李祖興

這次去田陽高級中學(xué)（以下簡稱田高）與該校黃美仙老師同課異構(gòu)，是承載了精準(zhǔn)幫扶、探索課改背景下備考復(fù)習(xí)課教學(xué)改革的使命的，但是，到達(dá)田高之前，田高學(xué)生的基礎(chǔ)怎樣，課堂難度如何把握，筆者心里確實沒底.為了能上出各自的風(fēng)格，我們雙方在課前也不宜就課程作過多溝通，課前溝通僅限于確定上什么內(nèi)容和使用什么教輔資料.

一、同課異構(gòu)備考復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計思路及教學(xué)過程

我們上的是文科班的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.相對來說，文科生長于形象思維，短于邏輯思維，而數(shù)學(xué)又是一個邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科.怎樣講授才易于讓文科生接受和掌握，怎樣發(fā)揮文科生的長處，這是本節(jié)課要著重解決的兩個問題.

按照該校的教學(xué)進(jìn)度，正好上到立體幾何《空間垂直的判定和性質(zhì)》.幾何圖像有很好的直觀性，便于發(fā)揮文科生長于形象思維的特點.為了體現(xiàn)普遍性，在授課過程中，筆者全部使用課本中的例題，不再另外添加和更換.

高考備考復(fù)習(xí)課教學(xué)的基本套路：復(fù)習(xí)相關(guān)知識及相關(guān)方法→講解例題→總結(jié)方法和規(guī)律→課堂課后訓(xùn)練.以上幾個教學(xué)環(huán)節(jié)，一環(huán)扣一環(huán)，從講到練，哪一個環(huán)節(jié)都不能馬虎.針對本課的教學(xué)內(nèi)容，筆者決定重點處理好下面幾個學(xué)習(xí)方法.

（一）引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用模型記憶相關(guān)定理，指點學(xué)生運(yùn)用解題模式時關(guān)注關(guān)鍵細(xì)節(jié)

垂直關(guān)系屬于空間中位置關(guān)系的特殊情況，在生活實際和工程技術(shù)中廣泛存在并有著廣泛的應(yīng)用.在立體幾何中，很多幾何體的體積、面積、角度、距離等的計算都要用到垂直關(guān)系，因而，垂直關(guān)系是立體幾何中最重要的關(guān)系之一.

空間中的垂直關(guān)系涉及線線垂直、線面垂直和面面垂直三種關(guān)系.通常情況下，在立體空間，要判定線線垂直，有時要先判定線面垂直；要判定線面垂直，則要先判定另外的線線垂直；要判定面面垂直，則要先判定線面垂直.三種垂直關(guān)系的判定方法較多，且都有一定難度，就算是理科生也不易掌握.以往各種資料和很多一線教師都習(xí)慣于編成順口溜讓學(xué)生記憶，如：線線垂直則線面垂直，線面垂直則線線垂直；線面垂直則面面垂直，面面垂直則線面垂直；等等.但是，實踐證明，學(xué)生雖然能背得順口，卻不能把握知識的要領(lǐng).究其原因，實際應(yīng)用有難度是一個方面，缺少必要的圖像直觀也在一定程度上阻礙了文科生的準(zhǔn)確認(rèn)知.為了突破這個教學(xué)難點，我根據(jù)圖像直觀性強(qiáng)及文科生長于形象思維的特點，選擇了用圖像記憶定理的教學(xué)方法.

關(guān)于線面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線就垂直于這個平面.用圖像表示，如圖1.

在圖1中，平面α內(nèi)的兩條相交直線突出地表示了“一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線”的特點.學(xué)生一經(jīng)理解，無須文字，對圖像所包含的意思也會一目了然，因而極易掌握.

關(guān)于線面垂直的性質(zhì)定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么，這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線.用圖像表示，如圖2.

在圖2中，平面α內(nèi)只有一條直線，明顯地表示了“線面垂直則線線垂直”這個要點.學(xué)生一經(jīng)理解，見圖就能生義，知道圖像的內(nèi)涵.

關(guān)于面面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么，經(jīng)過這條直線的任何一個平面都垂直于這個平面.用圖像表示，如圖3.

關(guān)于面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么，在其中一個平面內(nèi)且垂直于兩個平面的交線的直線垂直于這個平面.用圖像表示，如圖4.

圖像識記，無須繁復(fù)的文字表述，直觀簡明，便于理解，也便于識記，而且還為各種變形的形式提供了最直觀簡明的基本模型.

