景永強(qiáng)，曹詠弘，李阿娜

(中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051)

基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型

景永強(qiáng)，曹詠弘，李阿娜

(中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051)

研究了在摩擦市場因素的條件下基于可能性分布理論的組合投資問題，提出了基于摩擦市場因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值理論的可能性組合投資模型。實(shí)證研究結(jié)果表明：摩擦市場因素的變動對組合投資風(fēng)險(xiǎn)具有一定的影響，基于摩擦市場因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值理論的可能性組合投資模型更符合實(shí)際的投資風(fēng)險(xiǎn)情況。本研究為投資者選擇更適合的投資策略提供參考。

可能性理論；摩擦因素；風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；組合投資

1952年馬克維茨提出了基于均值-方差的組合投資模型，對組合投資模型進(jìn)行了定量的研究[1-2]。而使用均值與方差度量組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)，只是通過方差來度量風(fēng)險(xiǎn)的波動情況，不能將波動的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行具體的定量化，因此學(xué)者們相繼提出了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)模型及條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)模型[3-4]。目前，大部分的組合投資模型研究是基于概率分布進(jìn)行的，但在實(shí)際的投資市場存在很多不確定性的因素，通過概率分布研究得到的誤差較大，因此很多學(xué)者基于可能性分布研究金融市場的不確定性，提出了基于可能性分布理論的組合投資模型[5-15]。然而，國內(nèi)外學(xué)者都是基于單一的影響因素研究可能性理論下的組合投資模型，并沒有考慮在綜合各個影響因素情形下的組合投資模型，而組合投資的收益受到系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的雙重影響，因此本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，綜合考慮風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值因素和摩擦市場因素，提出了一個在摩擦市場條件下的帶有風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的可能性組合投資模型。由于該模型中加入了摩擦市場因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束，可以更好地描述投資市場的環(huán)境和投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。最后通過選取股票市場的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，驗(yàn)證了該模型的有效性，并且通過與不帶摩擦市場因素的模型相比較，表明市場摩擦因素對組合投資風(fēng)險(xiǎn)具有一定的影響。

1 可能性的定義及性質(zhì)

1.1 可能性均值與方差的定義及性質(zhì)

定義1[5]設(shè)A是一個模糊數(shù)，A的λ截集表示為Aλ=[a-(λ),a+(λ)]，則A的可能性均值可以表示為

A的可能性方差可表示為

定義2[5]如果A和B是兩個模糊數(shù)，其截集分別為Aλ=[a-(λ),a+(λ)]，Bλ=[b-(λ),b+(λ)]，則A和B的可能性協(xié)方差可以表示為

如果A和B表示兩個模糊數(shù)，k表示一個實(shí)數(shù)，則模糊數(shù)的均值滿足[6]：

模糊數(shù)的方差滿足[6]：

1.2 可信性風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)的定義及性質(zhì)

定義3[7]設(shè)A是一個具有隸屬函數(shù)μ(x)模糊數(shù)，t表示一個實(shí)數(shù)，S表示任意的實(shí)數(shù)集，則{A≤t}的可信性測度可表示為

其中：

VaR(value at risk)即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，表示投資者在給定置信水平b的情形下，在Δt的持有期內(nèi)的投資組合的最大損失值。假定Δp表示在持有期內(nèi)投資組合的價(jià)值改變量，則在概率測度的理論下，VaR的定義為[8]：

prob(Δp≤VaR)=1-b

通過概率測度下的VaR定義可推出在可信性測度的條件下VaR的定義，可表示為：

Cr(ΔA≤VaR)=1-b

其中：Cr表示可信性測度；b為置信水平；ΔA表示在持有期Δt內(nèi)投資組合的價(jià)值改變量。

2 基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型

實(shí)際的金融市場中存在著很多市場摩擦因素，例如股票的紅利。投資者在進(jìn)行股票資產(chǎn)投資時(shí)，會產(chǎn)生一定的成本費(fèi)用，交易的過程中會產(chǎn)生印花稅及其他費(fèi)用等，這些因素在投資決策中具有很大的影響作用。因此，針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡性投資者，考慮基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型具有更實(shí)際的指導(dǎo)意義。

