張 靜, 李 鈺, 任舜文

(華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 200237)

研究論文

基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波算法及其在色譜信號(hào)解析中的應(yīng)用

張 靜, 李 鈺*, 任舜文

(華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 200237)

對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行正確、實(shí)時(shí)地解析是利用色譜儀器系統(tǒng)進(jìn)行過程檢測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)。小波分析方法能對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行有效解析,但實(shí)時(shí)性一直是制約該方法在色譜信號(hào)處理中廣泛應(yīng)用的一個(gè)瓶頸。多分辨率分析與重構(gòu)算法(MALLAT)是小波分析的一種快速算法,但是該算法的實(shí)時(shí)性仍然需要進(jìn)一步提高。針對(duì)這一問題,以MALLAT算法原理為基礎(chǔ),利用在分解重組過程中兩組濾波器系數(shù)之間的關(guān)系提出了一種基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波分析算法。仿真結(jié)果表明,與經(jīng)典的MALLAT小波快速算法相比,該算法在保持信號(hào)有效分解與重構(gòu)的基礎(chǔ)上,運(yùn)行耗時(shí)明顯縮短,實(shí)時(shí)性得到較大提高。

色譜信號(hào);在線模式;小波分析;實(shí)時(shí)性

色譜信號(hào)的處理系統(tǒng)是色譜儀器系統(tǒng)的重要組成部分。色譜法具有測(cè)量范圍廣、分析速度快、選擇性高等特點(diǎn),在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。目前,在色譜信號(hào)處理中,小波變換已經(jīng)成為一種重要的方法,在基線校正、平滑濾噪、譜圖壓縮、重疊色譜峰分析、特征提取等方面都有成功的應(yīng)用[1-8]。

傳統(tǒng)的分析方法屬于離線模式的實(shí)驗(yàn)分析,對(duì)算法的實(shí)時(shí)性要求不高;然而,在色譜的在線分析中采用實(shí)時(shí)性高的算法卻十分必要,可以根據(jù)數(shù)據(jù)分析及時(shí)調(diào)節(jié)過程參數(shù),有利于生產(chǎn)過程的優(yōu)化。多分辨率分析與重構(gòu)算法(MALLAT)是一種針對(duì)離散正交小波變換的快速算法[9-12]。在對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行分解重組的過程中,MALLAT算法自底到頂按不同尺度進(jìn)行小波分解并進(jìn)行逆向重構(gòu),該算法的不足之處在于,需在信號(hào)采集完成之后進(jìn)行處理,不能對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)分解與重構(gòu)[13]。近年來,一些針對(duì)實(shí)時(shí)性要求的小波快速算法相繼出現(xiàn)。Qian等[14]提出了基于滑動(dòng)時(shí)窗的實(shí)時(shí)小波算法,通過預(yù)先存貯一部分小波系數(shù)避免重復(fù)計(jì)算,以較小的存儲(chǔ)空間為代價(jià)提高計(jì)算效率。但是,利用滑動(dòng)時(shí)窗來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí),總是需要剪取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的最新一段,這對(duì)數(shù)據(jù)的處理效率有一定影響。Rao等[15]提出了壘墻式算法,采取隔一抽取的方法每進(jìn)行兩次下層卷積之后計(jì)算一次上層卷積,像壘墻一樣,整體上縱向發(fā)展。壘墻式算法雖然在一定程度上達(dá)到了實(shí)時(shí)性的要求,但只是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行逐段的處理,并沒有達(dá)到最大化的實(shí)時(shí)性要求。Wang等[16]提出的基于實(shí)時(shí)小波算法的暫態(tài)擾動(dòng)檢測(cè)FPGA(field-programmable gate array)實(shí)現(xiàn)算法,利用了FPGA高集成性、高速度、延遲時(shí)間一般為ns級(jí)等特點(diǎn),與經(jīng)典MALLAT算法相結(jié)合,降低了數(shù)據(jù)處理時(shí)間,利用高性能的硬件特性達(dá)到實(shí)時(shí)性的要求,可是該算法并未從軟件上進(jìn)行改進(jìn),因此實(shí)現(xiàn)成本有所增加。Liu等[17]提出的壓電振動(dòng)陀螺儀實(shí)時(shí)小波濾波方法,由無限沖擊響應(yīng)低通濾波器先對(duì)信號(hào)低頻部分進(jìn)行截取,之后采用滑動(dòng)時(shí)窗算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)小波處理。因?yàn)榛瑒?dòng)窗口的寬度要保持為包含最新2J個(gè)采樣數(shù)據(jù),所以對(duì)數(shù)據(jù)的處理效率也有一定影響。

