呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094 )

基于LM方法的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)

呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094 )

介紹了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的特征，闡述了Lee-Mykland方法識(shí)別跳躍的基本思想，用極大似然法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而形成了一種新的組合方法。利用上證指數(shù)2010—2016年的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：使用組合方法對(duì)收益率時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，不但能有效估計(jì)跳擴(kuò)散模型的參數(shù)，而且能把跳躍發(fā)生的時(shí)點(diǎn)和相應(yīng)的參數(shù)識(shí)別出來(lái)。

雙指數(shù)模型；Lee-Mykland方法；上證指數(shù)；跳躍識(shí)別

絕大多數(shù)研究都將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格假設(shè)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為資產(chǎn)的價(jià)格關(guān)于時(shí)間是連續(xù)函數(shù)，資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的。作為期權(quán)定價(jià)基石的Black-Scholes[1]模型，在一定的假設(shè)前提下解析出了金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)公式，并因其簡(jiǎn)單、易理解等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。由于模型的高度理想化，實(shí)際市場(chǎng)的兩個(gè)現(xiàn)象受到很大的關(guān)注:① 非對(duì)稱的尖峰肥尾特征，即資產(chǎn)回報(bào)分布是有偏的，并且有比正態(tài)分布更高的峰度和更厚的尾部；② 波動(dòng)率“微笑”，BS模型假設(shè)隱含波動(dòng)率是常量，而實(shí)際上，金融市場(chǎng)上得到的隱含波動(dòng)率曲線是像一個(gè)“微笑”的曲線，也就是意味著它是執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)。

人們一直試圖放松BS模型的種種假設(shè)，來(lái)解釋尖峰現(xiàn)象和波動(dòng)率“微笑”。其中最重要的方向之一，就是在擴(kuò)散過(guò)程的基礎(chǔ)上引入跳躍，以更好地描述標(biāo)的資產(chǎn)所服從的隨機(jī)過(guò)程。當(dāng)市場(chǎng)中有重大信息(如突發(fā)事件、自然災(zāi)害、政策大調(diào)整等)到達(dá)時(shí)，市場(chǎng)股價(jià)可能發(fā)生間斷性的“跳躍”過(guò)程，在實(shí)際市場(chǎng)中上，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)出現(xiàn)“不正?！钡恼駝?dòng)。此時(shí)，利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)再來(lái)描述資產(chǎn)收益變動(dòng)過(guò)程就不是很合理了。為了刻畫股票價(jià)格變動(dòng)的這種非連續(xù)行為，研究者們提出了很多模型加以解釋，跳擴(kuò)散模型[2]就是其中較為重要的一種。研究結(jié)果表明：跳躍擴(kuò)散過(guò)程描述股價(jià)運(yùn)動(dòng)要優(yōu)于布朗運(yùn)動(dòng)，已逐漸地被應(yīng)用在期權(quán)定價(jià)及匯率、利率的突變研究等方面[3-4]。

股價(jià)行為建模作為目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)資產(chǎn)定價(jià)、投資組合以及產(chǎn)品設(shè)計(jì)都有決定性意義。從目前的文獻(xiàn)可以看出：中國(guó)股市收益率分布特征的研究已是相當(dāng)豐富，但是對(duì)于股價(jià)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，尤其是其中跳躍成分的探討還是一個(gè)鮮有人涉足的領(lǐng)域。本文利用Lee和Mykland提出的跳識(shí)別方法，結(jié)合極大似然估計(jì)，對(duì)雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行研究，對(duì)于擴(kuò)充現(xiàn)有模型理論、尋求資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)規(guī)律、評(píng)估衍生品的風(fēng)險(xiǎn)特征等都具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

1 雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型

S.G.Kou[5]在總結(jié)前人模型的基礎(chǔ)上，提出雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型。模型的基本假設(shè)為:資產(chǎn)動(dòng)態(tài)服從布朗運(yùn)動(dòng)加上復(fù)合泊松過(guò)程，其跳躍幅度服從Laplace雙指數(shù)分布。為了便于參數(shù)估計(jì)時(shí)的數(shù)值計(jì)算，假設(shè)Kou提出的模型中p=q，記St為t時(shí)刻的股票價(jià)格，滿足如下模型：

(1)

其中：μ是漂移率；σ是波動(dòng)率； dWt是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)的增量；Ju和Jd分別表示向上和向下的跳躍幅度，皆服從指數(shù)分布。密度函數(shù)表達(dá)式分別為：

(2)

(3)

ηu(ηd)表示向上(下)跳躍幅度的均值，dNu(λu)(dNd(λd))表示強(qiáng)度為λu(λd)的泊松計(jì)數(shù)過(guò)程，有p(dNi(λi)=1)=λidt,p(dNi(λi)=0)=1-λidt,i=u,d。由此可見(jiàn)，依方向?qū)ⅰ疤狈殖闪藘煞N類型，服從不對(duì)稱的對(duì)數(shù)指數(shù)分布。

