編者注：《小學(xué)教學(xué)研究》（教學(xué)版）2012年第8期和2015年第9期分別刊登過著名特級(jí)教師徐斌的兩篇同題文章，副標(biāo)題分別是“以數(shù)與代數(shù)的教學(xué)為例”“以解決問題的策略教學(xué)為例”。

無痕教育，從字面上理解是把教育的目的與意圖隱蔽起來，通過間接和暗示的方式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育的一種形態(tài)。其實(shí)無痕教育不僅是一種教育方式，更是一種教育思想，是一種教育心理學(xué)的規(guī)律和原則，是一種教育的美學(xué)和哲學(xué)境界，是一種對(duì)教育本原的追尋。

為什么在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中可以實(shí)施無痕教育呢？主要基于以下三點(diǎn)：

一是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)是研究客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，它揭示的是現(xiàn)實(shí)世界中最簡單的數(shù)量關(guān)系和幾何形體等知識(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容呈現(xiàn)上具有由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)和螺旋上升的特性。可見，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征為在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施無痕教育提供了充分的可能。

二是兒童認(rèn)知的規(guī)律。數(shù)學(xué)是思維的體操，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，兒童思維的發(fā)展經(jīng)歷著從低級(jí)到高級(jí)、從不完善到完善的發(fā)展過程。小學(xué)兒童思維的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。數(shù)學(xué)思維是一種內(nèi)隱性活動(dòng)，而且各種思維方式之間的彼此相連、融會(huì)貫通和發(fā)展變化本身就處于一種無痕的狀態(tài)。

三是課堂學(xué)習(xí)的本質(zhì)。學(xué)習(xí)的本質(zhì)是發(fā)展，課堂學(xué)習(xí)是為了促進(jìn)兒童的發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程應(yīng)該是遵循兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維規(guī)律和小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科課程的基本特性，通過教師的智慧，把作為科學(xué)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生在無痕中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展能力，感悟思想和提升素養(yǎng)，同時(shí)使他們獲得豐富的情智體驗(yàn)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實(shí)施“無痕教育”呢？筆者試以“平均數(shù)”一課的教學(xué)為例，談四點(diǎn)教學(xué)策略。

1.不知不覺中開始

有效的課堂學(xué)習(xí)是如何開始的？讓學(xué)生在悄無聲息中自然而然地開始學(xué)習(xí)是無痕教育的基本追求。要做到不知不覺中開始學(xué)習(xí)，需要老師根據(jù)兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)生動(dòng)豐富的課堂引入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生油然而生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)習(xí)的開始像呼吸一樣自然無痕。

《平均數(shù)》一課的引入部分，我采用了兒童喜聞樂見的套圈游戲情境，通過四次套圈比賽，讓學(xué)生擔(dān)任比賽評(píng)委，逐漸產(chǎn)生了學(xué)習(xí)平均數(shù)的內(nèi)在需要。

第一場比賽（圖1），人數(shù)相同，每人套中個(gè)數(shù)也相同，觀察條形圖就一目了然，可以判定男生整體水平高：第二場比賽（圖2），人數(shù)相同，每人套中個(gè)數(shù)不同，分別求和可以判定男生隊(duì)獲勝：第三場比賽（圖3），人數(shù)不同，每人套中個(gè)數(shù)相同，觀察條形圖也能判定男生隊(duì)整體水平高：第四場比賽（圖4），人數(shù)不同，每人套中個(gè)數(shù)也不同，無法分別求和比較，也不能直接觀察統(tǒng)計(jì)圖獲得結(jié)果。這樣，就迫切需要學(xué)習(xí)一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)來判定結(jié)果。

縱觀以上課堂引入部分的設(shè)計(jì)，緊緊圍繞與新知相關(guān)的數(shù)學(xué)問題展開：為什么需要學(xué)習(xí)平均數(shù)？平均數(shù)與哪些舊知相關(guān)？生活中的平均數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？如何從舊知中自然生長出新知？如何通過問題情境產(chǎn)生認(rèn)知沖突？這樣的課堂起始階段設(shè)計(jì)，看上去是師生之間不經(jīng)意的談話聊天，看上去是生活中常見的游戲比賽，看上去是邀請(qǐng)學(xué)生擔(dān)任套圈比賽的評(píng)委，看上去是學(xué)生之間討論并評(píng)判比賽結(jié)果，實(shí)際上，學(xué)生不知不覺中產(chǎn)生了對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的需要，并在數(shù)據(jù)分析中產(chǎn)生了認(rèn)知矛盾和沖突，使得新知在舊知中自然無痕地生長出來。