為進(jìn)一步提高小波變換在色譜信號(hào)解析中的實(shí)時(shí)性,利用MALLAT算法處理過程中各組濾波器系數(shù)之間存在翻轉(zhuǎn)、移位等關(guān)系,本文提出了基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波分析算法。該算法的特點(diǎn)是在采集數(shù)據(jù)的同時(shí)可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更及時(shí)的處理,克服了壘墻式算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行下層卷積處理之后再進(jìn)行上層卷積處理的局限性,對(duì)采集的新數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理,實(shí)現(xiàn)對(duì)色譜信號(hào)的實(shí)時(shí)分解與重構(gòu)。

本文首先對(duì)MALLAT小波快速算法的原理進(jìn)行了分析;然后提出了基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波算法。仿真實(shí)驗(yàn)表明了本文提出的算法的準(zhǔn)確性及有效性,該算法在色譜信號(hào)的解析中具有應(yīng)用價(jià)值。

1 MALLAT小波快速算法的基本原理

由小波多分辨率分析的定義,假定ψ(t)和φ(t)分別為尺度空間V0和小波空間W0的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù),h0(n)為低通濾波器系數(shù),h1(n)為相對(duì)應(yīng)的高通濾波器系數(shù)。由于V0∈V-1、W0∈V-1,ψ(t)、φ(t)可用V-1空間的正交基ψ-1,n(t)線性展開為:

(1)

其中,展開系數(shù)h0(n)=<ψ, ψ-1,n>, h1(n)=<φ, φ-1,n>。因此:

(2)

將此式對(duì)時(shí)間進(jìn)行伸縮和平移變換,并令m=2k+n(其中k、n均為序列的偏移量，均從0開始遞增，m為總的偏移量),則:

(3)

f(t)=∑kcj-1,k2(-j+1)/2ψ(2-j+1t-k)

(4)

將f(t)分別投影到Vj、Wj空間,則有:

f(t)=∑kcj,k2-j/2ψ(2-jt-k)+

∑kdj,k2-j/2φ(t)(2-jt-k)

(5)

上式中,cj,k為剩余系數(shù)或尺度系數(shù),dj,k為小波系數(shù):

將式(3)代入式(4),得:

cj,k=∑mh0(m-2k)∫Rf(t)2(-j+1)/2×

(6)

(7a)

(7b)

將Vj空間尺度系數(shù)cj,k進(jìn)一步分解下去,可分別得到Vj+1和Wj+1空間的剩余系數(shù)cj+1,k和dj+1,k,即著名的MALLAT塔式分解算法,算法原理見圖1。

圖 1 MALLAT分解算法原理Fig. 1 Decomposition algorithm based on the principle of MALLAT

設(shè)函數(shù)f(t)∈Vj-1,將二尺度方程式代入式(5),得:

f(t)=∑kcj,k∑nh0(n)2-(j+1)/2ψ(2-j+1t-2k-n)+∑kdj,k∑nh1(n)2-(j+1)/2ψ(2-j+1t-2k-n)

上式兩邊同時(shí)對(duì)ψj-1,m(t)進(jìn)行內(nèi)積,并且由尺度函數(shù)的正交性得:

cj-1,m=∑kcj,kh0(m-2k)+∑kdj,kh1(m-2k)

(8)

上式即為小波變換的系數(shù)重建公式。重建算法原理見圖2。

圖 2 MALLAT重構(gòu)算法原理Fig. 2 Reconstruction algorithm based on the principle of MALLAT

2 基于有限脈沖響應(yīng)濾波的實(shí)時(shí)小波算法

利用小波系數(shù)、尺度系數(shù)與濾波器系數(shù)的關(guān)系,本文對(duì)式(7)進(jìn)行變形,在分解與重構(gòu)過程中,利用低通、高通濾波器具有的翻轉(zhuǎn)移位等特點(diǎn),可以用低通濾波器來代替高通濾波器,降低在分解與重組過程中因卷積而相乘、相加的次數(shù),達(dá)到快速分解重組的目的。