利用伊藤引理[6]對(duì)(1)式進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后，得到如下形式：

(4)

用Euler方法[7]對(duì)模型進(jìn)行離散化處理，得到t時(shí)刻的收益率：

(5)

所以，在Δt→0時(shí)，以上收益(5)可以近似為：

(6)

(7)

2 跳的識(shí)別與模型的參數(shù)估計(jì)

由于跳的存在，極大似然估計(jì)等傳統(tǒng)的模型參數(shù)估計(jì)方法存在較大的估計(jì)誤差。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)者提出了馬爾可夫鏈的蒙特卡洛模擬方法(MCMC)，在估計(jì)跳擴(kuò)散模型參數(shù)問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用[8-9]。MCMC方法是從總體上對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，無(wú)法將跳變序列和連續(xù)序列分離識(shí)別，因而無(wú)法估計(jì)跳變時(shí)刻和跳躍幅度。

2.1 Lee-Mykland跳識(shí)別理論及算法

Lee和Mykland[10]提出了一種跳識(shí)別方法，即Lee-Mykland逐時(shí)點(diǎn)檢驗(yàn)方法，此方法能檢測(cè)某個(gè)給定的收益率數(shù)據(jù)是否服從純粹連續(xù)分布，從而識(shí)別出過(guò)程中的跳。主要思想是：先確定一個(gè)窗口大小K，在檢驗(yàn)給定時(shí)刻前選擇K個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算最大變動(dòng)幅度，并與需要檢驗(yàn)時(shí)刻的價(jià)格變化幅度進(jìn)行比較，如果需要檢驗(yàn)時(shí)刻的變化幅度超過(guò)最大變動(dòng)幅度則說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)為跳。最后依次將窗口后移，逐個(gè)時(shí)刻檢驗(yàn)是否存在跳。Lee和Mykland用價(jià)格的時(shí)點(diǎn)方差對(duì)價(jià)格改變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化構(gòu)造，得出服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的跳檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。關(guān)鍵是要估計(jì)出時(shí)點(diǎn)方差。他們采用現(xiàn)實(shí)雙冪變差為基礎(chǔ)來(lái)估計(jì)時(shí)點(diǎn)方差，并且證明了當(dāng)時(shí)間間隔趨于0時(shí)，檢驗(yàn)誤判和漏判的概率趨于0?；谝陨纤悸?，他們構(gòu)造了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)變量L(i) 來(lái)測(cè)試在ti時(shí)刻是否存在從ti-1到ti的跳：

(8)

其中

(9)

Lee和Mykland給出了跳識(shí)別的拒絕域，并證明了若在時(shí)間間隔(ti-1,ti]內(nèi)不存在跳，則在Δt→0 時(shí)有：

(10)

下面給出了股票價(jià)格收益率序列的跳躍識(shí)別算法：

1) 對(duì)第i個(gè)股價(jià)收益率數(shù)據(jù)用式(8)和(9)計(jì)算統(tǒng)計(jì)變量L(i)。

2) 選擇一個(gè)顯著性水平α計(jì)算閾值，這是一個(gè)累計(jì)分布函數(shù)，滿足P(ψ≤β*)=exp(-e-β*)=1-α。

2.2 參數(shù)估計(jì)方法

1) 跳躍頻率的估計(jì)

對(duì)于強(qiáng)度為的Poisson計(jì)數(shù)過(guò)程來(lái)說(shuō)，對(duì)其頻率的估計(jì)可以用極大似然法估計(jì)：

(11)

其中ξ1,ξ2,…,ξn為樣本點(diǎn)。

假設(shè)1年有250個(gè)交易日，則跳躍頻率的年估計(jì)值為：

(12)

2) 跳躍幅度的估計(jì)

(13)

其中x1,x2,…,xn為樣本點(diǎn)。

(14)

(15)

3) 擴(kuò)散過(guò)程參數(shù)估計(jì)

正態(tài)分布的均值與方差的極大似然估計(jì)分別為：

(16)

(17)

(18)

3 上證指數(shù)的實(shí)證分析

本文將股票價(jià)格描述為一個(gè)帶有指數(shù)跳的擴(kuò)散過(guò)程。為了有效地估計(jì)跳躍的頻率和幅度，以便預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)格。選擇上證指數(shù)總共4 001個(gè)樣本(n=4 001)，采用本文提出的組合方法來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)，并在Matlab中實(shí)現(xiàn)以上算法[11]。圖1為原始樣本數(shù)據(jù)序列，即2000—2006年上證指數(shù)走勢(shì)。

圖1 上證指數(shù)走勢(shì)

由于原始數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，使得數(shù)據(jù)不夠穩(wěn)定，因此對(duì)原數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，這樣既不會(huì)改變數(shù)據(jù)的相關(guān)性又能使原始數(shù)據(jù)變得相對(duì)平穩(wěn)。然后用