本文將證券市場中的紅利、稅收和資產(chǎn)的交易費(fèi)用作為摩擦因素，在此情形下構(gòu)建可能性組合投資模型。假設(shè)投資總資產(chǎn)為1，投資于n個風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，設(shè)ri為第i個資產(chǎn)的收益率，ri是一個模糊數(shù)，di表示第i種資產(chǎn)的紅利率，t1為資本收入稅率，t2表示基本收入稅率。采用絕對值型的交易費(fèi)用函數(shù)，這樣投資的資產(chǎn)組合其總的交易費(fèi)用可表示為

組合投資總的收益可表示為

則組合投資收益的可能性均值和方差可表示為：

因此，本文在基于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型的基礎(chǔ)上，通過綜合考慮市場中的摩擦因素，構(gòu)建了基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型，可表示為：

其中：L表示期望收益率；b表示置信水平；c(x)表示交易費(fèi)用函數(shù)；Cr表示可信性測度。基于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型可表示為：

基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的可能性均值-方差模型，在給定收益率模糊變量的可能性分布情形下，可得到一個確定性的組合投資模型。假定資產(chǎn)的收益率ri是鐘形模糊數(shù)，則ri～B(μi,σi)，收益率ri的隸屬函數(shù)可表示為

其中b>0.5。

在鐘形可能性分布下，組合投資收益的可能性均值和方差可表示為：

針對模型中的非光滑的交易費(fèi)用函數(shù)，令

則交易費(fèi)用函數(shù)可表示為

其中ui滿足

則在鐘形可能性分布情形下，基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型可表示為：

其中：L表示期望收益率；b表示置信水平；c(x)表示交易費(fèi)用函數(shù)。該模型為非線性約束規(guī)劃模型，可通過Matlab中非線性約束優(yōu)化方法進(jìn)行模型的求解。

3 實(shí)證分析

對本文提出的在鐘形可能性分布情形下，基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)證分析，并假設(shè)投資過程中不能賣空。由于投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡性，所以在上證A股和深證A股市場中分別選取8只經(jīng)營業(yè)績較好的股票進(jìn)行實(shí)證研究，股票名稱及代碼為:國電南自(600268)、宏發(fā)股份(600885)、東方通信(600776)、華海藥業(yè)(600521)、江鈴汽車(000550)、國際實(shí)業(yè)(000159)、金科股份(000656)、山大華特(000915)。收集這8只股票從2011年1月1日—2015年12月31日的月平均收益率(數(shù)據(jù)來源于國泰安CSMAR數(shù)據(jù)庫),通過每種資產(chǎn)的歷史資產(chǎn)收益率的數(shù)據(jù)，計(jì)算每只股票的期望和標(biāo)準(zhǔn)差,如表1所示。

圖1 不同期望收益率下的組合投資風(fēng)險(xiǎn)值Fig.1 Portfolio risk value under different expected return

1)為了驗(yàn)證模型的有效性和摩擦市場的因素對模型的影響，通過設(shè)定不同的預(yù)期收益率，在資產(chǎn)初始比例(0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125)，VaR為0.1，置信度為95%，交易費(fèi)用比例為0.3%，紅利率為0.1%，稅率t1、t2分別為0.3%和0.2%的條件下，通過Matlab軟件分別對基于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型、基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型進(jìn)行求解。 將基于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型、基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型分別記作P-VaR模型和CP-VaR模型，所得結(jié)果如表2和圖1所示。

表1 資產(chǎn)的期望與標(biāo)準(zhǔn)差

表2 不同期望收益率下的組合投資風(fēng)險(xiǎn)值

由表2和圖1可知：隨著投資者預(yù)期收益率的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)在不斷增大，符合收益越大、風(fēng)險(xiǎn)越大的市場規(guī)律，并且CP-VaR模型比P-VaR模型的風(fēng)險(xiǎn)值較大。由于摩擦因素的存在會降低組合投資的收益，導(dǎo)致組合投資的風(fēng)險(xiǎn)增加，因此具有較大風(fēng)險(xiǎn)的CP-VaR模型能夠提供更加符合實(shí)際的投資決策。