式(7)的物理意義表明,cj-1,m(n)分別經(jīng)過脈沖響應(yīng)為h0(n)、h1(n)的數(shù)字濾波器的作用之后,再分別對(duì)其進(jìn)行偶數(shù)抽取得到cj,m(n)、dj,m(n)。此處,h0(n)和h1(n)分別為低通濾波器H和高通濾波器G的沖擊響應(yīng)序列,并且g(k)=(-1)1-kh(k),h(k)=h(-k)。其中，g(k)和h(k)分別為高、低通濾波器系數(shù)序列。

設(shè)原始信號(hào)為cm(n),低通濾波器的長度為N,令t=k-2n,則k=2n+t;由于h的長度為N,所以式(7a)可以寫成:

(9)

又由濾波器的性質(zhì)h(k)=h(-k)可得:

cm(2n+1+t)]-h(0)cm(2n)

(10)

同理,式(7b)可以寫成:

(11)

亦可得:

cm(2n+1+t)]-h(0)cm(2n-1)

(12)

對(duì)于重構(gòu)算法,將式(8)寫為:

cm(n)=2pm(n)+2qm(n)

(13)

a)在pm(n)中,令n-2k=t,則:

(14)

上式可以寫為:

(15a)

(15b)

b)在qm(n)中,由濾波器的性質(zhì)h(k)=h(-k)可寫成如下形式:

(16)

令1-n+2k=t,則:

(17)

由濾波器性質(zhì)h(t)=h(-t)可得:

(18a)

(18b)

因此,基于有限脈沖響應(yīng)的實(shí)時(shí)小波信號(hào)重構(gòu)方法為:

由式(19)可得,該算法的輸入量是隨著一定量數(shù)據(jù)的輸入開始計(jì)算的,伴隨著數(shù)據(jù)的不斷輸入對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行不斷的卷積,并得出相應(yīng)的小波系數(shù)和尺度系數(shù)。

用經(jīng)典MALLAT小波快速算法對(duì)色譜信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí),在分解階段中,由于需對(duì)色譜信號(hào)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行2∶1抽樣,故其分解過程可以隔一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行。因此,在分解過程中,每計(jì)算一個(gè)低頻系數(shù)cj,k與一個(gè)高頻系數(shù)dj,k,需要作2N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算和2(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算。對(duì)M(M=2m,為偶數(shù))個(gè)原始離散信號(hào)樣本進(jìn)行解析,一級(jí)小波分解需要進(jìn)行(M/2)×M×N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算與(M/2)×2×N次浮點(diǎn)加法運(yùn)算;而在一級(jí)小波合成運(yùn)算中恢復(fù)一個(gè)點(diǎn)需要作N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算與(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算,則恢復(fù)M個(gè)點(diǎn)需要進(jìn)行M×N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算與M×(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算。由上述分析可得,用經(jīng)典MALLAT算法對(duì)色譜數(shù)據(jù)進(jìn)行一次分解與重組需要進(jìn)行2×M×N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算與2×M×(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算。用本文提出的基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波算法對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行處理時(shí),在分解階段需要進(jìn)行(M/2)×2×N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算與(M/2)×2×(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算。由式(19)可知,分解過程中每計(jì)算一次得到一個(gè)低頻系數(shù)與一個(gè)高頻系數(shù),合成過程中利用濾波器系數(shù)存在的特點(diǎn)可以在計(jì)算過程中一次恢復(fù)相鄰的兩個(gè)數(shù)值,合成階段需要進(jìn)行2×(N-1)次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算,恢復(fù)M個(gè)點(diǎn)則需要進(jìn)行(M/2)×2×(N-1)次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算,由此可得利用改進(jìn)的算法對(duì)色譜數(shù)據(jù)進(jìn)行一次分解與重組處理時(shí)需要進(jìn)行M×N+M×(N-1)次浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算與2×M×(N-1)次浮點(diǎn)加法運(yùn)算。由上述分析可知本文提出的算法與經(jīng)典算法相比可以減少M(fèi)次浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算,隨著樣本量越來越大,改進(jìn)算法進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的計(jì)算量會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于經(jīng)典算法,其增益十分顯著。

