基于GIS的Horton水系分維值估算
——以韓江流域?yàn)槔?/h1>
2017-03-21 02:04:16鄭楠炯周買春
中國(guó)農(nóng)村水利水電 2017年12期
鄭楠炯，周買春，劉 遠(yuǎn)
(華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，廣州 510642)
B. B. Mandelbrot提出分形學(xué)以來[1, 2]，分形學(xué)在多個(gè)學(xué)科得到廣泛運(yùn)用。分形是指沒有特征長(zhǎng)度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)[3]，水系是一種分形對(duì)象。R.E. Horton(1945)和A.N. Strahler(1952)研究河網(wǎng)結(jié)構(gòu)時(shí)總結(jié)出Horton定律，在一個(gè)流域內(nèi)，采用Strahler水系分級(jí)，河道的數(shù)目、長(zhǎng)度、流域面積等隨河道的級(jí)數(shù)呈幾何級(jí)數(shù)變化[4, 5]，研究表明，天然河網(wǎng)Horton比一般變化范圍是：分枝比為3～5，長(zhǎng)度比為1.5～3.0[5, 6]。P. LaBarbera和R. Rosso(1987)研究河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系，提出了基于Horton定律的水系分維值計(jì)算方法[7]。
水系的分維反映了水系的發(fā)育程度。水系分維值越大，支流數(shù)目越多，分枝比越大，河網(wǎng)密度越大，河道越彎曲，發(fā)育程度越好[8-10]。目前運(yùn)用較廣的估算水系分維的方法主要有兩種[11]：一種是基于分形的定義，即盒維數(shù)法；另一種是基于Horton定律?；贖orton定律的分維值大于基于分形定義的盒維數(shù)值[12, 13]。
Horton定律是水流在重力作用下隨機(jī)發(fā)育的必然結(jié)果，比較準(zhǔn)確地反映河網(wǎng)水系結(jié)構(gòu)特征[14]。王大鵬等(2006年)研究表明太湖流域水系具有河長(zhǎng)分維值北小南大、河網(wǎng)分維值西小東大的特點(diǎn)[15]；凌紅波等(2010年)研究表明1958-2006年瑪納斯河流域水系變化滿足Horton定律[16]；劉凱等(2010年)計(jì)算不同時(shí)期新豐江流域水系分維值，分析其水網(wǎng)結(jié)構(gòu)的演變過程，發(fā)現(xiàn)水網(wǎng)結(jié)構(gòu)呈簡(jiǎn)單化及主干化發(fā)展[17]；王小軍等(2014年)利用Horton定律計(jì)算灌區(qū)渠系分維值，研究分維結(jié)構(gòu)與渠系用水效率的關(guān)系，灌區(qū)渠系分維值過大或過小都不利于用水效率的提高[18]。
利用Arcgis平臺(tái)基于DEM計(jì)算水系分維值已普遍運(yùn)用，不同于多匯流閾值下盒維數(shù)法的研究[19, 20]，變化匯流閾值下的Horton定律的水系分維值卻鮮有研究?；诖?，本文選取華南地區(qū)的韓江流域?yàn)檠芯繀^(qū)域，基于DEM提取數(shù)字河網(wǎng)，采用合適的算法準(zhǔn)確便捷地統(tǒng)計(jì)數(shù)字河網(wǎng)信息，計(jì)算系列閾值下的韓江流域分維值及其9個(gè)子流域的分維值，并提出河網(wǎng)分形特征不明顯時(shí)不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道信息的分維值計(jì)算方法，為Horton定律計(jì)算分維值研究提供方法參考。
1 研究區(qū)域
韓江流域覆蓋廣東東部、福建西南部、江西東南部，包含汀江、梅江、韓江等，東經(jīng)115°13′～117°09′、北緯23°17′～26°05′。流域集水面積30 112 km2，干流總長(zhǎng)度428 km，河床平均比降0.39‰，屬亞熱帶季風(fēng)氣候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸發(fā)量996～1 406 mm。地勢(shì)自西北和東北向東南傾斜，丘陵與谷地相間，山地占總流域面積的70%。山地丘陵的植被是以馬尾松為主的次生林地，臺(tái)地、盆地和平原多為農(nóng)作物。以流域內(nèi)9個(gè)水文站點(diǎn)將韓江流域劃分成9個(gè)獨(dú)立的子流域，研究區(qū)域不考慮包含潮安水文站以下的沿海三角洲河網(wǎng)(集水面積1 035 km2)，研究區(qū)域見圖1。
圖1 韓江流域地理位置及子流域劃分Fig.1 Geographical location and the sub basins of Hanjiang River basin
2 研究方法
2.1 數(shù)據(jù)來源