Ri=lnSi-lnSi-1

(19)

得到上證指數(shù)的收益率序列。圖2給出了樣本數(shù)據(jù)收益率的時(shí)間序列圖。

圖2 上證指數(shù)收益率的時(shí)間序列圖

從圖2可以明顯看到，股指收益率原始數(shù)據(jù)圖并不平穩(wěn)，在多個(gè)地方存在跳躍點(diǎn)。下面觀察收益率序列Rt的基本統(tǒng)計(jì)特征。

在Matlab中計(jì)算得到收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)量，見(jiàn)表1。

表1 收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)量

從表1可以看出：收益率數(shù)據(jù)的偏度為-0.339 5，呈現(xiàn)出左偏；峰度系數(shù)為7.354 3，大于正態(tài)分布峰度系數(shù)3，說(shuō)明股指收益率序列呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征。數(shù)據(jù)表明，“跳”的存在使得原始數(shù)據(jù)收益率并不服從正態(tài)分布，出現(xiàn)異常點(diǎn)，呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征。

圖3 跳辨識(shí)結(jié)果

用跳躍點(diǎn)前后6個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)取代跳躍點(diǎn)的收益率，得到修正后的連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程收益率序列Rt′，根據(jù)其與原始數(shù)據(jù)之差統(tǒng)計(jì)出向上跳躍發(fā)生次數(shù)為24次，向下跳躍次數(shù)為28次，跳躍時(shí)間如表2、3所示。

圖4給出了修正后的收益率序列Rt′的時(shí)間序列圖。

表2 上證指數(shù)向上跳躍時(shí)間點(diǎn)匯總

表3 上證指數(shù)向下跳躍時(shí)間點(diǎn)匯總

圖4 修正后的收益率序列圖

表4給出了修正后的收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)量。

表4 修正收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)量

由圖4可見(jiàn):修正后的收益率基本平穩(wěn)，通過(guò)和圖2的原始收益率序列對(duì)比，發(fā)現(xiàn)Lee-Mykland跳辨識(shí)方法確能很好地辨別出跳躍點(diǎn)。觀察表4修正后的收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征發(fā)現(xiàn)：其偏度從-0.219 1變?yōu)?0.064 3，左偏程度明顯減弱；峰度也從7.594 2降為4.237 9，更加接近正態(tài)分布的峰度值3。

在完成了跳的識(shí)別工作后，根據(jù)本文的極大似然方法估計(jì)出收益率序列的參數(shù)，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 跳擴(kuò)散模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

從參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以看出，收益率序列的年波動(dòng)率為23.81%，這與實(shí)際數(shù)據(jù)的較高波動(dòng)性相吻合。向上跳躍和向下跳躍的年頻率分別為1.500 0和1.750 0，而跳躍的幅度相仿。

以上完成了上證指數(shù)跳擴(kuò)散模型跳的辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)工作，下面對(duì)將方法的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。由本文模型(1)和由歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)(表5)，采用蒙特卡洛模擬方法生成模擬收益率數(shù)據(jù)圖，通過(guò)與真實(shí)值(觀測(cè)值)進(jìn)行對(duì)比來(lái)檢驗(yàn)估計(jì)方法的有效性。根據(jù)

(20)

將表5中的參數(shù)代入，在Matlab中利用蒙特卡洛方法模擬出相應(yīng)的收益率數(shù)據(jù)序列，并生成模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)的Q-Q圖，如圖5所示。

圖5 上證指數(shù)模擬數(shù)據(jù)與真實(shí)值的Q-Q圖

從真實(shí)值與模擬數(shù)據(jù)的Q-Q圖可以看出，本文建立的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的擬合值和真實(shí)值幾乎位于一條直線，說(shuō)明該模型模擬出的數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的分布情況擬合效果很好。

4 結(jié)束語(yǔ)

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ZHENG Zhiyong.Financial quantitative analysis based on Matlab programming[M].2 Edition.Beijing:Beihang University Press,2013.

(責(zé)任編輯 劉 舸)

Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method

LYU Han, CHEN Ping

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

This paper introduces the characteristics of the double exponential jump diffusion model, and expounds the basic idea of the Lee-Mykland method to identify the jump, and uses the maximum likelihood method to estimate the parameters, thus forming a new combination method. We use Shanghai stock index from 2010 to 2016 to do empirical analysis.The results show that using the combination method of return time series data to estimate can not only effectively estimate the parameters of the jump diffusion model, but also identify the jumping point and the corresponding parameter.

double exponential model; Lee-Mykland method; Shanghai composite index; jump recognition

2016-12-25 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271189)

呂韓(1991—)，男，江蘇泰州人，碩士研究生，主要從事金融隨機(jī)分析、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究，E-mail:nplvhan@163.com。

呂韓，陳萍.基于LM方法的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(3):151-157.

format： LYU Han, CHEN Ping.Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):151-157.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.023

O212

A

1674-8425(2017)03-0151-07