綜上所述可得,雖然本文提出的算法和經(jīng)典算法都可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的處理,但是在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解析時(shí),兩種算法處理的數(shù)據(jù)輸入量和時(shí)間復(fù)雜度不同。經(jīng)典算法須在數(shù)據(jù)全部接收之后才能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解析,且時(shí)間復(fù)雜度較大,而改進(jìn)算法在數(shù)據(jù)進(jìn)行采集時(shí)就可以對(duì)已采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,且隨著色譜信號(hào)數(shù)據(jù)樣本量的增加,本文提出的算法相較于經(jīng)典算法處理速度有明顯的提升,能更好地達(dá)到對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)性處理的目的。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 色譜峰信號(hào)的建模

色譜峰信號(hào)通常可以通過Gaussion峰信號(hào)和Tsallis峰信號(hào)進(jìn)行建模[18,19]。其中,Tsallis峰的參數(shù)q取值不同可以得到Gaussion峰信號(hào)波形和Lorentzian峰信號(hào)波形,Tsallis峰信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(20)

式中,A表示峰幅值的大小,μ表示峰頂點(diǎn)的位置坐標(biāo),σ表示峰寬大小。顯然,通過調(diào)節(jié)參數(shù)q可以得到不同的峰形。

在本文構(gòu)造的色譜峰模型中,取q=1.5,A分別為2、1.5、1.5、0.85,μ分別為20、22、28、40,σ分別為2、1.5、1、1。構(gòu)造的色譜峰信號(hào)見圖3a。

3.2 算法仿真

本文將該改進(jìn)算法用于色譜峰的分解與重構(gòu),首先對(duì)色譜峰進(jìn)行建模,并對(duì)信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)高斯噪聲加噪處理,近似模擬出色譜峰的形態(tài),見圖3b(其中橫坐標(biāo)表示采樣點(diǎn)數(shù),縱坐標(biāo)表示信號(hào)的相對(duì)強(qiáng)度)。

在仿真實(shí)驗(yàn)中,本文選用的濾波器見圖4,濾波器長度為16。在小波理論中,分解與重構(gòu)所用低通與高通濾波器系數(shù)都存在對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)、移位等關(guān)系。因此,其他濾波器譜圖都可由該低通濾波器通過對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)、移位等操作得到。

使用經(jīng)典MALLAT算法對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行一級(jí)分解,得到的分解近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)見圖5。

圖 4 低通濾波器頻譜Fig. 4 Spectrum of low pass filter

圖 3 色譜(a)原信號(hào)及(b)其含噪信號(hào)的波形圖Fig. 3 Chromatographic (a) original signal and (b) its noisy signal

圖 5 兩種算法分別對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行一級(jí)分解的頻譜圖Fig. 5 Chromatographic signal spectrum decomposed at first stage with two different algorithms

在多分辨率分析的定義中,雖然研究了伸縮與平移的特性,但是沒有研究尺度函數(shù)支撐長度的問題。在實(shí)際工程應(yīng)用中,考慮到計(jì)算的有效性,即尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是有限支撐的,其所能卷積的數(shù)據(jù)長度也是有限的。本文提出的基于有限長脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波算法,由濾波器長度來決定初次卷積的數(shù)據(jù)長度,同時(shí)把新采集的數(shù)據(jù)及時(shí)加入可卷積的數(shù)據(jù)長度之中,在采集數(shù)據(jù)的同時(shí)對(duì)采集到的與濾波器長度匹配的數(shù)據(jù)進(jìn)行分解與重構(gòu)。用該算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行第一次分解的頻譜圖見圖5。

重構(gòu)信號(hào)時(shí),使用經(jīng)典算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行一級(jí)重構(gòu),以及使用本文提出的實(shí)時(shí)小波算法處理結(jié)果見圖6。

在仿真實(shí)驗(yàn)中,本文用兩種不同方法在一臺(tái)雙核CPU(1.70 GHz, 2.40 GHz)、安裝Windows 8.1系統(tǒng)的電腦上進(jìn)行色譜信號(hào)解析,并在Matlab R2009a下進(jìn)行仿真測(cè)試。分別用經(jīng)典算法與本文提出的實(shí)時(shí)小波算法對(duì)本文建模的含噪色譜信號(hào)(信噪比為33.688 3 dB,均方誤差為0.039 8)進(jìn)行處理,得到的重構(gòu)信號(hào)見圖7。

