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      簡解北京初中數(shù)學(xué)競賽題

      2017-03-29 09:19:57王勇紅
      關(guān)鍵詞:奇偶競賽題奇偶性

      王勇紅

      題目 關(guān)于m,n的方程5m2-6mn+7n2=2 011是否存在整數(shù)解?若存在,請寫出一組解;若不存在,請說明理由.

      這是2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽(初二)試卷的第四大題,筆者在閱讀文[1]時發(fā)現(xiàn)它的分析和解法都過于復(fù)雜,讓人們感覺該題很難,其實(shí)該題并不難解,可以直接用整數(shù)的奇偶性來解答.

      解 因?yàn)? 011是奇數(shù),故m,n不能同奇偶.

      (1)當(dāng)m=2k,n=2s+1時(k,s為整數(shù)),

      則5m2-6mn+7n2=2011k(5k-3)+7s(s+1)-6ks=501.

      不論k,s的奇、偶性如何,k(5k-3)+7s(s+1)-6ks都是偶數(shù),故無整數(shù)解.

      (2)當(dāng)m=2k+1,n=2s時(k,s為整數(shù)),

      則5m2-6mn+7n2=2 01110k2+10k-6s+14s2-12sk=1 003,

      10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶數(shù),故也無整數(shù)解.

      故方程不存在整數(shù)解.

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