孫成成+胡典順

摘 要 通過比較不同版本教材中的數(shù)學(xué)知識團(tuán)，可以幫助教師理清知識脈絡(luò)、明確知識點(diǎn)之間的聯(lián)系、促進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)，并有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化掌握。選取“人教A版”和“核心教材”為研究對象，以圓錐曲線知識團(tuán)的建構(gòu)為例，對中美高中數(shù)學(xué)教材知識團(tuán)的建構(gòu)特征進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)，兩套教材在知識團(tuán)特征、輔助知識團(tuán)建構(gòu)方式和知識團(tuán)習(xí)題這幾個層面上存在一定的差異。因此，教師需要深刻地研究和掌握知識團(tuán)的內(nèi)涵；學(xué)會駕馭教材并挖掘隱性知識點(diǎn)；重視研究性題型的開發(fā)。

關(guān)鍵詞 知識團(tuán) 圓錐曲線 中美數(shù)學(xué)教材 比較研究

一、研究背景

教材研究與建設(shè)一直是課程與教學(xué)研究中的核心問題，也是教學(xué)質(zhì)量提升、教學(xué)改革實(shí)施的基本保障。教材研究也是中小學(xué)一線教師在教學(xué)實(shí)踐中普遍關(guān)心與經(jīng)常研究的一個問題[1]。很多研究是從宏觀層面上去分析一本教材或一章教學(xué)內(nèi)容，少有研究者去研究一個特定數(shù)學(xué)內(nèi)容概念化、結(jié)構(gòu)化的呈現(xiàn)方式。簡單的對比并不能揭示出一個特定內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其與其他內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，而從微觀層面上去分析，卻可以獲得其概念化、結(jié)構(gòu)化的特征[2]。史寧中教授提到的知識團(tuán)概念，為學(xué)者更深入更微觀地研究中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容提供了方向。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，知識是層層深入、逐漸遞進(jìn)而又緊密聯(lián)系的。然而實(shí)際教學(xué)中，由于缺乏對知識團(tuán)結(jié)構(gòu)的把握，對知識點(diǎn)間的聯(lián)系不夠明確，一些教師往往只會依據(jù)教學(xué)大綱和教材對知識點(diǎn)進(jìn)行線性講解，導(dǎo)致教學(xué)過程中的清晰度不夠高，降低了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的掌握。高中圓錐曲線知識點(diǎn)復(fù)雜并且知識點(diǎn)間聯(lián)系緊密，為了更好地認(rèn)識中學(xué)數(shù)學(xué)教材知識點(diǎn)的設(shè)計(jì)，通過中、美兩國教材中圓錐曲線知識團(tuán)建構(gòu)的比較，來幫助教師理清知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)和知識點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，了解數(shù)學(xué)知識團(tuán)的屬性和規(guī)律，為更好地設(shè)計(jì)教學(xué)、提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量提供新思路。研究選取了Core-Plus Mathematics（Preparation for Calculus，Student Edition PartB，2010年版）（以下簡稱“核心教材”）和中國的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版》（以下簡稱“人教A版”）。

二、研究準(zhǔn)備

1.知識團(tuán)的概念

在數(shù)學(xué)中知識點(diǎn)可以分為數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，數(shù)學(xué)命題是用來表示數(shù)學(xué)判斷的語句或符號的組合。知識點(diǎn)所包含的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)命題在學(xué)生接觸之前或是模糊的或是新的或是未曾在大腦中建構(gòu)起來的。若干知識點(diǎn)構(gòu)成一個知識團(tuán)。知識團(tuán)的選取與確立需要遵循兩個原則：知識團(tuán)的容量應(yīng)盡可能小；若兩個知識點(diǎn)之間有必然的不可拆分的邏輯關(guān)聯(lián)，則這兩個知識點(diǎn)同屬于一個知識團(tuán)[3]。

2.分析和統(tǒng)計(jì)框架的建構(gòu)

