一類對(duì)合冪等元半環(huán)的刻畫

王紅喜

【摘要】 本文研究了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇，討論了該簇中成員的一些性質(zhì)，最后，給出了這類對(duì)合冪等元半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)刻畫.

【關(guān)鍵詞】 對(duì)合冪等元半環(huán)；簇；單演雙半格

一、引言與預(yù)備知識(shí)

在半環(huán)代數(shù)理論的研究中，對(duì)冪等元半環(huán)的研究是十分活躍的領(lǐng)域.近年來(lái)，許多專家學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究.Sen M.K等研究了滿足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇R + ○ D.對(duì)合半環(huán)在代數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)科學(xué)中占有重要地位.例如，在形式語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)理論中語(yǔ)言對(duì)合半環(huán)豐富了Kleene循環(huán)運(yùn)算理論.近年來(lái)，Dolinca I對(duì)對(duì)合半群和對(duì)合半環(huán)做了大量的研究.

本文給出了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇，討論了該簇中成員的一些性質(zhì)，最后，得到了這類對(duì)合冪等元半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)刻畫.

若非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算加法+和乘法·，其中（S，+）和（S，·）是半群，且滿足乘法對(duì)加法的分配律，即（a，b，c∈S），a（b+c）=ab+ac，則稱（S，+，·）是半環(huán).以下在不引起混淆的情況下，半環(huán)（S，+，·）簡(jiǎn)寫為S.

冪等元半環(huán)是指（S，+，·）是半環(huán)，且（a∈S），a+a=a，aa=a.

含對(duì)合運(yùn)算的半環(huán)（S，+，·，）是指（S，+，·）是半環(huán)，且有下式成立：

（a，b∈S）（a+b）=b+a，（ab）=ba，（a）=a.

即是S上的反自同構(gòu)，也可以看作半環(huán)上的一元運(yùn)算.把含對(duì)合運(yùn)算的冪等元半環(huán)簡(jiǎn)稱為對(duì)合冪等元半環(huán).

簇是關(guān)于同態(tài)像、直積和子代數(shù)封閉的代數(shù)類.所有對(duì)合冪等元半環(huán)形成的類是滿足一組給定等式的代數(shù)類，因而它就是一個(gè)簇.雙半格是滿足恒等式x+y≈y+x，xy≈yx的冪等元半環(huán).單演雙半格是滿足恒等式x+y≈xy的雙半格，左零半環(huán)是滿足恒等式x+y≈xy≈x的半環(huán).為了以下敘述的方便，本文將用I表示對(duì)合冪等元半環(huán)簇，用M表示對(duì)合單演雙半格簇，用Lz表示對(duì)合左零帶簇.兩個(gè)冪等元半環(huán)類V和W的Mal′cev積，記為V ○ W.它是滿足下面條件的冪等元S的全體：S上存在同余ρ使得S/ρ∈W和每個(gè)ρ-類都是S的子代數(shù)，且都在V中.

若（S，+，·）是半環(huán)，則D + 和D · 分別表示加法和乘法半群上的格林關(guān)系，若S∈I，易得D + 是S上的同余關(guān)系，而D · 不是S上的同余關(guān)系，但D + 和D · 分別是（S，+）和（S，·）上的最小半格同余.

二、主要結(jié)果

我們主要來(lái)研究滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán)，為此先來(lái)給出一個(gè)引理.

引理2.1 若對(duì)合冪等元半環(huán)S滿足附加恒等式

x+y≈xy， （1）

x+y+x≈x+y. （2）

則S滿足

x+xy+x≈y+yx+y≈y+x， （3）

x+xy≈xy+y≈xy. （4）

引理2.2 若S是滿足（3）與（4）的對(duì)合冪等元半環(huán)，則D + 是S上的最小單演雙半格同余.

定理2.3 若S是對(duì)合冪等元半環(huán)，則下列命題等價(jià)

（?。㏒滿足（1）與（2）；

（ⅱ）S滿足（3）與（4）；

（ⅲ）D + 是S上的最小單演雙半格同余，且每個(gè)D + -類滿足x+y≈xy≈x；

（ⅳ）S∈Lz ○ M（這里M是含對(duì)合運(yùn)算的單演雙半格）.

證明 由引理2.1知，（ⅰ）（ⅱ）成立.

下證（ⅱ）（ⅲ），由引理2.2知，D + 是S上的最小單演雙半格同余，只需證每個(gè)D + -類滿足x+y≈xy≈x即可.由D + 的定義得每個(gè)D + -類是矩形帶，又D + -類也滿足（3）與（4），故有

a+b=a+ab+a=ab+a=a+b+a=a，

ab=a+ab=a（a+b）=a（a+ab+a）=aa=a.

（ⅲ）（ⅳ）.

易知S上的對(duì)合運(yùn)算可誘導(dǎo)S/D + 上的對(duì)合運(yùn)算，即M是含對(duì)合運(yùn)算的單演雙半格.

（ⅳ）（?。?若S∈Lz ○ M，則存在δ∈con（S），使得S/δ∈M，且每個(gè)δ-類屬于Lz，設(shè)a，b∈S，則（ab）δ（a+b）δ（b+a）δ（ba），又由每個(gè)δ-類是左零帶，所以

ab+ba=ab，ab+bab=（a+b）ab=a+b，

由（ab）δ（ba），得（bab）δ（bba）.

從而（bab）δ（ba），babab=ba，bab=ba，

于是a+b=ab+bab=ab+ba=ab，a+b+b+a=a+b+a=a+b，

所以（?。┏闪?