張齊華

“思維可視化”視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂之重建

張齊華

張齊華，南京市北京東路小學(xué)副校長，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，《江蘇教育》《小學(xué)教學(xué)》等刊物的封面人物。一直致力于數(shù)學(xué)課堂文化的探索與實踐，曾代表江蘇省參加全國小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會第七屆教學(xué)觀摩大賽榮獲一等獎，《人民教育》《小學(xué)教學(xué)》先后對其在數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域的探索進行專題報道，2007年《中國教育報》專題報道了其數(shù)學(xué)課堂系列教學(xué)藝術(shù)。參與蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫，200多篇教育教學(xué)論文在省級以上刊物發(fā)表，《張齊華與小學(xué)數(shù)學(xué)文化》2010年由北京師范大學(xué)出版社正式出版。

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵訴求。借助精確加工、問題驅(qū)動和深度對話，可以喚醒文本的思維可能、激活思維的內(nèi)在動力、引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展，讓思維真正發(fā)生。要善于調(diào)動學(xué)生的多重感官，參與到思維的發(fā)生、發(fā)展和表達過程中來，用直觀的圖形表征抽象的思維，在動手操作與實踐中展現(xiàn)思維的過程，在語言表達中外化學(xué)生的思維，讓思維“看得見”。

思維可視化；畫圖；操作；表達；讓思維看得見

數(shù)學(xué)，是思維的體操。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，也是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教育最關(guān)鍵的價值訴求。

然而，思維看不見。

不僅抽象思維看不見，形象思維，我們同樣看不見。面對“大腦”這一思維得以發(fā)生的最深不可測的“黑匣子”，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)如何借助相應(yīng)的教學(xué)手段和方法，讓看不見的思維“可視化”，成為數(shù)學(xué)教師、學(xué)習(xí)同伴可以觀察、把握、觸摸的對象？我們的數(shù)學(xué)課堂需要重建。

一、讓思維真正發(fā)生——思維可視的基本前提

沒有思維的真正發(fā)生，何談思維的可視化？

數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，但數(shù)學(xué)一旦以思維產(chǎn)物的形式固化下來，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對象時，它的存在，卻未必一定能引發(fā)兒童的思維。

因而，對數(shù)學(xué)文本進行教學(xué)意義上的再加工，以問題引領(lǐng)兒童展開真正的數(shù)學(xué)思維，在對話過程中引導(dǎo)思維向縱深推進，是數(shù)學(xué)教學(xué)引發(fā)思維的基本要義。

1.精準(zhǔn)加工，喚醒文本的思維可能。

好的數(shù)學(xué)文本一定具有引發(fā)思維的可能性。但可能性如何轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實，引發(fā)學(xué)生的有效思維，我們需要對文本進行適切兒童心理規(guī)律與年齡特點的精準(zhǔn)加工。比如，蘇教版三下《小數(shù)的初步認(rèn)識》一課，如果教師僅僅將小數(shù)視為十進分?jǐn)?shù)的另一種表達，視為數(shù)學(xué)上的一種人為規(guī)定，那么，其所內(nèi)涵的思維空間便會被窄化與壓縮。稍作調(diào)整，我們不妨給學(xué)生呈現(xiàn)如下學(xué)習(xí)文本：“0.3元表示什么？用你自己喜歡的方式表示出你對它的理解?！遍_放的文本呈現(xiàn)給學(xué)生創(chuàng)造了巨大的思維可能，并展現(xiàn)出不斷拓展、充滿創(chuàng)造的思維空間。可以想見，由于學(xué)生已經(jīng)積累了0.3元與3角、3角與元之間的關(guān)聯(lián)性經(jīng)驗，因而，他們完全有能力通過語言文字、直觀圖、示意圖等，創(chuàng)造性地表達并建構(gòu)“0.3元”的數(shù)學(xué)意義，從而獲得思維的發(fā)展。這一過程中，開放的文本空間、有效的任務(wù)驅(qū)動，喚醒了文本的思維可能，讓文本真正成為思維的引擎。

