外形促建構(gòu) 意義促提升

楊凱明

在乘法的運(yùn)算律中，乘法分配律是一個(gè)重點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，難在對(duì)其意義的理解及靈活運(yùn)用。盡管教學(xué)時(shí)提供了大量素材和實(shí)例作表象支撐，但學(xué)生在概括乘法分配律的定義時(shí)，總不如概括交換律和結(jié)合律那么順暢和準(zhǔn)確。學(xué)生對(duì)于乘法分配律的認(rèn)識(shí)要達(dá)到抽象化和精致化，就需要在學(xué)習(xí)中有一個(gè)不斷積蓄的過程，要讓乘法分配律不再成為難點(diǎn)，就需要幫助學(xué)生建立乘法分配律的不同結(jié)構(gòu)，逐漸建立起意義層面上的理解。教師不能只把目光聚焦在知識(shí)的獲得上，更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)方法的獲得。課堂中要讓學(xué)生經(jīng)歷“建構(gòu)等式——猜想規(guī)律——驗(yàn)證規(guī)律——得出結(jié)論——再次猜想”的過程，以直觀、具體的形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材，便于學(xué)生理解、建模。

一、在感知中形成表象

1.課件出示圖①菜地。

青菜地長9米，寬6米；蘿卜地長9米，寬2米。

（1）你能算出兩塊菜地的總面積嗎？

（2）交流算法，板書兩種不同的計(jì)算方法。

（6+2）×9=72（平方米） 9×6+9×2=72（平方米）

比較：這兩位同學(xué)算兩塊菜地的總面積有什么不同嗎？

生：一個(gè)是把這兩塊地拼成一個(gè)新的長方形再算它的面積一個(gè)是把兩塊地的面積分別算出后再相加。

師：那有沒有相同的地方？

生：得數(shù)相同，都表示兩塊菜地的總面積。

師：說明左邊這個(gè)算式等于右邊這個(gè)算式。

板書得到等式：（6+2）×9=6×9+2×9

2.課件出示圖②和圖③兩塊菜地。

青菜地，長8米，寬6米；蘿卜地，長6米，寬3米。

圖②

青菜地，長8米，寬5米；蘿卜地，長7米，寬6米。

（下轉(zhuǎn)第18頁）

（上接第17頁）

圖③

（1）求出他們各自菜地的總面積。

圖②的面積：（8+3）×6=66（平方米） 8×6+6×3=66（平方米）

師：都等于66，看來我們也可以用“=”連接。

板書得到等式：（8+3）×6=8×6+3×6。

（2）思考：為什么圖③的兩塊菜地不能合起來算呢？8×5+7×6

（因?yàn)槠床怀梢粋€(gè)長方形，沒有一條共同的邊）

（3）提問：圖①和圖②的菜地總面積可以合起來算的原因是什么？（有一條邊相等）

小結(jié)：有一條邊是共同的，就可以把兩塊地的面積合著算。

【評(píng)析】運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說是相對(duì)抽象的，將長方形的面積計(jì)算與乘法分配律的知識(shí)融合在一起，從圖形出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，以計(jì)算長方形面積為載體，建構(gòu)等式，使學(xué)生在探究的過程中進(jìn)一步對(duì)這樣的等式有深入的了解，明確探究的方向。在學(xué)生交流討論圖③不能列出等式原因的過程中，讓學(xué)生體會(huì)乘法分配律中必須有相同因數(shù)這一重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、在理解中掌握內(nèi)涵

1.剛才我們寫出了幾組相等的算式，他們有什么共同的特點(diǎn)？

（6+2）×9=6×9+2×9

（8+3）×6=8×6+3×6

提問：這兩種算式相等你認(rèn)為是偶然的還是必然的？你還能舉出這樣的例子嗎？寫一寫，并驗(yàn)證一下左右兩邊是否相等。

2.這樣的例子舉得完嗎？有沒有符合這樣規(guī)律的算式但左右兩邊不相等？你有其他方法來說明這兩種算式必然相等嗎？

3.看來這樣的例子是寫不完的，那誰能寫出一個(gè)能包含所有這些例子的等式？

4.抽象規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把他們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加，這就是乘法分配律。

5.（板書：4×7+6×7）誰來結(jié)合這個(gè)算式說明下我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)乘法分配律是成立的。（課件出示下圖的3個(gè)素材）

4個(gè)7加上6個(gè)7合起來就是10個(gè)7，也就是（4+6）×7。

小結(jié)：看來，乘法分配律也可以用乘法的意義幾個(gè)幾來解釋，而且從右邊到左邊也是成立的，也就是a×c+b×c=（a+b）×c。

6.回顧舊知，深化學(xué)生對(duì)乘法分配律的認(rèn)識(shí)。

（1）回顧兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算（課件出示）。

（2）回顧長方形周長的計(jì)算（課件出示）。

【評(píng)析】在學(xué)生舉出大量等式的基礎(chǔ)上引導(dǎo)孩子進(jìn)行觀察猜想，并且從正反兩個(gè)方面對(duì)得出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，再從乘法的意義解釋乘法分配律，掌握其內(nèi)涵。抽象出結(jié)論后，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述其規(guī)律。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生自主地經(jīng)歷了乘法分配律的探究過程，抽象、概括的能力得到了發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生回顧乘法和長方形周長的計(jì)算，經(jīng)歷演繹推理的思維過程，溝通了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，又使數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的提升。

三、在練習(xí)中發(fā)展能力

1.運(yùn)用規(guī)律填空。

（42+35）×2=42×□+35×□

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□○（□○□）

2.初步拓展到兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘。

出示：（6-2）×9=□○□○□○□

師：這道算式，剛學(xué)的乘法分配律適用嗎？你有什么辦法來驗(yàn)證？

得出：乘法對(duì)加法的分配律可以推廣到乘法對(duì)減法的分配律。

3.再次拓展到三個(gè)數(shù)或更多的數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘。

猜想、驗(yàn)證：如果把乘法分配律中“兩個(gè)數(shù)的和”換成“三個(gè)數(shù)的和”、“四個(gè)數(shù)的和”或更多個(gè)數(shù)的和，結(jié)果還會(huì)不會(huì)不變？

【評(píng)析】通過題組的比較和練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用乘法分配律，避免生搬硬套，培養(yǎng)思維靈活性。將乘法分配律由“兩個(gè)數(shù)的和”拓展到了“兩個(gè)數(shù)的差”，再提出“多個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘”是否適用于乘法分配律的猜想，這是一種很有價(jià)值的思考。從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)?shù)淖儞Q、聯(lián)想，同樣可以形成新的想法，進(jìn)而形成新的結(jié)論，在類比推理中形成新的結(jié)論。