數(shù)據(jù)源的精度會(huì)對(duì)Horton定律計(jì)算產(chǎn)生相當(dāng)大的影響，主要來源于可辨識(shí)的一級(jí)支流的不同[6]，劉遠(yuǎn)等(2012年)對(duì)比分析HYDRO1K、SRTM、ASTER GDEM三種DEM提取韓江流域的河網(wǎng)，發(fā)現(xiàn)基于SRTM的河網(wǎng)精度最好[21]，本文采用中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心的地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn)90 m分辨率的SRTM DEM數(shù)據(jù)。
2.2 Horton定律與分形
Horton定律反映水系結(jié)構(gòu)特征，采用Strahler河網(wǎng)分級(jí)法(直接發(fā)源于河源的河道為一級(jí)水系，兩條同級(jí)別的水系構(gòu)成更高一級(jí)，兩條不同級(jí)別的水系匯合級(jí)別取較高者)，Horton定律中河數(shù)定律、長(zhǎng)度定律表達(dá)式如下[4, 5]：
Nu=R(s-u)
(2)
RB=Nu/Nu+1
(3)
RL=Lu+1/Lu
(4)
式中：Nu、Lu分別為級(jí)別u的河道數(shù)目、平均長(zhǎng)度，以此類推。
低級(jí)河道并不完全匯入高一級(jí)河道，而是有部分直接匯入到更高幾級(jí)的河道，對(duì)于多級(jí)河道的分枝比和長(zhǎng)度比，采用統(tǒng)計(jì)意義上的平均法計(jì)算整個(gè)水系的平均分枝比和平均長(zhǎng)度比[22, 23]：
(6)
式中：RB(u,u+1)、RL(u,u+1)分別為相鄰u、u+1兩級(jí)河道分枝比、長(zhǎng)度比；Nu,u+1、Lu,u+1分別為相鄰u、u+1兩級(jí)河道的數(shù)目和、平均長(zhǎng)度和。
由河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系計(jì)算水系分維值D[7]：
(7)
2.3 基于DEM的數(shù)字河網(wǎng)的生成及河道特征統(tǒng)計(jì)
基于Arcgis平臺(tái)的水文分析模塊，將原始DEM填洼、確定水流方向、設(shè)置匯流閾值、河道分級(jí)，提取不同集水閾值下的河網(wǎng)[24]，本文設(shè)置系列匯流柵格數(shù)閾值為1，10，20，…，300，400，500，600(單位：個(gè))。將數(shù)字河網(wǎng)特征信息導(dǎo)出為Excel表，統(tǒng)計(jì)系列閾值下河道的各級(jí)數(shù)量和長(zhǎng)度。
統(tǒng)計(jì)各級(jí)河道的數(shù)目時(shí)，Arcgis的河道分級(jí)算法使當(dāng)級(jí)連續(xù)的河道被上一級(jí)河道分割成多段，如圖2所示，最上方的一條2級(jí)河道被多條1級(jí)河道分割成3段，3級(jí)河道(干流)被低級(jí)河道分割成4段，實(shí)際上3級(jí)河道數(shù)目是1，因此直接查詢河網(wǎng)屬性表的河道數(shù)目則不準(zhǔn)確。考慮到源頭河道不再分支，且不會(huì)被分割，其數(shù)目的統(tǒng)計(jì)是準(zhǔn)確的，因此統(tǒng)計(jì)完第一級(jí)河道信息后，利用Arcgis的重分類(Reclassify)功能，賦值第一級(jí)河道為空值(nodata)，移除第一級(jí)河道，使第二級(jí)河道在沒有低級(jí)河道時(shí)成為“源頭”河道，再統(tǒng)計(jì)其數(shù)目和長(zhǎng)度，既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確，接著移除該級(jí)河道，再統(tǒng)計(jì)下一級(jí)河道信息，按此方法從低級(jí)到高級(jí)逐次移除低級(jí)河道并統(tǒng)計(jì)河道信息。河網(wǎng)提取、河道逐級(jí)移除、河道特征信息導(dǎo)出Excel過程在Arcgis的模型構(gòu)建器(Model Bulider)實(shí)現(xiàn)批量、循環(huán)、自動(dòng)化處理，技術(shù)路線見圖3。
圖2 河網(wǎng)分級(jí)及河道分段示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch of stream orders and segmentation
圖3 河網(wǎng)提取及統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)路線圖Fig.3 Technology roadmap of drainage networks extracting and statistical analysis
3 結(jié)果與分析
3.1 韓江流域的分維值
計(jì)算的系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長(zhǎng)度比和分維值描繪于圖4。