其實，關(guān)于線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定方法遠(yuǎn)不止上面列舉的這些，這些垂直的判定和性質(zhì)以及各種判定方法等合在一起，還是一個不小的系統(tǒng)，以學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)來說，如果僅用順口溜文字記憶，反而容易導(dǎo)致知識點之間的相互干擾，配上圖形以后，結(jié)果就大不一樣了，從上面幾例就可以感受到這一點.

當(dāng)然，如果僅僅這樣羅列定理，盡管配合了直觀的模型，其實還是一種無序的堆砌，要使學(xué)生更好地掌握和應(yīng)用相關(guān)的知識，必須有一個總綱，這是不可或缺的兩個細(xì)節(jié)：第一，在空間，線面垂直、面面垂直最終都要歸結(jié)到線線垂直的判定，因而，線線垂直的判定是關(guān)鍵；第二，空間中也有平面圖形，因此，對于同在一個平面內(nèi)的兩條直線的垂直的判定，平面中的判定方法可以照搬過來，如等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊、直角三角形兩直角邊互相垂直等，都是淺顯而又常用的結(jié)論.第一點主要為各種垂直的判定指明方向，給出解決問題的思路，有效降低難度，即無論是哪一種垂直的判定，最終都要歸結(jié)到線線垂直的判定上；第二點主要用于解決思維的慣性問題，讓學(xué)生明確，在空間中也有平面情形，不可對空間中的平面圖形視而不見.有了這兩點，學(xué)生做起題來就會有章可循，目標(biāo)明確，從而減少盲目性.

（二）執(zhí)果索因和化難為易是解決復(fù)雜問題的重要思想方法

俗話說，萬事開頭難.這個開頭包括中間過程每一個問題的切入點，而開頭難多數(shù)情況下是方向不明所致.方向不明，便無從入手.因此，引導(dǎo)學(xué)生弄清思考的方向、尋找解決問題的切入點是解題的關(guān)鍵.筆者決定用下面例題的解決過程，引導(dǎo)學(xué)生掌握執(zhí)果索因的解題方法.

例1 如圖5，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥底面ABCD.

（1）求證：AB∥平面PCD；

（2）求證：BC⊥平面PAC.

以下是教學(xué)片段實錄.

師：本節(jié)主要是解決垂直的判定問題，且第一問不算難，同學(xué)們課后自行解決就可以了，在此，我們重點解決第二個問題.請問，要證明直線BC⊥平面PAC，只要證明什么就可以了？

生：只要證明BC垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線就可以了.

師：哪兩條相交直線？

生：PA和AC.

師：（板書“①BC⊥PA；②BC⊥AC”）你們動筆，逐條來證明一下.（一生上講臺在黑板上證明，過程略；師解釋黑板上的做法和要點后開始提問）黑板上的做法中，證明①用了什么方法？

生：用了線面垂直的性質(zhì)定理.

師：證明②用了什么方法？

生：用了勾股定理（注：用勾股定理中計算的方法證明垂直關(guān)系）.

這個教學(xué)過程旨在把學(xué)生的思維逐步引導(dǎo)到要解決的基本問題上，方向直指①和②.實際的進(jìn)程是，這個方向一旦明確了，余下的證明過程學(xué)生就能自行完成了.

當(dāng)然，本例難度不大，但學(xué)生在解題前后的表現(xiàn)說明，學(xué)生能順利地自行完成，前面方法與細(xì)節(jié)的梳理很重要，而解題過程中方向的引導(dǎo)起到了至關(guān)重要的作用，這個方向引導(dǎo)，便是執(zhí)果索因的方法引導(dǎo).執(zhí)果索因的主要套路：要解決問題A，需先解決問題B；而要解決問題B，又需要先解決問題C；等等.這就好比順藤摸瓜，抓住了藤，就能順著藤一步一步地摸下去，例1便是順著執(zhí)果索因的“藤”摸到了解決問題①和②的“瓜”.

執(zhí)果索因的方法不僅容易把握問題方向，而且另有一個重要作用.我們再看一個例題.

例2 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點，證明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

例2中，對于（1）的解題思路引導(dǎo)與例1相仿，在此不再重復(fù).針對（2），要證明PD⊥平面ABE，須先證明PD垂直于平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，從最簡的角度審視，這兩條直線應(yīng)是AB和AE；而要證明PD⊥AE，必須先證明AE⊥平面PCD，從而必須先證明AE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線，等等.顯然，這里出現(xiàn)了較多的轉(zhuǎn)換過程，解題的難度加大了，學(xué)生明顯露出了困惑的神情.怎樣引導(dǎo)學(xué)生克服這個難點呢？以下是片段實錄.