2.問題驅(qū)動，激活思維的內(nèi)在動力。

不是所有的問題都能引發(fā)學(xué)生的思維。好的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)盡可能來自學(xué)生，具有更大的思維空間，能引發(fā)學(xué)生的思維沖突，進而在認(rèn)知平衡與失衡之間激活思維的內(nèi)在動力。例如，蘇教版五下《圓的認(rèn)識》一課，由于知識點繁雜，師生易被知識束縛，忽略知識背后的思維訴求。教學(xué)時，不妨從舊知中引出新問題：長方形的大小由長與寬決定，正方形的大小由邊長決定，圓的大小又是由什么決定？對于學(xué)生而言，這是一個具有巨大探索空間與思維挑戰(zhàn)的問題。此時，倘若教師能夠引導(dǎo)學(xué)生邊操作、邊感受、邊猜想、邊體會，他們或許會在圓規(guī)畫圓的過程中破解這一秘密，進而發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩腳的距離就是半徑，無數(shù)條半徑長度都相等，因而，一條半徑即可決定圓的大小。在這里，繁雜的知識點因為一個開放性的大問題而得以有效統(tǒng)整，思維也在問題驅(qū)動下得以充分激發(fā)與展開。

3.深度對話，引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展。

沒有碰撞就沒有思維的推進，沒有對話就沒有思維的砥礪。當(dāng)學(xué)生經(jīng)由獨立思考，形成自己的見解后，如何引導(dǎo)他們在分享、對話、質(zhì)疑、辨析中求同存異、謀求共識、建構(gòu)意義，是推動學(xué)生思維向縱深發(fā)展的重要路徑。

例如，教學(xué)蘇教版六下《用方向和距離確定位置》一課時，我放棄了教材“簡單呈現(xiàn)”的教學(xué)路徑，而是大膽地將學(xué)生拋向問題的中心：在平面圖中給出燈塔與遇險船只的位置，引導(dǎo)他們以燈塔為觀測點，自己想辦法描述、確定船只的具體位置。不同的學(xué)生因經(jīng)驗多少、思維深淺的差異，可能提出不同的解決方案。比如，有些學(xué)生受“用數(shù)對確定位置”經(jīng)驗的影響，借助數(shù)對來刻畫船只的位置；有些學(xué)生關(guān)注了方向和距離但忽略了角度；有些學(xué)生關(guān)注了方向和角度又忽略了距離；有些學(xué)生關(guān)注了距離又忽略了方向；有些學(xué)生既關(guān)注了方向、角度，又關(guān)注了距離，但在確定角度上出現(xiàn)了分歧等。此時，教師不必急于出面解決糾紛，而應(yīng)將問題重新拋給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生展開對話，或為自己的觀點辯護，或向同伴提出質(zhì)疑，或在比較中發(fā)現(xiàn)差異，或在協(xié)商中尋求共識。事實上，真正的思維正是在這樣深度、多維、開放的對話過程中得以展開和深化的。

二、創(chuàng)新教學(xué)路徑——讓數(shù)學(xué)思維“看得見”

讓思維“看得見”本身并非目的。借助可視化的數(shù)學(xué)思維，教師能夠透過頭腦這一“黑匣子”，發(fā)現(xiàn)兒童數(shù)學(xué)思維的本來模樣，并借此對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程進行引導(dǎo)，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展路徑，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

讓思維“看得見”，我們需要調(diào)動學(xué)生的多重感官，參與到思維的發(fā)生、發(fā)展與表達過程中來，用直觀的圖形表征抽象的思維，在動手操作與實踐中展現(xiàn)思維過程，在語言表達中外化學(xué)生的思維。