（1）知識團(tuán)特征

知識團(tuán)的廣度是指一個知識團(tuán)所含知識點(diǎn)的多少；知識團(tuán)的深度即概念和命題的深度之和[3]。概念的深度主要分為“白描、歸納總結(jié)、抽象定義”三個水平，分別賦值1、2、3。其中，通過畫出圖形并指出這種圖形就是某個概念的定義形式屬于白描層次；通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導(dǎo)、證明、歸納總結(jié)得出概念的定義形式屬于歸納總結(jié)層次；直接給出概念的定義形式屬于抽象定義。命題的深度主要分為“了解、理解、應(yīng)用”三個水平，分別賦值1、2、3。其中，直接給出結(jié)論的命題屬于了解層次；通過證明或歸納總結(jié)而給出的命題屬于理解層次；在理解層次的基礎(chǔ)上運(yùn)用于衍生或引出其他知識點(diǎn)的命題屬于應(yīng)用層次。本研究的知識點(diǎn)包括顯性概念和隱性概念、顯性命題和隱性命題。將教材中用特殊符號、特殊顏色或特殊字體標(biāo)記的概念（或命題）作為顯性概念（或顯性命題），將教材中沒有用特殊符號、特殊顏色或特殊字體標(biāo)記但卻是教學(xué)重點(diǎn)或難點(diǎn)并能揭示知識團(tuán)本質(zhì)屬性的概念（或命題）作為隱性概念（或隱性命題）。

（2）輔助知識團(tuán)建構(gòu)的方式

教材中為引入知識點(diǎn)或加深知識點(diǎn)的理解和掌握而呈現(xiàn)出來的教學(xué)方法或?qū)W習(xí)資料等都屬于輔助知識團(tuán)建構(gòu)的方式，主要包括例題、信息技術(shù)、課外資料和思考探究。以“例1、例2…”這種形式呈現(xiàn)的屬于例題；呈現(xiàn)出運(yùn)用信息技術(shù)畫圖或介紹知識點(diǎn)的屬于信息技術(shù)；呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識在生活或科學(xué)中運(yùn)用的事例的屬于課外資料；“人教A版”中標(biāo)有“思考”“觀察”“探究”欄目的屬于思考探究方式，并且每一個欄目算作一個思考探究題?！昂诵慕滩摹敝姓{(diào)研之下的題目屬于思考探究方式，并且每一個以小寫字母為題號的算作一個思考探究題。教材中的思考探究主要以4種形式呈現(xiàn)：第一種純文字形式，思考探究問題的主干完全是由文字表述；第二種數(shù)學(xué)形式，思考探究問題的主干是由文字和數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式共同表述；第三種圖像形式，思考探究問題的主干是由文字和圖像共同表述；第四種組合形式，思考探究問題的主干呈現(xiàn)出上述三種表述形式。

（3）知識團(tuán)習(xí)題

習(xí)題有大題與小題之分，我們把含有關(guān)聯(lián)密切的多問的習(xí)題算作一道題，包含多道小題的習(xí)題算作一道題。習(xí)題的統(tǒng)計(jì)是對教材每一節(jié)或每一調(diào)研之后習(xí)題的統(tǒng)計(jì)，不包括對本章復(fù)習(xí)或本單元復(fù)習(xí)題目的統(tǒng)計(jì)。知識團(tuán)習(xí)題題型包括概念型、知識技能型、知識遷移型、情境應(yīng)用型和研究型。其中，知識點(diǎn)只涉及概念并且用于加強(qiáng)概念記憶和理解的習(xí)題屬于概念型；以圓錐曲線知識團(tuán)為主干，訓(xùn)練學(xué)生命題與概念綜合運(yùn)用能力的習(xí)題屬于知識技能型；以圓錐曲線知識團(tuán)和其他類型知識團(tuán)共同為主干的習(xí)題屬于知識遷移型；運(yùn)用信息技術(shù)解題或以生活、科學(xué)為背景的習(xí)題屬于情境應(yīng)用型；在小組討論、搜集資料、實(shí)驗(yàn)操作、寫總結(jié)或論文、作報(bào)告中，至少包含兩種形式以上的習(xí)題屬于研究型。