根據(jù)Horton定律，不同級(jí)別的河道數(shù)目之比、河道長(zhǎng)度之比為常數(shù)，韓江流域河網(wǎng)在不同匯流閾值下的分枝比接近固定值4.51，但長(zhǎng)度比隨閾值變化在數(shù)值2.0上下波動(dòng)，均值1.98，水系分維值最小值1.766，最大值3.661，隨閾值變化幅度大，且大都接近或大于2，由系列閾值的分枝比的均值、長(zhǎng)度比的均值根據(jù)式(7)，計(jì)算韓江流域水系平均分維值為2.21。
大多數(shù)天然河網(wǎng)符合Horton定律的線性規(guī)律，但由于DEM水平和垂直分辨率、不合理的洼地地形及河網(wǎng)提取算法等問題，基于DEM提取的河網(wǎng)會(huì)存在錯(cuò)誤的河道，如匯流閾值較小時(shí)的河網(wǎng)有著密集的低級(jí)河道、平行河道及衍生的虛假河道等，以觀音橋子流域?yàn)槔?，閾值?.081 km2(10個(gè)匯流柵格×單元格面積0.092km2)的河網(wǎng)及部分錯(cuò)誤河道如圖5所示，低級(jí)河道特征偏離自然實(shí)際狀態(tài)，統(tǒng)計(jì)時(shí)存在誤差。
韓江流域閾值變化時(shí)，在一定的有限閾值范圍內(nèi)，隨著閾值的增大，分維值也逐漸增大，見圖4(b)。閾值的增大造成對(duì)細(xì)小河道進(jìn)行舍棄，河網(wǎng)趨于簡(jiǎn)單化，河網(wǎng)的分級(jí)在閾值增大到一定的臨界值時(shí)會(huì)產(chǎn)生河道級(jí)數(shù)的變化(減小)，此時(shí)河道分枝比、長(zhǎng)度比相應(yīng)地發(fā)生較大的改變，從而分維值驟減，然后又逐漸增大。以韓江流域匯流柵格數(shù)閾值110個(gè)(匯流面積閾值0.891 km2)和120個(gè)(匯流面積閾值0.972 km2)的河網(wǎng)為例，河網(wǎng)的信息列于表1。
圖4 韓江流域系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長(zhǎng)度比及分維值Fig.4 The branching ratios, length ratios and fractal dimension in series conflux thresholds of Hanjiang River basin
圖5 觀音橋子流域河網(wǎng)及一些錯(cuò)誤河道示例Fig.5 The drainage networks and some examples of wrong rivers in Guanyinqiao basin
匯流柵格數(shù)閾值從110增大到120時(shí)，閾值的增大忽略了小河道，河道級(jí)數(shù)從8級(jí)減小為7級(jí)，河道統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度減少880 km，河道統(tǒng)計(jì)數(shù)目減少906條，由式(5)、(6)計(jì)算的分枝比皆為4.48，長(zhǎng)度比則閾值110的河網(wǎng)為1.65，閾值120的河網(wǎng)為2.25，相差大。由式(7)計(jì)算的平均分維值前者是2.98，后者是1.85，不考慮分維值的合理性下，系列閾值下的河網(wǎng)分維值變化范圍大，選擇合適的閾值提取河網(wǎng)用以計(jì)算分維值至關(guān)重要。
表1 韓江流域兩種閾值下的河網(wǎng)特征表Tab.1 The drainage networks characteristics in two conflux thresholds of Hanjiang River basin
3.2 不考慮最高級(jí)河道時(shí)韓江流域的分維值
由表1，低級(jí)河道時(shí)，相鄰兩級(jí)的分枝比、長(zhǎng)度比為近似的固定值，對(duì)于高級(jí)河道，如干流，數(shù)目為1，平均長(zhǎng)度最長(zhǎng)，其相鄰分枝比、長(zhǎng)度比與低級(jí)河道的差別大。羅文鋒等(1998年)認(rèn)為分支網(wǎng)絡(luò)端頭的維數(shù)比網(wǎng)絡(luò)整體的維數(shù)更有意義[25]，劉樂等(2015年)研究表明，位于青藏高原內(nèi)部的非最高級(jí)別河流屬性符合Horton定律，而最高級(jí)別河流屬性與Horton定律有較大的偏離[26]。分形對(duì)象具有自相似性，河網(wǎng)屬于分叉結(jié)構(gòu)，但干流幾乎貫穿整個(gè)流域，以及較低級(jí)的河道的匯入，影響河網(wǎng)形狀的自相似性。因此，不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道(干流)的數(shù)量和長(zhǎng)度，重新計(jì)算韓江流域系列閾值下的水系分維值，與整個(gè)河網(wǎng)(有統(tǒng)計(jì)干流信息)的分維值結(jié)果列于表2。
表2 不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道時(shí)韓江流域分維值Tab.2 The fractal dimension of Hanjiang River basinwithout counting the highest-level channels
