湖北省遠(yuǎn)安縣第一高級中學(xué)(444200) 王康垣 王艷

初探三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的基本活動經(jīng)驗

湖北省遠(yuǎn)安縣第一高級中學(xué)(444200) 王康垣 王艷

1.問題提出在研究空間垂直關(guān)系問題中獲得的以線面垂直為樞紐的三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗.

2.內(nèi)容界定

空間中的垂直關(guān)系是立體幾何中重要的位置關(guān)系之一,線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來解決.其關(guān)系為：線線垂直?線面垂直?面面垂直.這三者之間的關(guān)系非常密切,可以互相轉(zhuǎn)化,從前面推出后面是判定定理,而從后面推出前面是性質(zhì)定理,而線面垂直在三者中充當(dāng)著承上啟下的作用.

3.理由說明

圖1

題目1(2008年高考文科湖北卷18題)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1

(I)求證：AB⊥BC

(II)略.

圖2

解析如右圖,過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D,則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,所以AD⊥BC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,又AB?側(cè)面A1ABB1,故AB⊥BC.

圖3

評析此題需由已知的面面垂直證得線線垂直,中間必須要經(jīng)過線面垂直這一環(huán)節(jié),所以解析中的“作AD⊥A1B,得到AD⊥平面A1BC”就成了必經(jīng)之路.

(2)重要性三種垂直之間的轉(zhuǎn)換充分體現(xiàn)了這樣一個動態(tài)的過程,我們在“轉(zhuǎn)”的過程中需要不斷明確轉(zhuǎn)化的歸屬、去向、目標(biāo)、目的地,從而以線面垂直為樞紐,實現(xiàn)三種垂直關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化.

題目2 (人教版必修2第二章2.3.1練習(xí)1)在三棱錐V-ABC中,V A=V C,AB=BC,求證：V B⊥AC.

解析如圖,取AC的中點為M,連結(jié)V M、BM.由V A=V C,AC的中點為M,故V M⊥AC.同理,BM⊥AC.又V M∩BM=M,所以AC⊥面V BM,又V B?面V BM,所以V B⊥AC.

2005年，紐約南區(qū)的聯(lián)邦檢察長發(fā)出傳票，指稱美國國會多數(shù)黨領(lǐng)袖比爾·傅利斯特 (Bill Frist)因涉嫌股票內(nèi)線交易而遭調(diào)查。傅利斯特出身心臟外科醫(yī)生，潔身自好，在朝野上下一度口碑甚佳，從政后也面臨著如何出污泥而不染的考驗。盡管長達(dá)18個月的外查內(nèi)調(diào)后來無疾而終，這一事件對國會參、眾兩院的議員們都是一記不容忽視的警鐘。

圖4

點評(1)證明線線垂直往往化為線面垂直來解決,也即首先驗證直線垂直于平面,從而得到這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.這是證明線線垂直的一條有效途徑.(2)本題的轉(zhuǎn)化過程：線線垂直→線面垂直→線線垂直.

題目3(人教版必修2第二章2.3.2例3)如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點,求證：平面PAC⊥平面PBC.

圖5

解析由PA垂直于⊙O所在的平面,BC?面⊙O,所以PA⊥BC,又在⊙O中AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC,而PA∩AC=A,所以BC⊥面PAC,又因為BC?面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.

評析由線線垂直?線面垂直?面面垂直可知,要證面面垂直需要從線面垂直入手要加以解決,即通過面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂直,則這兩個平面互相垂直.而要得到線面垂直,又須從最基本的線線垂直入手來得到.

題目4(2016全國卷I文科第18題)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.

圖6

(I)略;

(II)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由).

分析探尋點E在平面PAC內(nèi)的正投影F,即有EF⊥PAC.如何得到線面垂直?應(yīng)該說有兩種途徑,一是由線線垂直得到線面垂直;二是由面面垂直得到線面垂直關(guān)系.由本題條件由面面垂直得到線面垂直是一種可行的思路,即尋找一個平面經(jīng)過點E且與面PAC垂直,由已知條件易探尋出面PBA與面PAC垂直.當(dāng)思考到這一點,我們要注意面面垂直向線面垂直轉(zhuǎn)化過程中的條件：找交線、作交線的垂線等.故通過作EF⊥PA即探尋出點F的位置.

解析在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

評析此問得分較低,主要原因是學(xué)生對該題設(shè)問方式的創(chuàng)新性(通過作圖)不適應(yīng)導(dǎo)致.但究其根本原因,還是在關(guān)鍵時候?qū)θN垂直的“轉(zhuǎn)換不靈”導(dǎo)致,此題只需抓住“PB⊥面PAC,通過平移(作平行線)的方式轉(zhuǎn)換到EF⊥面PAC”.

綜上所述,線面垂直“肩負(fù)著者上下起承轉(zhuǎn)換”的重任,是空間三種垂直關(guān)系的中樞,學(xué)生一旦形成“以線面垂直為中軸,尋找其它垂直”的經(jīng)驗,就可在垂直關(guān)系的證明、空間距離、幾何體體積等問題上大展身手.