1.“畫”下來，讓思維觸手可及。

思維是人類所具有的高級認(rèn)識活動，是對新輸入信息與腦內(nèi)儲存知識經(jīng)驗進行一系列復(fù)雜的心智操作過程。如何讓內(nèi)隱的心智操作過程外顯化，畫圖是簡潔、易行的方法之一，是學(xué)生表征思維、教師“觀察”學(xué)生思維行之有效的方法。

例如，教學(xué)蘇教版五上《認(rèn)識負數(shù)》一課時，教師引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖表示出對 “-2層”“-5℃”“-155米”的理解。結(jié)果，不同的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的表征方式。以“-5℃”為例，有些學(xué)生畫了冬天下雪的畫面并配以-5℃字樣；有學(xué)生畫了溫度計，但溫度計上只有-5℃這一個溫度；有學(xué)生同樣畫了溫度計，但在溫度計上不僅有-5℃，還有0度甚至+5℃的字樣；更有學(xué)生只畫了抽象的一條豎線，并在豎線上標(biāo)上0℃、-5℃和+5℃等。顯然，第一類學(xué)生對負數(shù)的理解還停留在感覺的層面，未能從數(shù)學(xué)的角度對-5℃作出闡述；第二類學(xué)生則有了一定的直觀思考與定量表達，但他們對負數(shù)的意義、負數(shù)與0的關(guān)系、相反意義的量等的認(rèn)識還比較模糊；相比較而言，第三類學(xué)生對負數(shù)的理解已經(jīng)相對清晰，對負數(shù)與0及正數(shù)的關(guān)系有了比較準(zhǔn)確的把握；而第四類學(xué)生，在前一類學(xué)生的認(rèn)識水平之上，又有了新的發(fā)展，并提升到相對抽象和概括的水平。小小的示意圖，外化并折射出學(xué)生不同的思維線索、路徑和水平，這些給教師了解學(xué)生的思維現(xiàn)狀，進而作出有針對性的引導(dǎo)提供了可靠的技術(shù)支持。

2.動手“做”，讓思維有跡可循。

數(shù)學(xué)思維不是孤立的，它往往伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動而展開。教學(xué)時，通過引導(dǎo)學(xué)生動手“做”數(shù)學(xué)，在操作、演示、實驗、實踐的過程中，教師可以有機會“觀察”學(xué)生的思維路徑、方向與狀態(tài)，靈活調(diào)整自己的教學(xué)，以更好地培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，教學(xué)蘇教版一上《認(rèn)識11～20的數(shù)》一課時，學(xué)生如何用小棒準(zhǔn)確表征對11～20各數(shù)的理解，是本課教學(xué)的關(guān)鍵。教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己動手?jǐn)[一擺、畫一畫，在操作過程中探尋學(xué)生思維的軌跡。比如，對于“畫圖表示12”這一學(xué)習(xí)任務(wù)，有些學(xué)生會零散地畫出12根小棒；有些學(xué)生則會把10根畫一起，在邊上再畫出2根；有些學(xué)生則會把10根捆成一捆；而有些學(xué)生則會用一根長的小棒表示1個十，用2根短的小棒表示2個一；更有學(xué)生會直接畫出簡易的計數(shù)器，在上面用3顆珠子表示出12這個數(shù)。不同的畫法，折射出的恰是學(xué)生不同的思維水平——有些學(xué)生的思維還處在前結(jié)構(gòu)化水平，他們對于“滿十進一”的計數(shù)規(guī)則還沒有清晰的認(rèn)識；有些學(xué)生則在這方面相對要前進很多；至于能夠創(chuàng)造性地用長的小棒表示1個十，或者能夠自覺想到在計數(shù)器上用珠子表示數(shù)，他們的思維顯然已超越了一年級學(xué)生的應(yīng)有水平，對于位值制也有了初步的感受。教師可以組織學(xué)生進行比較，在溝通、對比中尋找最好的表達方式，并在相互借鑒、學(xué)習(xí)的過程中，提升自己的理解、認(rèn)識與思維水平。

