qiáng)度）大小不定

例1 已知xOy系第一象限內(nèi)分布如圖1所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，距離原點(diǎn)d位置處豎直放置擋板PQ。某時(shí)刻從O點(diǎn)豎直向上入射一束質(zhì)量為m，電荷量為q的正電粒子，粒子的速度大小各不相同，若要讓所有粒子都能經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)最終打在擋板PQ上，試求粒子發(fā)射速度至少為多少？

解析 由于入射正電粒子速度方向始終豎直向上，洛倫茲力方向始終水平向左，即圓心應(yīng)該分布在x軸正半軸區(qū)間內(nèi)。入射速度大時(shí)，圓心分布較遠(yuǎn)；速度小時(shí)，圓心分布較近。若從左至右逐一取圓心A、B、C等，以O(shè)A、OB、OC等作系列圓弧①、圓弧②、圓?、郏ㄈ鐖D2所示），其中“最近”圓弧①對(duì)應(yīng)最小的入射速度，“最遠(yuǎn)”圓弧③對(duì)應(yīng)最大的入射速度。

顯然，要讓所有粒子能打在擋板PQ上，只需要“最近”的圓?、龠\(yùn)動(dòng)的粒子能夠打在擋板上即可。

至少滿(mǎn)足條件：r>。

由r=，易得：v>。

反思1 觀察圖2，若粒子全部打在擋板上，主要集中在PQ哪一端？（PQ“上半段”）

反思2 上題中，若要讓所有粒子都不打在擋板PQ上，發(fā)射的速度又有什么要求？

（觀察圖2可得，要讓粒子都不打在擋板上，要求“最遠(yuǎn)”的圓?、鄄荒艽蛟趽醢迳?，至少滿(mǎn)足條件：r≤， 即v≤）

3.2 入射速度方向不定

例2 如圖3所示，在0≤x≤a，0≤y≤范圍內(nèi)存在垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向夾角在0 °至90 °之間。已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子的速度大??？

解析 據(jù)題意知入射方向朝著第一象限任意方向，洛倫茲力的方向?qū)?yīng)分布在第四象限。由于入射粒子的速度大小相等，粒子運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)該等大，即所有粒子的圓心分布在以介于半徑到a之間距離作圓弧的四分之一圓弧AA'上；然后，在AA'范圍內(nèi)依次取點(diǎn)A、B、C等，以O(shè)A、OB、OC等作系列圓?、?、圓?、凇A?、郏ㄈ鐖D4所示），其中圓?、賹?duì)應(yīng)豎直向上入射，圓?、冖蹖?duì)應(yīng)逐漸偏向x軸入射。

觀察系列圓弧可知，圓?、俚綀A?、谶^(guò)程，粒子留在磁場(chǎng)中的軌跡逐漸變長(zhǎng)，而圓?、诘綀A?、圮壽E長(zhǎng)度又逐漸變短。對(duì)于相同的運(yùn)行速率，軌跡最長(zhǎng)的圓弧②所對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間應(yīng)該最長(zhǎng)，軌跡長(zhǎng)度為四分之一圓弧，圓心角為。設(shè)圓?、诮痪匦紊线呌贒，右側(cè)邊于E，連接BD，過(guò)E作線(xiàn)段，EF⊥BD。

反思3 觀察圖4，是否有粒子從坐標(biāo)（a，0）射出？射出的方向是豎直向下？（有，不是豎直向下）

3.3 入射速度（或磁感應(yīng)強(qiáng)度）大小及方向均不定

例3 如圖5所示，垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一個(gè)電子源P，它向紙面的各個(gè)方向發(fā)射等速率的電子。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，紙面上PQ兩點(diǎn)間距為L(zhǎng)，則能擊中Q點(diǎn)的電子的最小速率為多大？

解析 P點(diǎn)粒子源發(fā)射的粒子朝著四面八方，洛倫茲力的方向也應(yīng)該朝四面八方。對(duì)于發(fā)射速率較小的粒子，粒子圓心分布在以P為圓心的“近圓”A上；而對(duì)于發(fā)射速率越大的粒子，圓心分布在以P為圓心的“遠(yuǎn)圓”B上。分別在圓弧A和圓弧B上取點(diǎn)作系列圓?、佗冖邰芗阿茛蔻撷唷?/p>

觀察系列圓弧可知，發(fā)射粒子的速率越大，圓弧越接近Q點(diǎn)，要讓電子擊中Q，至少要求“遠(yuǎn)圓”中的圓?、輨偤眠^(guò)點(diǎn)Q，則圓?、莅霃街辽贋?。

4 討 論

可見(jiàn)，對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的物理模型，當(dāng)粒子的入射速度大小、方向或磁感應(yīng)強(qiáng)度都唯一確定時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)顯得較為單一，常規(guī)法的使用簡(jiǎn)捷。然而，在面對(duì)多運(yùn)動(dòng)軌跡，甚至是不定運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，窮舉法的優(yōu)勢(shì)明顯起來(lái)，它有效地羅列了可能存在的多種解，化“定圓心”為“定圓心范圍”，避“作一圓”為“作系列圓”，增加學(xué)生的自信心。其次，該方法并非望文生義地“窮舉”，只需要幾個(gè)典型特征圓（弧）加以觀察、篩選即可。在實(shí)際運(yùn)用中，窮舉法的思維過(guò)程往往顯得理所當(dāng)然而富有直觀性[2]。巧借學(xué)生的思維延續(xù)性強(qiáng)化學(xué)生分析、判斷、觀察實(shí)踐的綜合能力，讓學(xué)生對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)仿佛感同身受，對(duì)學(xué)生素質(zhì)教育中三維目標(biāo)的有效培養(yǎng)也有較大幫助，有利于學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，積極動(dòng)腦，提高思維水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]王得燕.窮舉法與粒子算法的比較[J].無(wú)錫技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，7（1）：44.

[2]郭建斌.例談窮舉法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].技術(shù)物理教學(xué)，2011，19（4）：58-59.

（欄目編輯 羅琬華）