高中物理教學(xué)中微分思想的應(yīng)用

麻迎良

【摘 要】高中物理教學(xué)中，要給學(xué)生逐漸滲透等效思想、微分、逆向等多種思想。其中微分思想是一種非常重要的思想，理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式、瞬時(shí)速度、電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加等都要用到微分思想，但在教學(xué)中掌握好度，不可過(guò)深過(guò)難。

【關(guān)鍵詞】微分；思想；場(chǎng)強(qiáng)的求解；比值定義

微分是極限和積分的基礎(chǔ)，是解決變化量的有力工具，是構(gòu)成高等數(shù)學(xué)的主要主柱。在高中新課程中，數(shù)學(xué)科引入了《微積分初步》，所以在物理上，把以前避而不談的微分和極限的思想，也引了進(jìn)來(lái)，雖然不要求直接掌握，但為了學(xué)生發(fā)展的需要，采取了逐步滲透的方法，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)中“體會(huì)數(shù)學(xué)在研究物理問(wèn)題中的重要性”的精神，我認(rèn)為，高中物理中對(duì)學(xué)生滲透微分思想有以下意義：一是拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在高中數(shù)學(xué)中，常以物理問(wèn)題作為實(shí)例進(jìn)行分析，所以在物理學(xué)習(xí)中也更應(yīng)該突出數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。二是為了適應(yīng)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。因?yàn)檫M(jìn)入大學(xué)后，高等數(shù)學(xué)的第一部分內(nèi)容便是導(dǎo)數(shù)學(xué)和微積分，而在高中階段有了微分和積分的初步知識(shí)后，對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，降低了門檻。三是適應(yīng)學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和全面發(fā)展的需要。適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“關(guān)注學(xué)生終身發(fā)展，為科學(xué)觀和價(jià)值觀打下基礎(chǔ)”培養(yǎng)目標(biāo)。

微分和極限思想固然重要，但在教學(xué)中應(yīng)掌握好“度”，不可過(guò)深，但也不能回避。下面結(jié)合我的理解和教學(xué)中的實(shí)踐，談?wù)劯咧形锢斫虒W(xué)中物理知識(shí)和微分思想的結(jié)合。

一、用比值定義的物理量的數(shù)學(xué)意義

在高中物理中有很多物理量是用比值定義法定義的，如：速度v=、加速度a=、功率p=、電流強(qiáng)度I=、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=等，這些公式求出的值，嚴(yán)格地說(shuō)都是在t或Δt內(nèi)的平均值，當(dāng)Δt趨近于零時(shí)，上面各式求出的才是瞬時(shí)值，因此，我在講授平均速度與瞬時(shí)速度時(shí)，給學(xué)生指出，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)平均速度非常容易，只要測(cè)出一段時(shí)間內(nèi)的總位移即可，而瞬時(shí)速度是無(wú)法直接測(cè)量的，只能用極短時(shí)間內(nèi)的平均速度近似代替瞬時(shí)速度，高速公路上的雷達(dá)測(cè)速就是這個(gè)原理。

二、有些公式的適用條件的理解

像場(chǎng)強(qiáng)公式E==一般只能用于勻強(qiáng)電場(chǎng)，但也可給學(xué)生滲透：當(dāng)Δd趨近于零時(shí)，公式E==求出的就是某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，所以此公式也適合非勻強(qiáng)電場(chǎng)，因此在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中可用此公式定性地進(jìn)行判斷。再如磁感應(yīng)強(qiáng)度公式：B=一般也只適用于勻強(qiáng)磁場(chǎng)，因?yàn)閷?dǎo)體所在區(qū)域各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有相同時(shí)才能用此公式，但當(dāng)導(dǎo)線非常短時(shí)（也即電流元），此公式仍成立，并且求出的是電流元所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

三、用微分和對(duì)稱思想求解非點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)

我們學(xué)過(guò)的特殊電場(chǎng)有點(diǎn)電荷的電場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)。而當(dāng)一個(gè)電場(chǎng)是任意帶電體形成的電場(chǎng)時(shí)，可將帶電體分成很多等份，每一份就是一個(gè)點(diǎn)電荷，然后用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式求出每一份的場(chǎng)強(qiáng)，再結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行合成。

例：如圖所示，一個(gè)半徑為r的圓環(huán)均勻分布著電荷Q，求圓環(huán)的中軸上與圓心O點(diǎn)相距L遠(yuǎn)的P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。

解：應(yīng)題目中沒(méi)有交待L>r，所以圓環(huán)不能當(dāng)作點(diǎn)電荷，所以不能直接求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，只能將圓環(huán)分成n份，當(dāng)n很大時(shí)，每一份就可看作點(diǎn)電荷。取上與O點(diǎn)對(duì)稱的兩份M、N。它們?cè)赑點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EM和EN大小相等，如圖。

EM=EN=K=K，它們的合場(chǎng)強(qiáng)為

E1=2×EMcosθ

則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E=E1=Kcosθ=K

用這個(gè)方法，同樣可求解不是質(zhì)點(diǎn)可均勻球體情況下的萬(wàn)有引力問(wèn)題。

四、用微分和積分思想推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，并拓展

勻速直線運(yùn)動(dòng)中，因?yàn)樗俣炔蛔?，所以位移x=vt，在v-t圖上，x等于圖象與兩坐標(biāo)軸所圍矩形的面積，如圖。

勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，速度是變化的，v-t圖如圖，如圖把時(shí)間t分成n等份，則Δt內(nèi)的運(yùn)動(dòng)如果看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，則每一段時(shí)間內(nèi)的位移（小矩形的面積）近似等于小梯形的面積，如果n越大，Δt越趨近于零，兩者越接近相等，再積分，就得出V-t圖上的面積也等于位移x。

x=（v0+v）t×=v0t+at2。

拓展一：根據(jù)以上微分和積分思想，其它任意變速運(yùn)動(dòng)中，V-t的面積都等于這段時(shí)間內(nèi)的位移。

拓展二：根據(jù)W=FX，W等于F-X圖像的面積。

拓展三：根據(jù)q=It，q等于I-t圖像的面積。

拓展四：根據(jù)I=Ft，I等于F-t圖像的面積。

拓展五：根據(jù)Δv=aΔt，Δv等于a-t圖像的面積。

例：（2008年寧波市高二物理競(jìng)賽）一物體初速V0=5m/s，作變加速運(yùn)動(dòng)，加速度與時(shí)間的關(guān)系為a=3t+2m/s2，則該物體的速度與時(shí)間的關(guān)系為：_________________。

解：作出a-t圖如圖，則t秒內(nèi)的速度增量Δv為圖像的面積：ΔV=（3t+2+2）×t×=t2+2t，則t秒末的速度為v=v0+Δv

v=t2+2t+5。

總之，高中階段，物理教學(xué)中只能將微積分思想簡(jiǎn)單滲透，用微分和積分的思想解題，不要求直接用微積分解題，否則，只會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。