不統(tǒng)計(jì)干流時(shí)分枝比均值與整個(gè)河網(wǎng)的分枝比均值相同，長(zhǎng)度比均值則變大，計(jì)算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，數(shù)值范圍合理。
3.3 韓江各子流域分維值
分別提取各子流域系列閾值下的河網(wǎng)，統(tǒng)計(jì)子流域河道特征并計(jì)算分維值，同時(shí)計(jì)算不考慮最高級(jí)河道時(shí)的河道特征及分維值，結(jié)果列于表3。
表3 韓江各子流域河網(wǎng)特征及分維值Tab.3 The drainage networks characteristics and fractal dimensionof each sub basins of Hanjiang River basin
注：RB表示子流域河網(wǎng)的分枝比；R′B表示不包含干流時(shí)的子流域河網(wǎng)的分枝比，以此類推。
如同韓江大流域，子流域整個(gè)河網(wǎng)與不包含干流時(shí)的分枝比均值相近，長(zhǎng)度比均值前者小于后者，由9個(gè)子流域分枝比均值和長(zhǎng)度比均值計(jì)算的平均分維值是1.91，不統(tǒng)計(jì)干流信息時(shí)的河網(wǎng)平均分維值是1.64。不包含干流時(shí)，觀音橋子流域、溪口子流域的長(zhǎng)度比均值較其余子流域的長(zhǎng)度比均值大，且大于長(zhǎng)度比的一般范圍最大值3；上杭子流域、楊家坊子流域、潮安子流域的高級(jí)相鄰河道的分枝比與低級(jí)相鄰河道分枝比接近，河網(wǎng)分形結(jié)構(gòu)好，因此以上5個(gè)子流域分維值采用完整河網(wǎng)的分維值，其余子流域分維值采用不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道時(shí)的分維值，在表3中數(shù)值以加粗表示。按以上方法選取的9個(gè)子流域分枝比均值4.51，長(zhǎng)度比均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個(gè)流域不包含干流時(shí)的河道特征和分維值較為一致?；贒EM的Horton定律的水系分維值計(jì)算，應(yīng)當(dāng)結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征等合理選擇是否包含干流，以統(tǒng)計(jì)河道特征和計(jì)算分維值。
4 結(jié) 語(yǔ)
利用Arcgis平臺(tái)基于DEM提取系列閾值下的韓江流域及9個(gè)子流域水系，計(jì)算基于Horton定律的水系分維值。各級(jí)河道信息統(tǒng)計(jì)時(shí)，采用Arcgis重分類功能，從低級(jí)到高級(jí)逐次移除低級(jí)河道，再統(tǒng)計(jì)各級(jí)河道信息，簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確。
韓江流域系列閾值下的分枝比較穩(wěn)定，均值4.51，長(zhǎng)度比在數(shù)值2.0上下波動(dòng)，均值1.98，分維值隨匯流閾值的變化幅度大，由分枝比均值和長(zhǎng)度比均值計(jì)算的平均分維值為2.21。由于閾值變化下河網(wǎng)密度的不確定性、錯(cuò)誤河道的存在、低級(jí)河道直接匯入更高級(jí)河道等，統(tǒng)計(jì)的河網(wǎng)信息和計(jì)算的分維值有偏差。當(dāng)不統(tǒng)計(jì)韓江流域最高級(jí)河道信息時(shí)，分枝比均值與整個(gè)河網(wǎng)的分枝比均值相同，長(zhǎng)度比均值則變大為2.67，計(jì)算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，在合理的范圍內(nèi)。
韓江流域的9個(gè)子流域分枝比平均值4.50，長(zhǎng)度比平均值2.34，平均分維值1.91；不統(tǒng)計(jì)各子流域最高級(jí)河道信息時(shí)，分枝比平均值4.51，長(zhǎng)度比平均值2.80，平均分維值1.64；結(jié)合兩種河網(wǎng)信息統(tǒng)計(jì)方法，觀音橋、溪口、上杭、楊家坊、潮安子流域采用完整河網(wǎng)的統(tǒng)計(jì)方法，寶坑、河口、水口、橫山子流域采用不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道的方法，計(jì)算的分枝比平均值4.51，長(zhǎng)度比平均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個(gè)流域不包含干流時(shí)的河道特征和分維值較為一致。因此，基于DEM的Horton定律的水系分維值估算，應(yīng)當(dāng)結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征值等合理選擇是否包含干流，或者后續(xù)研究中，應(yīng)當(dāng)區(qū)分低一級(jí)河道匯入高一級(jí)河道與直接匯入高幾級(jí)河道的情況，再統(tǒng)計(jì)河道特征和計(jì)算分維值。
