an=man—1+k型遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求解

談文越

【摘 要】對于an=man-1+k型遞推數(shù)列，利用加權(quán)累加法、累乘法、差分法和換元法等方法求其通項(xiàng)公式，并探討了此類數(shù)列和差等比數(shù)列的交叉關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】遞推數(shù)列；通項(xiàng)公式；差等比數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊，內(nèi)容豐富、綜合性強(qiáng)，尤其是求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要觀察、歸納、轉(zhuǎn)化，是近年來高考和競賽的熱點(diǎn)之一。對于形如an=man-1+k（m，k為常數(shù)）的遞推數(shù)列，我進(jìn)行了思考分析、歸類整理和拓展比較，形成了一套行之有效的解題策略，下面通過實(shí)例具體說明。

例 已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an=2an-1+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

1.加權(quán)累加法

由an=2an-1+1，可得2an-1=22an-2+2，22an-2=23an-3+22，…，2n-2a2

=2n-1a1+2n-2。以上各式相加，即得an=2n-1a1+1+2+22+…+2n-2。把a(bǔ)1=3代入，整理可得an=2n+1-1。

點(diǎn)評：構(gòu)造加權(quán)累加，旨在消去數(shù)列的中間各項(xiàng)，從而可得通項(xiàng)an與首項(xiàng)a1、項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系。

2.累乘法

an=2an-1+1變形可得an+1=2（an-1+1），亦有an-1+1=2（an-2+1），…，a2+1=2（a1+1）。把上述n-1個(gè)式子相乘，可得an+1=2n-1（a1+1），故an=2n-1-1。

點(diǎn)評：累乘法思路清晰、計(jì)算量小，關(guān)鍵在于挖掘遞推數(shù)列的變形關(guān)系式，該問題可利用待定系數(shù)法解決。比如，設(shè)遞推數(shù)列an=man-1+k變形為an-λ=m（an-1-λ），由此可解出λ=。這一思想和有些教材中介紹的特征根法、不動(dòng)點(diǎn)法類似，可推廣應(yīng)用到形如an=man-1+k×bn的數(shù)列，設(shè)其可變形為an-λ·bn=m（an-1-λ·bn-1），由此可得λ=，此時(shí)，{an-λ·bn}是公比為m的等比數(shù)列，故an=λbn+（a1-λb）mn-1=a1mn-1+。

3.差分法

對于an=2an-1+1和an-1=2an-2+1，兩式相減可得an-an-1=2（an-1-an-2），由于{an-an-1}是首項(xiàng)為a2-a1=4、公比為2的等比數(shù)列，故an-an-1=4×2n-1，迭代可得an=2n+1-1。

點(diǎn)評：遞推數(shù)列an=man-1+k也是一階差等比數(shù)列，即數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列{an-an-1}是首項(xiàng)為a2-a1=d、公比為m的等比數(shù)列，利用差分法可推證該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+d。

4.換元法

對于an=2an-1+1，左右兩邊同時(shí)除以2n，可得=+，則新構(gòu)造的數(shù)列{}正是一階差等比數(shù)列，根據(jù)方法三的結(jié)論，可直接得出=2-，故an=2n+1-1。

點(diǎn)評：雖然上述求解略顯繁瑣，但對于an=man-1+k×bn型數(shù)列，利用換元法卻非常簡潔。由=+k×（）n可知，數(shù)列{}是一階差等比數(shù)列，其一階差分?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)為-、公比為，可推出=+（-），故通項(xiàng)公式為an=a1mn-1+，與方法二的結(jié)論完全相同。

an=man-1+k型遞推數(shù)列和等比數(shù)列、差等比數(shù)列密切相連，解題方法靈活多變，不同方法之間又互為運(yùn)用，并為更復(fù)雜的an=man-1+k×bn型遞推數(shù)列提供求解思路。

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