師：要證PD⊥平面ABE，應(yīng)先證明什么？

生：先證明PD垂直于平面ABE內(nèi)的兩條相交直線（判定定理）.

師：哪兩條？（生思考良久后試探性地說出AB和AE；師板書“①PD⊥AB，②PD⊥AE”）怎樣證明①呢？

生：（思考良久）先證明AB⊥平面PAD.（師板書“③AB⊥平面PAD”）

師：怎樣證明②呢？

生：（思考良久，有學(xué)生輕聲說出）先證明AE⊥平面PCD.（師板書“④AE⊥平面PCD”）

師：好！只要證明了③和④，就可以解決本題了.現(xiàn)在你們可以仿照例1的方法來完成③和④的證明了.

本例有較大難度，且學(xué)生是文科生，有了上面的引導(dǎo)，雖然費(fèi)了一些周折，但大多數(shù)學(xué)生最終還是順利完成了證明過程.該解題過程不僅用到了執(zhí)果索因的方法，而且突出了另一種重要的數(shù)學(xué)思想，即化難為易的思想.化難為易，就是通過一定的變換，把原來較難解決的問題轉(zhuǎn)化為另外一個或多個比較容易解決的問題，然后再求解.化難為易的思想方法是解決復(fù)雜問題時常用的一種思想方法.

題目之所以難，往往是因為綜合了兩個或兩個以上的知識點，或是條件和結(jié)論之間須經(jīng)多次轉(zhuǎn)換后才能連通起來.但是，不管是哪種情況，中間過程要解決的問題都不止一個，有時甚至是多個.問題越多，或是過程轉(zhuǎn)換越多，條件與結(jié)論之間的聯(lián)系就越不明顯，學(xué)生就越難把握其中的邏輯關(guān)系.例2（2）中的條件和結(jié)論的關(guān)系就很不明顯，要解決的問題也不只一個，但是，先把原問題“化難為易”分解出問題①和②，進(jìn)而分解出問題③和④，然后逐一解決這些簡單的問題，便可最終破解以上困局.這里的分解過程，就是把要解決的復(fù)雜問題分解為簡單問題的過程.當(dāng)一個又一個簡單問題從復(fù)雜的問題中拆解出來之后，問題背后的邏輯關(guān)系也就慢慢顯現(xiàn)了出來，整個解題思路也就貫通了.

高三學(xué)生基本都有了一定的知識和方法儲備，缺少的往往是把握這些知識和方法背后嚴(yán)密邏輯的能力.上面兩例對于執(zhí)果索因和化難為易思想方法的運(yùn)用，無疑為該校師生提供了一個范例.但是，筆者在課后一直糾結(jié)，從一直執(zhí)教理科班數(shù)學(xué)課程，到這次冷不丁上了一堂文科班的復(fù)習(xí)課，而且是上優(yōu)秀生源流失不少后的文科班的課，盡管筆者對本課內(nèi)容的難易程度、講解詳略、節(jié)奏快慢等都盡量做出了調(diào)整，但與實際還是有所偏離，比如在講解例2（2）時，學(xué)生的回答出現(xiàn)了明顯的遲疑，目光變得迷惘.顯然，設(shè)置這樣難度的問題對學(xué)生來說有較大困難，這是筆者預(yù)先沒有想到的.這是垂直關(guān)系的第一課時，像例2（2）這樣的難度放在第一課時確實是難了點兒.由此筆者突然頓悟：要使課堂高效，教學(xué)內(nèi)容的難度一定要切合學(xué)生的實際；而要做到這一點，教師必須在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，盡可能地站在學(xué)生的角度去思考.教師只有從學(xué)生理解和思考問題的角度去分析和預(yù)設(shè)問題，才能從學(xué)生的角度感受到問題的“真實難度”，才能真正知道學(xué)生迷茫的根源，也才能夠在真正的關(guān)節(jié)點上為學(xué)生指點迷津、指引方向.我想，學(xué)生聽很多老師講課時感到稀里糊涂、不得要領(lǐng)，大概就是這個教師“不解學(xué)情”的原因在作怪.課后有一位當(dāng)?shù)氐睦蠋熆湮抑v得真細(xì)，這正反映了這種狀態(tài)：我們的教師常常覺得問題簡單，以為學(xué)生已經(jīng)掌握，因而復(fù)習(xí)時不僅不細(xì)，甚至只是形式上略略地提一下，這對學(xué)生的復(fù)習(xí)來說是毫無益處的.比如筆者對已學(xué)定理的梳理和點撥，如果不那么詳細(xì)，如果不配以直觀圖形幫助學(xué)生理解，學(xué)生對例1的解答就未必有那么順暢.