□
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鄭楠炯，周買春，劉 遠(yuǎn)
(華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，廣州 510642)
B. B. Mandelbrot提出分形學(xué)以來[1, 2]，分形學(xué)在多個(gè)學(xué)科得到廣泛運(yùn)用。分形是指沒有特征長(zhǎng)度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)[3]，水系是一種分形對(duì)象。R.E. Horton(1945)和A.N. Strahler(1952)研究河網(wǎng)結(jié)構(gòu)時(shí)總結(jié)出Horton定律，在一個(gè)流域內(nèi)，采用Strahler水系分級(jí)，河道的數(shù)目、長(zhǎng)度、流域面積等隨河道的級(jí)數(shù)呈幾何級(jí)數(shù)變化[4, 5]，研究表明，天然河網(wǎng)Horton比一般變化范圍是：分枝比為3～5，長(zhǎng)度比為1.5～3.0[5, 6]。P. LaBarbera和R. Rosso(1987)研究河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系，提出了基于Horton定律的水系分維值計(jì)算方法[7]。
水系的分維反映了水系的發(fā)育程度。水系分維值越大，支流數(shù)目越多，分枝比越大，河網(wǎng)密度越大，河道越彎曲，發(fā)育程度越好[8-10]。目前運(yùn)用較廣的估算水系分維的方法主要有兩種[11]：一種是基于分形的定義，即盒維數(shù)法；另一種是基于Horton定律?；贖orton定律的分維值大于基于分形定義的盒維數(shù)值[12, 13]。
Horton定律是水流在重力作用下隨機(jī)發(fā)育的必然結(jié)果，比較準(zhǔn)確地反映河網(wǎng)水系結(jié)構(gòu)特征[14]。王大鵬等(2006年)研究表明太湖流域水系具有河長(zhǎng)分維值北小南大、河網(wǎng)分維值西小東大的特點(diǎn)[15]；凌紅波等(2010年)研究表明1958-2006年瑪納斯河流域水系變化滿足Horton定律[16]；劉凱等(2010年)計(jì)算不同時(shí)期新豐江流域水系分維值，分析其水網(wǎng)結(jié)構(gòu)的演變過程，發(fā)現(xiàn)水網(wǎng)結(jié)構(gòu)呈簡(jiǎn)單化及主干化發(fā)展[17]；王小軍等(2014年)利用Horton定律計(jì)算灌區(qū)渠系分維值，研究分維結(jié)構(gòu)與渠系用水效率的關(guān)系，灌區(qū)渠系分維值過大或過小都不利于用水效率的提高[18]。
利用Arcgis平臺(tái)基于DEM計(jì)算水系分維值已普遍運(yùn)用，不同于多匯流閾值下盒維數(shù)法的研究[19, 20]，變化匯流閾值下的Horton定律的水系分維值卻鮮有研究?；诖?，本文選取華南地區(qū)的韓江流域?yàn)檠芯繀^(qū)域，基于DEM提取數(shù)字河網(wǎng)，采用合適的算法準(zhǔn)確便捷地統(tǒng)計(jì)數(shù)字河網(wǎng)信息，計(jì)算系列閾值下的韓江流域分維值及其9個(gè)子流域的分維值，并提出河網(wǎng)分形特征不明顯時(shí)不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道信息的分維值計(jì)算方法，為Horton定律計(jì)算分維值研究提供方法參考。
1 研究區(qū)域
韓江流域覆蓋廣東東部、福建西南部、江西東南部，包含汀江、梅江、韓江等，東經(jīng)115°13′～117°09′、北緯23°17′～26°05′。流域集水面積30 112 km2，干流總長(zhǎng)度428 km，河床平均比降0.39‰，屬亞熱帶季風(fēng)氣候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸發(fā)量996～1 406 mm。地勢(shì)自西北和東北向東南傾斜，丘陵與谷地相間，山地占總流域面積的70%。山地丘陵的植被是以馬尾松為主的次生林地，臺(tái)地、盆地和平原多為農(nóng)作物。以流域內(nèi)9個(gè)水文站點(diǎn)將韓江流域劃分成9個(gè)獨(dú)立的子流域，研究區(qū)域不考慮包含潮安水文站以下的沿海三角洲河網(wǎng)(集水面積1 035 km2)，研究區(qū)域見圖1。
圖1 韓江流域地理位置及子流域劃分Fig.1 Geographical location and the sub basins of Hanjiang River basin
2 研究方法
2.1 數(shù)據(jù)來源