三、中美數(shù)學(xué)教材圓錐曲線知識團(tuán)建構(gòu)的比較分析

1.中美數(shù)學(xué)教材圓錐曲線知識團(tuán)的比較分析

（1）圓錐曲線知識團(tuán)特征的比較分析

表1反映出，在圓錐曲線知識團(tuán)中，“人教A版”的顯性概念數(shù)比“核心教材”的多，但是“人教A版”與“核心教材”的隱性概念的數(shù)目都很少并且都是2?！叭私藺版”與“核心教材”都不含有顯性命題，但是“人教A版”的隱性命題數(shù)是“核心教材”的5倍?！叭私藺版”在這一知識團(tuán)的廣度是“核心教材”的2倍多，深度也是“核心教材”的將近2倍。

（2）圓錐曲線知識團(tuán)概念深度層次的比較分析

圖1表明，在圓錐曲線知識團(tuán)中，“核心教材”比“人教A版”更加重視抽象定義這個層次，它在“核心教材”中所占的比例最重，為77.3%；而“人教A版”概念的抽象定義這一層次所占比例是最少的，只有17.7%。從整體上看，“人教A版”概念深度層次分布呈現(xiàn)出遞減的趨勢，抽象定義這一層次所占比重最小，而“核心教材”概念深度層次分布呈現(xiàn)“U型”，歸納類比層次所占比重最小。

（3）圓錐曲線知識團(tuán)命題深度層次的比較分析

圖2表明，在圓錐曲線知識團(tuán)中，“人教A版”和“核心教材”都非常重視數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用，但是“核心教材”在了解和理解兩個層次上的比重都比“人教A版”的多，并且比重分布也比“人教A版”相對均衡。而“人教A版”在命題應(yīng)用上的比重比“核心教材”的多，但在了解這個層次上的比重極少，只有3.2%。

2.中美數(shù)學(xué)教材輔助圓錐曲線知識團(tuán)建構(gòu)的比較分析

（1）中美教材輔助圓錐曲線知識團(tuán)建構(gòu)的方式的比較

圖3表明，“人教A版”中通過例題、思考研究、信息技術(shù)和課外資料四種方式來輔助圓錐曲線知識團(tuán)的建構(gòu)，而“核心教材”只有思考研究和課外資料兩種方式?！叭私藺版”是以例題和思考探究兩種方式為主干，并且思考探究的比重偏多，而“核心教材”是以思考探究為主干并且是貫穿整個教材。

（2）中美數(shù)學(xué)教材圓錐曲線知識團(tuán)思考探究表征形式的比較

圖4反映出，在圓錐曲線知識團(tuán)思考探究表征形式中，純文字形式在“人教A版”中所占的比重最大，而數(shù)學(xué)形式在“核心教材”中所占的比重最大。圖像形式在“人教A版”和“核心教材”中所占的比重都是最小的，都不超過3%。從組合形式上看，“人教A版”是“核心教材”的8倍。

（3）中美數(shù)學(xué)教材圓錐曲線知識團(tuán)思考探究解答特征的比較

表2反映出，在圓錐曲線知識團(tuán)中，“人教A版”的思考探究有超過一半是給出解答的，而“核心教材”中所有的思考探究都沒有給出解答。

3.中美數(shù)學(xué)教材圓錐曲線知識團(tuán)習(xí)題的比較分析

圖5反映出，在圓錐曲線知識團(tuán)習(xí)題中，“人教A版”中概念型和知識技能型的習(xí)題所占的比重都比“核心教材”的大。而“核心教材”中情境應(yīng)用型習(xí)題所占的比重是“人教A版”的將近3倍；“核心教材”中研究型習(xí)題占10.5%，而“人教A版”中卻沒有研究型習(xí)題。從整體上看，“人教A版”和“核心教材”圓錐曲線知識團(tuán)習(xí)題分布都呈現(xiàn)“倒U型”，即知識遷移型習(xí)題的比重都是最大的，但“核心教材”中習(xí)題題型的分布更均衡。