2)為了研究市場摩擦因素的變動對組合投資風(fēng)險(xiǎn)的影響，設(shè)定不同的交易費(fèi)用比例。在資產(chǎn)初始比例為(0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125,0.125)，VaR為0.1，置信度為95%，預(yù)期收益率為6%，紅利率為0.1%，稅率t1和t2分別為0.3%和0.2%的條件下，通過Matlab軟件對基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型進(jìn)行求解，所得結(jié)果如表3所示。

由表3可得:隨著資產(chǎn)交易費(fèi)用比例的增大，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)值在不斷增大。在期望收益率的約束下，當(dāng)交易費(fèi)用增加時(shí)，投資資產(chǎn)將配置于高風(fēng)險(xiǎn)的股票資產(chǎn)中，可提高組合投資的整體收益率，符合“高風(fēng)險(xiǎn)、高收益”的市場規(guī)律，驗(yàn)證了該模型的有效性，表明了市場摩擦因素的變動對組合投資的風(fēng)險(xiǎn)具有一定的影響。而且該模型綜合考慮了摩擦市場因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值因素，投資者可根據(jù)自身投資的實(shí)際情況選擇合適的參數(shù)，得到最優(yōu)的資產(chǎn)配置策略，因此基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型更加符合實(shí)際投資情況。

表3 不同交易費(fèi)用比例下的組合投資風(fēng)險(xiǎn)值

4 結(jié)束語

本文研究了在摩擦市場因素的條件下基于可能性分布理論的組合投資問題。在可能性分布理論和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的基礎(chǔ)上，提出了一個在摩擦市場條件下帶有風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束的可能性組合投資模型。由于該模型中加入了摩擦市場因素和VaR約束，因此可以更好地描述投資市場的環(huán)境和投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。最后選取股票市場的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。實(shí)證研究結(jié)果表明，隨著投資者預(yù)期收益率的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)在不斷增大，符合“收益越大、風(fēng)險(xiǎn)越大”的市場規(guī)律。此外，在期望收益率一定的條件下,隨著資產(chǎn)交易費(fèi)用的不斷增大，模型的目標(biāo)值在逐漸變大，并且市場摩擦因素的變動對組合投資的風(fēng)險(xiǎn)具有一定的影響，基于摩擦市場因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值理論的可能性組合投資模型更符合實(shí)際的投資風(fēng)險(xiǎn)情況，可為投資者選擇更適合的投資策略提供參考。

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

Research on the Possibility of Portfolio Investment Model Based on Friction Factor and Value at Risk

JING Yong-qiang, CAO Yong-hong, LI A-na

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The portfolio investment based on the possibility distribution theory under the condition of the friction market was studied, and a possibility portfolio investment model was proposed. The empirical study shows that the change of the market friction factor affects the investment portfolio. Thus, the portfolio investment model based on the friction market factor and the VaR theory is more suitable for the actual investment risk, so as to provide a reference for the investor to choose a more suitable investment strategy.

possibility theory; friction factor; value at risk; portfolio investment

2016-10-25 基金項(xiàng)目：電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(9140C120401080C12)；中北大學(xué)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201406)

景永強(qiáng)(1993—)男，山西臨汾人，碩士研究生，主要從事可能性理論的應(yīng)用研究，E-mail:474060802@qq.com; 曹詠弘(1972—)男，山西太原人，副教授，碩士生導(dǎo)師,主要從事工程中的數(shù)學(xué)問題研究。

景永強(qiáng)，曹詠弘，李阿娜.基于摩擦因素和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的可能性組合投資模型[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(3):158-164.

format：JING Yong-qiang, CAO Yong-hong，LI A-na.Research on the Possibility of Portfolio Investment Model Based on Friction Factor and Value at Risk[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):158-164.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.024

O21；F830

A

1674-8425(2017)03-0158-07