數(shù)據(jù)源的精度會(huì)對(duì)Horton定律計(jì)算產(chǎn)生相當(dāng)大的影響，主要來源于可辨識(shí)的一級(jí)支流的不同[6]，劉遠(yuǎn)等(2012年)對(duì)比分析HYDRO1K、SRTM、ASTER GDEM三種DEM提取韓江流域的河網(wǎng)，發(fā)現(xiàn)基于SRTM的河網(wǎng)精度最好[21]，本文采用中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心的地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn)90 m分辨率的SRTM DEM數(shù)據(jù)。
2.2 Horton定律與分形
Horton定律反映水系結(jié)構(gòu)特征，采用Strahler河網(wǎng)分級(jí)法(直接發(fā)源于河源的河道為一級(jí)水系，兩條同級(jí)別的水系構(gòu)成更高一級(jí)，兩條不同級(jí)別的水系匯合級(jí)別取較高者)，Horton定律中河數(shù)定律、長(zhǎng)度定律表達(dá)式如下[4, 5]：
Nu=R(s-u)
(2)
RB=Nu/Nu+1
(3)
RL=Lu+1/Lu
(4)
式中：Nu、Lu分別為級(jí)別u的河道數(shù)目、平均長(zhǎng)度，以此類推。
低級(jí)河道并不完全匯入高一級(jí)河道，而是有部分直接匯入到更高幾級(jí)的河道，對(duì)于多級(jí)河道的分枝比和長(zhǎng)度比，采用統(tǒng)計(jì)意義上的平均法計(jì)算整個(gè)水系的平均分枝比和平均長(zhǎng)度比[22, 23]：
(6)
式中：RB(u,u+1)、RL(u,u+1)分別為相鄰u、u+1兩級(jí)河道分枝比、長(zhǎng)度比；Nu,u+1、Lu,u+1分別為相鄰u、u+1兩級(jí)河道的數(shù)目和、平均長(zhǎng)度和。
由河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系計(jì)算水系分維值D[7]：
(7)
2.3 基于DEM的數(shù)字河網(wǎng)的生成及河道特征統(tǒng)計(jì)
基于Arcgis平臺(tái)的水文分析模塊，將原始DEM填洼、確定水流方向、設(shè)置匯流閾值、河道分級(jí)，提取不同集水閾值下的河網(wǎng)[24]，本文設(shè)置系列匯流柵格數(shù)閾值為1，10，20，…，300，400，500，600(單位：個(gè))。將數(shù)字河網(wǎng)特征信息導(dǎo)出為Excel表，統(tǒng)計(jì)系列閾值下河道的各級(jí)數(shù)量和長(zhǎng)度。
統(tǒng)計(jì)各級(jí)河道的數(shù)目時(shí)，Arcgis的河道分級(jí)算法使當(dāng)級(jí)連續(xù)的河道被上一級(jí)河道分割成多段，如圖2所示，最上方的一條2級(jí)河道被多條1級(jí)河道分割成3段，3級(jí)河道(干流)被低級(jí)河道分割成4段，實(shí)際上3級(jí)河道數(shù)目是1，因此直接查詢河網(wǎng)屬性表的河道數(shù)目則不準(zhǔn)確。考慮到源頭河道不再分支，且不會(huì)被分割，其數(shù)目的統(tǒng)計(jì)是準(zhǔn)確的，因此統(tǒng)計(jì)完第一級(jí)河道信息后，利用Arcgis的重分類(Reclassify)功能，賦值第一級(jí)河道為空值(nodata)，移除第一級(jí)河道，使第二級(jí)河道在沒有低級(jí)河道時(shí)成為“源頭”河道，再統(tǒng)計(jì)其數(shù)目和長(zhǎng)度，既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確，接著移除該級(jí)河道，再統(tǒng)計(jì)下一級(jí)河道信息，按此方法從低級(jí)到高級(jí)逐次移除低級(jí)河道并統(tǒng)計(jì)河道信息。河網(wǎng)提取、河道逐級(jí)移除、河道特征信息導(dǎo)出Excel過程在Arcgis的模型構(gòu)建器(Model Bulider)實(shí)現(xiàn)批量、循環(huán)、自動(dòng)化處理，技術(shù)路線見圖3。
圖2 河網(wǎng)分級(jí)及河道分段示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch of stream orders and segmentation
圖3 河網(wǎng)提取及統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)路線圖Fig.3 Technology roadmap of drainage networks extracting and statistical analysis
3 結(jié)果與分析
3.1 韓江流域的分維值
計(jì)算的系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長(zhǎng)度比和分維值描繪于圖4。
根據(jù)Horton定律，不同級(jí)別的河道數(shù)目之比、河道長(zhǎng)度之比為常數(shù)，韓江流域河網(wǎng)在不同匯流閾值下的分枝比接近固定值4.51，但長(zhǎng)度比隨閾值變化在數(shù)值2.0上下波動(dòng)，均值1.98，水系分維值最小值1.766，最大值3.661，隨閾值變化幅度大，且大都接近或大于2，由系列閾值的分枝比的均值、長(zhǎng)度比的均值根據(jù)式(7)，計(jì)算韓江流域水系平均分維值為2.21。