2.潛移默化中理解

“為理解而教”一直是課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。兒童是如何理解知識(shí)的？兒童的思維過程有著怎樣的規(guī)律？研究表明，小學(xué)階段兒童的認(rèn)知水平屬于“具體運(yùn)算思維”階段，其最大特點(diǎn)是思維離不開具體事物的支持，這也導(dǎo)致兒童的感知覺、觀察力和記憶均處于初步發(fā)展水平，其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和興趣很不穩(wěn)定。烏申斯基說過：“兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進(jìn)行思維的?！币虼?，要讓兒童獲得對(duì)知識(shí)的理解，需要充分借助形象直觀的教學(xué)手段，充分利用新舊知識(shí)的相互作用，讓兒童在不露痕跡中獲得新知意義，在潛移默化中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

平均數(shù)作為刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的一種統(tǒng)計(jì)量，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常常有三種理解水平：一是概念理解，二是算術(shù)理解，三是統(tǒng)計(jì)理解。概念理解十分抽象，不符合兒童的認(rèn)知特征：算術(shù)理解則主要體現(xiàn)為先求和再平均分的程序性計(jì)算，比較單一：而統(tǒng)計(jì)理解則是建立在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，尋找能夠表達(dá)一組數(shù)據(jù)的代表，從而刻畫這組數(shù)據(jù)的整體水平。

為幫助學(xué)生理解平均數(shù)的意義，教者采用直觀的條形統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行觀察和思考，通過移多補(bǔ)少的方法，得出每人都同樣多，再通過移動(dòng)后得到的平均數(shù)畫線活動(dòng)，直觀感知平均數(shù)的范圍。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問：除了在統(tǒng)計(jì)圖上用移動(dòng)小方格的方法求出平均數(shù)，還可以怎樣算出平均數(shù)呢？學(xué)生討論并嘗試后得出：6+9+7+6=28（個(gè)），28+4=7（個(gè)）。然后比較：用移多補(bǔ)少與求和平分的方法都能求平均數(shù)，你覺得這兩種方法各有什么特點(diǎn)？

這樣的新知教學(xué)過程，學(xué)生不僅了解了平均數(shù)的產(chǎn)生源頭，還直觀理解了平均數(shù)的范圍和含義，進(jìn)而掌握了求平均數(shù)的基本方法，獲得了對(duì)平均數(shù)的深刻理解。同時(shí)也啟示我們，良好的數(shù)學(xué)理解過程需要依托兒童的思維特征，發(fā)揮動(dòng)作思維和形象思維的作用，在潛移默化中逐步發(fā)展抽象思維能力，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)理解。

3.循序漸進(jìn)中掌握

從理解知識(shí)到掌握技能，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中不可或缺的環(huán)節(jié)，而掌握技能的過程，既不可能一蹴而就，也不能機(jī)械重復(fù)單調(diào)操練，而應(yīng)讓學(xué)生在層層遞進(jìn)中循序漸進(jìn)地掌握方法、形成技能。

在學(xué)生初步理解了平均數(shù)的含義之后，知道求平均數(shù)可以有兩種方法：移多補(bǔ)少法與求和平分法。移多補(bǔ)少法比較直觀，有利于學(xué)生在求平均數(shù)的過程中判斷平均數(shù)的范圍，了解平均數(shù)的由來：求和平分法比較抽象，有利于學(xué)生用算術(shù)思維簡便快速地計(jì)算出平均數(shù)。但是對(duì)于初學(xué)平均數(shù)的學(xué)生來說，主要問題是：何時(shí)運(yùn)用移多補(bǔ)少法？何時(shí)運(yùn)用求和平分法？鑒于此，教者做了如下細(xì)膩的層次性設(shè)計(jì)。

第一層次：觀察筆筒的實(shí)物圖（如圖5），快速求出平均數(shù)。（大多數(shù)學(xué)生采用移多補(bǔ)少法）

第二層次：筆筒圖漸變?yōu)樨Q著畫的條形圖（如圖6）。（大多數(shù)學(xué)生繼續(xù)采用移多補(bǔ)少法）

第三層次：豎著畫的條形圖漸變?yōu)闄M著畫的條形圖（如圖7）。（由移多補(bǔ)少到取長補(bǔ)短）第四層次：由條形圖漸變?yōu)闊o數(shù)據(jù)的絲帶圖（如圖8）。（學(xué)生用移多補(bǔ)少法嘗試多次，但總是不能準(zhǔn)確得出三條絲帶的平均長度）