四、啟示

1.知識團(tuán)內(nèi)涵的進(jìn)一步理解

史寧中教授指出，兩個知識點(diǎn)之間有必然的不可拆分的邏輯關(guān)聯(lián)，則這兩個知識點(diǎn)同屬于一個知識團(tuán)。這里的不可拆分性是相對不可拆分性，即知識團(tuán)中的知識點(diǎn)在揭示同一個特定的數(shù)學(xué)屬性時，這兩個知識點(diǎn)之間是不可拆分的。例如，橢圓的概念和雙曲線的概念這兩個知識點(diǎn)都能夠揭示圓錐曲線的本質(zhì)屬性，具有不可拆分性也具有必然的聯(lián)系，屬于同一個知識團(tuán)。然而，在揭示橢圓的本質(zhì)屬性時，橢圓的概念與雙曲線的概念之間就不具備不可拆分性。這也意味著知識團(tuán)具有生成性，如果兩個知識團(tuán)的知識點(diǎn)合在一起可以揭示另一種特定的數(shù)學(xué)屬性，并且這些知識點(diǎn)之間具有必然的不可拆分的聯(lián)系，那么這些知識點(diǎn)就組成了一個新的知識團(tuán)，而原知識團(tuán)就是新構(gòu)知識團(tuán)的子團(tuán)。

知識團(tuán)的建構(gòu)也是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種建構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦里的知識結(jié)構(gòu)，是學(xué)習(xí)者觀念的全部內(nèi)容和組織。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者通過教師所激發(fā)起來的心理結(jié)構(gòu)作用于外界的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)而形成的一種內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)。教師要為學(xué)生建構(gòu)良好的知識脈絡(luò)，就要理清知識之間的聯(lián)系，對教材上的知識點(diǎn)進(jìn)行剖析、加工和重新組織，這就需要建立良好的知識團(tuán)體系。所以在知識團(tuán)建構(gòu)的過程中，既要重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生的順序性和階段性以及學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，又要重視對知識點(diǎn)、知識團(tuán)的整合。在“人教A版”的圓錐曲線知識團(tuán)里，知識點(diǎn)之間出現(xiàn)了“斷層”的現(xiàn)象，例如圓錐曲線中的圓放在了必修2，而橢圓、雙曲線和拋物線放在了選修2-1，在選修4-4還涉及到了一些圓錐曲線的參數(shù)方程。所以數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)了解知識團(tuán)的未完成性、重塑性和生成性等特點(diǎn)，意識到知識團(tuán)是數(shù)學(xué)思維的架構(gòu)能力的體現(xiàn)，明確如何在教學(xué)中不斷充實(shí)知識團(tuán)以及如何從知識點(diǎn)過度到知識團(tuán)、再從知識團(tuán)細(xì)化到知識點(diǎn)。

2.駕馭教材，挖掘隱性知識點(diǎn)

構(gòu)建良好知識團(tuán)的前提是要正確引起學(xué)生進(jìn)行積極深刻的思考進(jìn)而產(chǎn)生“頭腦風(fēng)暴”。在“人教A版”中促進(jìn)學(xué)生思考比較常見的方式是，在知識點(diǎn)附近采用“思考”或“探究”欄目并以旁注的形式呈現(xiàn)出問題來啟發(fā)思考，促進(jìn)對知識點(diǎn)的掌握。但是往往在這些欄目的后面直接就會給出思考的答案或探究的結(jié)果。而在“核心教材”中，思考探究貫穿整個教材，但教材并沒有給出明確的思考解答或探究結(jié)果，甚至一些知識點(diǎn)是在思考探究的過程中給出的?！昂诵慕滩摹边@樣設(shè)定的目的是讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題、解決問題，進(jìn)而獲得知識點(diǎn)。任何有效的學(xué)習(xí)都是一個主動建構(gòu)的過程，教師必須調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，引導(dǎo)學(xué)生通過自己積極主動的思維活動來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、獲取知識[4]。而“人教A版”把所要思考探究的答案以書面形式呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，這不利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也會阻礙學(xué)生的獨(dú)立思考、影響學(xué)生的創(chuàng)造性思維、個性思維以及獨(dú)特性思維的發(fā)展。所以，“人教A版”可以對思考探究的解答進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷?，?yīng)當(dāng)著力于培養(yǎng)學(xué)生放下教材去思考和探究的能力。