3.“說”出來，讓思維動態(tài)展現(xiàn)。

語言是思維的外化。借助語言，我們可以將思維展現(xiàn)出來。語言，是教師了解學(xué)生思維水平、方向和動態(tài)的最好載體。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要克制自己“教”“說”的欲望，盡可能給學(xué)生創(chuàng)造更多表達的時間和空間，學(xué)生自主表達、自由表達、充分表達，并在對話、溝通、質(zhì)疑、答辯的過程中，展現(xiàn)、發(fā)展和提升思維。

例如，教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識》一課，鑒于樸素的數(shù)學(xué)直覺，幾乎所有學(xué)生都能夠給出“半徑無數(shù)條、長度都相等”的結(jié)論。然而，當(dāng)教師進一步追問“為什么半徑有無數(shù)條，你是怎么思考的”，學(xué)生的思維往往會出現(xiàn)困難。此時，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生先獨立思考，然后在團隊中交流自己的想法，學(xué)生或許在相互碰撞中能得到啟發(fā)。此時，再引導(dǎo)學(xué)生把自己的思考表達出來，教師就有了傾聽、了解學(xué)生思維的良好契機。有學(xué)生可能會提出把圓對折、再對折，這樣就可以得到2條、4條、8條半徑，因為永遠都折不完，所以半徑就有無數(shù)條；有學(xué)生會提出，圓有無數(shù)條對稱軸，每條對稱軸中都包含著兩條半徑，所以圓有無數(shù)條半徑；有學(xué)生可能會提出在圓上畫半徑，而半徑是永遠畫不完的，所以圓有無數(shù)條半徑；有學(xué)生提出，圓上有無數(shù)個點，每個點都對應(yīng)著一條半徑，所以半徑有無數(shù)條；也有學(xué)生會提出，畫出半徑后，可以把半徑旋轉(zhuǎn)1度、再旋轉(zhuǎn)1度，這樣就可以畫出360條半徑，進而，如果每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)縮小10倍、100倍、1000倍……這樣，我們就可以得到無數(shù)條半徑。透過學(xué)生的語言表達，我們不難發(fā)現(xiàn)，每一種表達的背后，都隱含著某一種思維假設(shè)。這些，都給教師觸摸學(xué)生的思維軌跡創(chuàng)造了極佳的條件。

當(dāng)然，學(xué)生的語言背后，也存在著一些思維的漏洞與盲區(qū)，如果教師能夠順利捕捉，進而在追問中引導(dǎo)學(xué)生深入展開思考，學(xué)生的思維就有可能得到有效的提升。上述問題因為涉及無限，因而對多數(shù)學(xué)生而言有相當(dāng)思維難度。當(dāng)學(xué)生提出永遠折不完時，教師是否可以現(xiàn)場演示一下對折的過程，讓學(xué)生意識到，我們只要對折6～7次就已經(jīng)對折不下去了，從而引導(dǎo)學(xué)生從“實物的對折”向“思想的對折”邁進，最終在頭腦中完成對相關(guān)問題的把握。當(dāng)學(xué)生提到，我們可以不停地畫下去時，教師不妨展示 “已經(jīng)畫滿半徑的圓”，并對“能夠畫出無數(shù)條半徑”提出質(zhì)疑，逼迫學(xué)生的思維向縱深處開掘，進而反思點可以無限小、線可以無限細，從而真正對圓為何會有無數(shù)條半徑獲得深刻的把握。

可以說，語言給了學(xué)生展現(xiàn)思維的機會，也給了教師把握學(xué)生思維的機會，更給了教師引導(dǎo)學(xué)生的思維由零散走向結(jié)構(gòu)、從膚淺走向深刻的機會。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，要關(guān)注學(xué)生的語言，并透過語言“看到”學(xué)生的思維，引領(lǐng)學(xué)生的思維發(fā)展。

G623.5

A

1005-6009（2017）25-0048-03

張齊華，南京市北京東路小學(xué)（南京，210008）副校長，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。