經(jīng)兩種算法處理后,信號(hào)的信噪比變?yōu)?2.651 4 dB,均方誤差變?yōu)?.014 2。實(shí)驗(yàn)中對(duì)分解與合成所耗費(fèi)的時(shí)間進(jìn)行了多次統(tǒng)計(jì)計(jì)算并求平均值,結(jié)果見表1。

圖 6 兩種算法分別對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行一級(jí)重構(gòu)的頻譜圖Fig. 6 Chromatographic signal spectrum reconstructed at first stage with two different algorithms

ItemAveragetime-consuming(classicalalgorithm)/sAveragetime-consuming(proposedalgorithm)/sLowfrequencysignal(decomposition)4.87865×10-42.4437×10-6Highfrequencysignal(decomposition)4.17291×10-42.8103×10-6Lowfrequencysignal(reconstruction)4.43476×10-42.8653×10-5Highfrequencysignal(reconstruction)3.84254×10-43.0425×10-5Reconstructionoriginalsignal1.73227×10-51.5469×10-5

圖 7 兩種算法分別對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)的頻譜圖Fig. 7 Chromatographic signal spectrum reconstructed with two different algorithms

仿真實(shí)驗(yàn)中,本文用兩種算法對(duì)含不同信噪比(signal to noise ratio, SNR)的信號(hào)進(jìn)行了處理,結(jié)果見表2。

表 2 兩種算法對(duì)不同信噪比信號(hào)進(jìn)行處理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

由圖7、表1、表2可得,在同等條件下,改進(jìn)算法可與經(jīng)典算法獲得相同的去噪處理效果。但改進(jìn)算法對(duì)色譜信號(hào)進(jìn)行解析比經(jīng)典算法所用時(shí)間明顯減少。改進(jìn)算法降低了在卷積過程中浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的次數(shù),隨著原始色譜采樣數(shù)據(jù)量的增加,改進(jìn)算法的時(shí)間增益較經(jīng)典算法會(huì)越來越明顯,實(shí)時(shí)性的優(yōu)勢(shì)也會(huì)更加顯著。

用經(jīng)典算法與實(shí)時(shí)小波算法分別對(duì)一段自高壓液相色譜儀中采集的信號(hào)進(jìn)行解析,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。自色譜儀采集的含噪信號(hào)信噪比為48.858 0 dB,經(jīng)處理過后信噪比為63.918 9 dB,經(jīng)典算法耗時(shí)2.003 5×10-5s,實(shí)時(shí)小波算法耗時(shí)1.240 2×10-5s。

圖 8 (a)含噪信號(hào)及(b)其重構(gòu)信號(hào)的色譜圖Fig. 8 Chromatographic (a) noisy signal and (b) its reconstruction signal

4 結(jié)論

本文提出了一種基于有限脈沖響應(yīng)濾波器的實(shí)時(shí)小波算法,并將其應(yīng)用于對(duì)色譜信號(hào)的去噪及實(shí)時(shí)處理的仿真實(shí)驗(yàn)中。與經(jīng)典MALLAT算法相比,本算法對(duì)信號(hào)的分解與重組過程進(jìn)行了更為清晰的解析,而且克服了經(jīng)典算法在對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理方面的局限性,明顯提高了實(shí)時(shí)性,取得了很好的解析與重構(gòu)效果。

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A real-time wavelet algorithm and its application in chromatographic signal analysis based on finite impulse response filter

ZHANG Jing, LI Yu*, REN Shunwen

(SchoolofInformationScienceandEngineering,EastChinaUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200237,China)

The precise real-time analysis of the chromatographic signal is the key technology in process detection using chromatographic instrument system. Chromatographic signal can be effectively analyzed with the wavelet transform. However, the performance of real-time is not satisfactory and become a bottleneck of its wide applications. As a fast algorithm of wavelet analysis, the multi-resolution analysis (MALLAT) algorithm can still not satisfy the requirements of real-time performance. Considering the MALLAT algorithm and the relationship between filter coefficients of the decomposition and reconstruction, a novel real-time wavelet analysis method based on finite impulse response filter was proposed in this paper. Simulation results showed that the real-time performance of proposed algorithm is greatly improved on the basis of same effects compared with the classical MALLAT wavelet algorithm.

chromatographic signal; online mode; wavelet analysis; real-time performance

10.3724/SP.J.1123.2016.09044

2016-09-27

O658

A

1000-8713(2017)04-0368-07

* 通訊聯(lián)系人.E-mail:liyu@ecust.edu.cn.