二、數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)備考建議

因為對多數(shù)薄弱學(xué)校的實際情況并不了解，關(guān)于學(xué)科備考，筆者只能憑感受和經(jīng)驗，簡單談?wù)勛约旱膸c見解，供大家參考.

（一）以研促教，提高課堂效率

教師幫助學(xué)生復(fù)習(xí)的主陣地在課堂，課堂教學(xué)是影響復(fù)習(xí)效果至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié).筆者感到，如何不斷提高薄弱學(xué)校教師的業(yè)務(wù)水平來保證課堂教學(xué)質(zhì)量，確實是一個非常突出的問題.

筆者這里所說的研究，并不是通常大家理解的要達(dá)到一定的知識和能力水平才能進(jìn)行的研究，而是希望教師們能夠留心琢磨教學(xué)中遇到的每一個細(xì)節(jié)，如內(nèi)容怎樣選擇、講解怎樣精練、節(jié)奏是否符合學(xué)生實際、難度如何把握、課后練習(xí)如何配備才更有效等，這些是我們每天每節(jié)課上都會遇到的問題.教師琢磨問題多了，就會逐漸找出更多更好的方法，不斷提高課堂教學(xué)效率.當(dāng)然，在很多情況下，這樣的研究是不自覺的，甚至是無意識的.此外，學(xué)校也可以多組織一些研究課，多開展一些教研活動，引導(dǎo)教師相互取長補(bǔ)短，學(xué)習(xí)借鑒他人的經(jīng)驗。長此以往，便會在校內(nèi)形成一種教研風(fēng)氣，這種風(fēng)氣反過來會促進(jìn)教師的深度思考和教學(xué)水平的不斷提高，進(jìn)而形成教學(xué)與教研的良性循環(huán).

（二）編寫適合本校的資料

講授內(nèi)容、練習(xí)資料和測試題目等，過于簡單達(dá)不到提高的目的，難度過大則無疑廢料廢題，無論哪一種情況，對學(xué)生來說都是無益的，最可怕的是白白浪費(fèi)了學(xué)生寶貴的時間.有句老話說得好，適合的才是最好的.學(xué)生的情況，本校的老師最清楚，因此，所用資料只有本校老師編寫的才應(yīng)該是最適合的.如果過多地依賴外來的資料，就容易造成學(xué)生長期得不到恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練，復(fù)習(xí)效果就會在無形中大打折扣.當(dāng)然，這不是說所有資料都須教師親自編寫.但是，本校教師編寫資料確實極其必要，特別是訓(xùn)練題和測試題.

（三）強(qiáng)化專項訓(xùn)練

數(shù)學(xué)高考題的題型有三種，選擇題、填空題和解答題.由于選擇題和填空題只要結(jié)果，不需要寫出過程，因而，也就有了一些異于解答題解題過程的方法，甚至有時可以用極其特殊的解法，即“小題不要大做”.這里所說的“小題”，就是指選擇題和填空題，“大做”基本上就是指與解答題一樣的做法.

有些小題沒有特殊解法，只能大做，但每題都大做肯定會出現(xiàn)一連串的問題，一是花費(fèi)較多的時間，二是因花費(fèi)了時間而引起心理的焦慮，三是因心理焦慮而影響到解題思路，所謂越急越亂就是如此.

在很多情況下，由于小題的難度確實不是很大，教師很多時候都是由著學(xué)生自行完成，或者進(jìn)行的針對性訓(xùn)練不多，這都會造成學(xué)生小題小做的意識不濃、小題小做的方法不多等.要改變這種情況，教師在引導(dǎo)復(fù)習(xí)的過程中應(yīng)小題“大做”，帶領(lǐng)學(xué)生大張旗鼓地做起“小題小做”的訓(xùn)練來.

相應(yīng)地，解答題也應(yīng)有專項的強(qiáng)化訓(xùn)練，時間和方式則須根據(jù)本校情況而定，在此不再贅述.

（責(zé)編 白聰敏）