高中數(shù)學(xué)定積分的應(yīng)用

王榮佺

摘要：導(dǎo)數(shù)與定積分是普通高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其概念抽象、公式靈活、性質(zhì)多樣、應(yīng)用廣泛，尤其是定積分的微分積分思想將定積分體現(xiàn)得淋漓盡致，教學(xué)中利用關(guān)于它的微積分基本定理（牛頓—萊布尼茨公式）計(jì)算證明曲邊圖形面積等問(wèn)題，可以說(shuō)是巧妙至極.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ；定積分；應(yīng)用 ；面積；參數(shù)

一、利用定積分，求解曲邊圖形面積

初等數(shù)學(xué)幾何學(xué)中，我們求解平面圖形的面積，通常是一些比較規(guī)則的圖形，諸如三角形、正方形、矩形、梯形、平行四邊形、圓等等，都有現(xiàn)成的公式，即使圖形不太規(guī)則，有可能通過(guò)分割補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，但是遇到不規(guī)則圖形，尤其是曲邊圖形的面積深感困惑.實(shí)際上，只要知道曲邊所在曲線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），我們可以通過(guò)定積分來(lái)求曲邊圖形的面積.

例1如圖，拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）處的切線所圍成圖形的面積為.

二、利用定積分，求解參數(shù)的值

在求解平面曲邊圖形面積時(shí)，本身曲邊圖形面積就不好計(jì)算，有時(shí)還會(huì)參雜一些參數(shù)，讓求參數(shù)的值或參數(shù)取值范圍，這樣的問(wèn)題更是讓人棘手.實(shí)際上，只要知道曲邊所在曲線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），我們可以通過(guò)定積分來(lái)尋找參數(shù)滿足的條件方程（或不等式），這樣參數(shù)問(wèn)題便迎刃而解.

例2如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.

解 拋物線y=x-x2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0，x2=1，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積

三、利用定積分，證明圓的面積

從小學(xué)上到高中，同學(xué)們就一直利用圓的面積公式S=πR2，但是為什么是這樣，它是怎么來(lái)的，也許有人思考過(guò)，也問(wèn)過(guò)老師，也許有人壓根兒就從沒想過(guò).其實(shí)，學(xué)了定積分，知道函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′x=f ′（x）=dydx，我們就有能力來(lái)證明這個(gè)公式了.

例3設(shè)圓x2+y2=R2，求證：其面積S=πR2.

證明由圓的對(duì)稱性知，圓在四個(gè)象限內(nèi)面積相等，其面積是第一象限扇形（曲邊梯形）面積的4倍，而在第一象限內(nèi)曲線的函數(shù)關(guān)系是y=R2-x2（0≤x≤R）.

所以S=4∫R0R2-x2dx.

四、利用定積分，證明橢圓面積

和圓一樣，橢圓也是一個(gè)既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的圖形，但是提及它的面積，有的同學(xué)知道，就是S=πab （其中a，b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)），而有的同學(xué)不知道，其實(shí)學(xué)了定積分，知道函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)yx=f ′（x）=dydx ，我們也有能力來(lái)證明這個(gè)公式了.

例4設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1， 求證：其面積S=πab

證明由橢圓的對(duì)稱性知，橢圓在四個(gè)象限內(nèi)面積相等，其面積是第一象限扇形（曲邊梯形）

總之，初等數(shù)學(xué)中定積分的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，這里所提及的計(jì)算證明曲邊圖形面積等問(wèn)題，只是定積分應(yīng)用的一個(gè)縮影.

在平時(shí)的教學(xué)工作中，作為一線教師，如果我們能及時(shí)探索研究出一些有用的規(guī)律，或者有參考價(jià)值的結(jié)論，無(wú)疑對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力的增強(qiáng)和教育教學(xué)質(zhì)量的提高，勢(shì)必起到了“正能量”奇效，我們何樂(lè)而不為呢？科學(xué)在進(jìn)步，社會(huì)在發(fā)展，要求在提高，我們還有什么理由僅僅滿足于當(dāng)前教學(xué)不去挖掘發(fā)現(xiàn)它們呢？