“人教A版”中有些沒有特殊標(biāo)記的命題，些沒有特殊標(biāo)記但卻是教學(xué)的重點(diǎn)或難點(diǎn)的命題都應(yīng)當(dāng)是知識點(diǎn)，教師要學(xué)會挖掘和整理教材中的隱性知識點(diǎn)，也要教授學(xué)生挖掘隱性知識點(diǎn)的方法。在“核心教材”中，輔助圓錐曲線知識團(tuán)建構(gòu)的方式只有思考探究和課外資料，這就要求數(shù)學(xué)教師在傳授知識的過程中要有自己的方法，不能照本宣科，而要根據(jù)實(shí)際情況填補(bǔ)教材的不足，并明確是教師引導(dǎo)學(xué)生而非教材在引導(dǎo)學(xué)生。

3.加強(qiáng)研究性題型的開發(fā)

知識樹能使錯綜復(fù)雜的知識內(nèi)容條理化、系統(tǒng)化，使各種關(guān)系變得明確直觀[5]。知識團(tuán)的遷移應(yīng)用就可以形成知識樹，可以清楚地看到各個相對獨(dú)立的知識團(tuán)，也可以清晰地展現(xiàn)出各知識團(tuán)之間的相互聯(lián)系。“核心教材”最大的特色在于每一調(diào)研里都會設(shè)置一些研究性題目，這些題目都需要知識團(tuán)的遷移應(yīng)用，并且一般都分為三個階段來完成。第一階段是問題階段，需要學(xué)生從多個角度認(rèn)識和分析問題并確定研究方案；第二階段是求解階段，主要包括搜集和研究信息資料、調(diào)查研究、建立數(shù)學(xué)模型、交流研討等；第三階段是表達(dá)內(nèi)化階段，主要是學(xué)生將取得的進(jìn)展進(jìn)行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面材料。研究性題型重過程、重應(yīng)用、重體驗(yàn)、重全員參與，幫助學(xué)生獲得親身參與研究與探索的體驗(yàn)、學(xué)會與人溝通和合作、增強(qiáng)探究創(chuàng)新意識、了解科學(xué)研究和學(xué)習(xí)方法、加快知識團(tuán)的穩(wěn)固建構(gòu)。我國數(shù)學(xué)課標(biāo)強(qiáng)調(diào)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)不僅注重學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)結(jié)果，還要注重他們的學(xué)習(xí)過程以及在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感、態(tài)度和價值，讓他們更好地認(rèn)識自我，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。所以缺乏研究性練習(xí)設(shè)置的“人教A版”應(yīng)當(dāng)借鑒“核心教材”的方式，加大研究性題型的開發(fā)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提高。

參考資料

[1] 吳立寶，曹一鳴.中學(xué)數(shù)學(xué)教材的分析策略[J].中國教育學(xué)刊，2004（1）.

[2] 王科，汪曉勤.“中美日新”四國高中教材中的數(shù)學(xué)歸納法比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（2）.

[3]嚴(yán)家麗，孔凡哲，李清.中美高中數(shù)學(xué)教材難度特征的比較研究——以《核心數(shù)學(xué)課》和人教A版教材為例[J].上海教育科研，2014（3）.

[4] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[5] 張思明，李大永，劉雪蓮.高中數(shù)學(xué)新課程與學(xué)生學(xué)習(xí)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[作者：孫成成（1990-），男，安徽淮南人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生；胡典順（1965-），男，湖北孝感人，華中師范大學(xué)教授。]

【責(zé)任編輯 郭振玲】