大多數(shù)天然河網(wǎng)符合Horton定律的線性規(guī)律，但由于DEM水平和垂直分辨率、不合理的洼地地形及河網(wǎng)提取算法等問題，基于DEM提取的河網(wǎng)會(huì)存在錯(cuò)誤的河道，如匯流閾值較小時(shí)的河網(wǎng)有著密集的低級(jí)河道、平行河道及衍生的虛假河道等，以觀音橋子流域?yàn)槔?，閾值?.081 km2(10個(gè)匯流柵格×單元格面積0.092km2)的河網(wǎng)及部分錯(cuò)誤河道如圖5所示，低級(jí)河道特征偏離自然實(shí)際狀態(tài)，統(tǒng)計(jì)時(shí)存在誤差。
韓江流域閾值變化時(shí)，在一定的有限閾值范圍內(nèi)，隨著閾值的增大，分維值也逐漸增大，見圖4(b)。閾值的增大造成對(duì)細(xì)小河道進(jìn)行舍棄，河網(wǎng)趨于簡(jiǎn)單化，河網(wǎng)的分級(jí)在閾值增大到一定的臨界值時(shí)會(huì)產(chǎn)生河道級(jí)數(shù)的變化(減小)，此時(shí)河道分枝比、長(zhǎng)度比相應(yīng)地發(fā)生較大的改變，從而分維值驟減，然后又逐漸增大。以韓江流域匯流柵格數(shù)閾值110個(gè)(匯流面積閾值0.891 km2)和120個(gè)(匯流面積閾值0.972 km2)的河網(wǎng)為例，河網(wǎng)的信息列于表1。
圖4 韓江流域系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長(zhǎng)度比及分維值Fig.4 The branching ratios, length ratios and fractal dimension in series conflux thresholds of Hanjiang River basin
圖5 觀音橋子流域河網(wǎng)及一些錯(cuò)誤河道示例Fig.5 The drainage networks and some examples of wrong rivers in Guanyinqiao basin
匯流柵格數(shù)閾值從110增大到120時(shí)，閾值的增大忽略了小河道，河道級(jí)數(shù)從8級(jí)減小為7級(jí)，河道統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度減少880 km，河道統(tǒng)計(jì)數(shù)目減少906條，由式(5)、(6)計(jì)算的分枝比皆為4.48，長(zhǎng)度比則閾值110的河網(wǎng)為1.65，閾值120的河網(wǎng)為2.25，相差大。由式(7)計(jì)算的平均分維值前者是2.98，后者是1.85，不考慮分維值的合理性下，系列閾值下的河網(wǎng)分維值變化范圍大，選擇合適的閾值提取河網(wǎng)用以計(jì)算分維值至關(guān)重要。
表1 韓江流域兩種閾值下的河網(wǎng)特征表Tab.1 The drainage networks characteristics in two conflux thresholds of Hanjiang River basin
3.2 不考慮最高級(jí)河道時(shí)韓江流域的分維值
由表1，低級(jí)河道時(shí)，相鄰兩級(jí)的分枝比、長(zhǎng)度比為近似的固定值，對(duì)于高級(jí)河道，如干流，數(shù)目為1，平均長(zhǎng)度最長(zhǎng)，其相鄰分枝比、長(zhǎng)度比與低級(jí)河道的差別大。羅文鋒等(1998年)認(rèn)為分支網(wǎng)絡(luò)端頭的維數(shù)比網(wǎng)絡(luò)整體的維數(shù)更有意義[25]，劉樂等(2015年)研究表明，位于青藏高原內(nèi)部的非最高級(jí)別河流屬性符合Horton定律，而最高級(jí)別河流屬性與Horton定律有較大的偏離[26]。分形對(duì)象具有自相似性，河網(wǎng)屬于分叉結(jié)構(gòu)，但干流幾乎貫穿整個(gè)流域，以及較低級(jí)的河道的匯入，影響河網(wǎng)形狀的自相似性。因此，不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道(干流)的數(shù)量和長(zhǎng)度，重新計(jì)算韓江流域系列閾值下的水系分維值，與整個(gè)河網(wǎng)(有統(tǒng)計(jì)干流信息)的分維值結(jié)果列于表2。
表2 不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道時(shí)韓江流域分維值Tab.2 The fractal dimension of Hanjiang River basinwithout counting the highest-level channels
不統(tǒng)計(jì)干流時(shí)分枝比均值與整個(gè)河網(wǎng)的分枝比均值相同，長(zhǎng)度比均值則變大，計(jì)算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，數(shù)值范圍合理。