第五層次：絲帶圖從無數(shù)據(jù)到有數(shù)據(jù)（如圖9）。（學(xué)生自覺采用求和平分法計(jì)算）

以上五個(gè)層次的設(shè)計(jì)，從實(shí)物圖到條形圖再到絲帶圖，從生活到數(shù)學(xué)再回到生活：從豎著畫的條形圖到橫著畫的條形圖，從移多補(bǔ)少聯(lián)想到取長補(bǔ)短：從無數(shù)據(jù)的絲帶圖到有數(shù)據(jù)的絲帶圖，從移多補(bǔ)少法的不便到求和平分法的簡便。在循序漸進(jìn)的過程中，學(xué)生既了解了移多補(bǔ)少法的不足，也產(chǎn)生了對(duì)數(shù)據(jù)的內(nèi)在需要，從而體驗(yàn)了求和平分法的價(jià)值，在不露痕跡中完成了從移多補(bǔ)少法到求和平分法的過渡，進(jìn)而掌握兩種方法的內(nèi)在本質(zhì)。

4.春風(fēng)化雨中提升

無痕教育理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂，是學(xué)生享受教師悉心服務(wù)的過程，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)主動(dòng)發(fā)展的過程，是師生之間和諧互動(dòng)走向智慧的過程。建立了數(shù)學(xué)模型之后，為了讓學(xué)生對(duì)初建模型有充分的感性積累，應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題。在解決問題的過程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)模型的深刻理解，形成初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的相關(guān)技能，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本課在學(xué)生理解了平均數(shù)的意義與方法之后，設(shè)計(jì)了三個(gè)應(yīng)用性很強(qiáng)的問題情境：

首先是模擬擔(dān)任水果店經(jīng)理。呈現(xiàn)了水果店上周5天里賣出蘋果和橘子的數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖（如圖10），讓學(xué)生觀察思考，主要解決三個(gè)方面的實(shí)際問題：（1）水果店上周哪天生意最好？哪天生意不太好？請(qǐng)推測一下原因。（2）面對(duì)上周的經(jīng)營現(xiàn)狀，作為經(jīng)理，你會(huì)采取什么經(jīng)營手段？（3）倉庫里缺貨了，需要多進(jìn)一些蘋果還是橘子？請(qǐng)用數(shù)據(jù)說明道理。

其次是模擬擔(dān)任籃球隊(duì)隊(duì)長（如圖11）。提問：李強(qiáng)是籃球隊(duì)隊(duì)員，他身高155厘米，可能嗎？籃球隊(duì)可能有身高超過161厘米的隊(duì)員嗎？（顯示籃球隊(duì)5名隊(duì)員的具體身高統(tǒng)計(jì)表）思考：如果姚明加入學(xué)校籃球隊(duì)，平均身高會(huì)如何變化？160x5=800（厘米），800+226=1026（厘米），1026÷6=171（厘米）。這時(shí)得到的平均身高，具有什么樣的特點(diǎn)？為什么原來5名同學(xué)的身高都達(dá)不到新的平均身高呢7最后是設(shè)計(jì)一次套圈決賽活動(dòng)。比賽規(guī)則是：男生人數(shù)不變且在第四次比賽的基礎(chǔ)上不再重新套圈，又新來了一個(gè)女生，據(jù)說是高手。要使得女生套圈成績提高到和男生一樣，她必須套中多少個(gè)呢？如果女生套圈的準(zhǔn)確程度要超過男生，她至少要套中多少個(gè)？

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能止步于教材，應(yīng)讓學(xué)生透過數(shù)學(xué)知識(shí)技能的學(xué)習(xí)獲得更為豐富的思想方法，就需要學(xué)以致用與融會(huì)貫通。以上三個(gè)解決實(shí)際問題的教學(xué)設(shè)計(jì)，都是在教材的基礎(chǔ)上向著思維的深處邁進(jìn)了一步：從簡單的水果數(shù)量的平均數(shù)計(jì)算拓展為數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，從已知平均數(shù)推測數(shù)據(jù)分布到極端數(shù)據(jù)干擾帶來新的問題思考，從直接計(jì)算平均數(shù)問題到靈活推理計(jì)算與逆向思維發(fā)展以及形象思維介入。這樣的邁進(jìn)，使得學(xué)生在層層遞進(jìn)中走向了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在潤物無聲中發(fā)展了思維能力，在春風(fēng)化雨中提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。