3.3 韓江各子流域分維值
分別提取各子流域系列閾值下的河網(wǎng)，統(tǒng)計(jì)子流域河道特征并計(jì)算分維值，同時(shí)計(jì)算不考慮最高級(jí)河道時(shí)的河道特征及分維值，結(jié)果列于表3。
表3 韓江各子流域河網(wǎng)特征及分維值Tab.3 The drainage networks characteristics and fractal dimensionof each sub basins of Hanjiang River basin
注：RB表示子流域河網(wǎng)的分枝比；R′B表示不包含干流時(shí)的子流域河網(wǎng)的分枝比，以此類推。
如同韓江大流域，子流域整個(gè)河網(wǎng)與不包含干流時(shí)的分枝比均值相近，長(zhǎng)度比均值前者小于后者，由9個(gè)子流域分枝比均值和長(zhǎng)度比均值計(jì)算的平均分維值是1.91，不統(tǒng)計(jì)干流信息時(shí)的河網(wǎng)平均分維值是1.64。不包含干流時(shí)，觀音橋子流域、溪口子流域的長(zhǎng)度比均值較其余子流域的長(zhǎng)度比均值大，且大于長(zhǎng)度比的一般范圍最大值3；上杭子流域、楊家坊子流域、潮安子流域的高級(jí)相鄰河道的分枝比與低級(jí)相鄰河道分枝比接近，河網(wǎng)分形結(jié)構(gòu)好，因此以上5個(gè)子流域分維值采用完整河網(wǎng)的分維值，其余子流域分維值采用不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道時(shí)的分維值，在表3中數(shù)值以加粗表示。按以上方法選取的9個(gè)子流域分枝比均值4.51，長(zhǎng)度比均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個(gè)流域不包含干流時(shí)的河道特征和分維值較為一致?；贒EM的Horton定律的水系分維值計(jì)算，應(yīng)當(dāng)結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征等合理選擇是否包含干流，以統(tǒng)計(jì)河道特征和計(jì)算分維值。
4 結(jié) 語(yǔ)
利用Arcgis平臺(tái)基于DEM提取系列閾值下的韓江流域及9個(gè)子流域水系，計(jì)算基于Horton定律的水系分維值。各級(jí)河道信息統(tǒng)計(jì)時(shí)，采用Arcgis重分類功能，從低級(jí)到高級(jí)逐次移除低級(jí)河道，再統(tǒng)計(jì)各級(jí)河道信息，簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確。
韓江流域系列閾值下的分枝比較穩(wěn)定，均值4.51，長(zhǎng)度比在數(shù)值2.0上下波動(dòng)，均值1.98，分維值隨匯流閾值的變化幅度大，由分枝比均值和長(zhǎng)度比均值計(jì)算的平均分維值為2.21。由于閾值變化下河網(wǎng)密度的不確定性、錯(cuò)誤河道的存在、低級(jí)河道直接匯入更高級(jí)河道等，統(tǒng)計(jì)的河網(wǎng)信息和計(jì)算的分維值有偏差。當(dāng)不統(tǒng)計(jì)韓江流域最高級(jí)河道信息時(shí)，分枝比均值與整個(gè)河網(wǎng)的分枝比均值相同，長(zhǎng)度比均值則變大為2.67，計(jì)算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，在合理的范圍內(nèi)。
韓江流域的9個(gè)子流域分枝比平均值4.50，長(zhǎng)度比平均值2.34，平均分維值1.91；不統(tǒng)計(jì)各子流域最高級(jí)河道信息時(shí)，分枝比平均值4.51，長(zhǎng)度比平均值2.80，平均分維值1.64；結(jié)合兩種河網(wǎng)信息統(tǒng)計(jì)方法，觀音橋、溪口、上杭、楊家坊、潮安子流域采用完整河網(wǎng)的統(tǒng)計(jì)方法，寶坑、河口、水口、橫山子流域采用不統(tǒng)計(jì)最高級(jí)河道的方法，計(jì)算的分枝比平均值4.51，長(zhǎng)度比平均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個(gè)流域不包含干流時(shí)的河道特征和分維值較為一致。因此，基于DEM的Horton定律的水系分維值估算，應(yīng)當(dāng)結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征值等合理選擇是否包含干流，或者后續(xù)研究中，應(yīng)當(dāng)區(qū)分低一級(jí)河道匯入高一級(jí)河道與直接匯入高幾級(jí)河道的情況，再統(tǒng)計(jì)河道特征和計(jì)算分維值。
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