郭兵，孫乃毅，楊大彬

（1.山東建筑大學土木工程學院，山東濟南250101；2.榮成市建筑工程質量造價監(jiān)督管理站，山東榮成264300）

簡支梁彈性臨界彎矩計算方法研究進展

郭兵1，孫乃毅2，楊大彬1

（1.山東建筑大學土木工程學院，山東濟南250101；2.榮成市建筑工程質量造價監(jiān)督管理站，山東榮成264300）

整體穩(wěn)定系數是計算剛結構受彎構件整體穩(wěn)定的重要依據，而彈性臨界彎矩是影響整體穩(wěn)定系數的主要因素，因此彈性臨界彎矩準確與否直接影響穩(wěn)定計算結果。目前，簡單條件下簡支梁彈性臨界彎矩的計算方法采用的是精確法，但適用范圍有限；復雜條件下簡支梁彈性臨界彎矩的計算方法采用的是簡化法，對于任意荷載和側向支撐條件下的簡支梁臨界彎矩，只能借助等效彎矩系數來進行簡化計算。文章闡述了簡單條件下的精確法、復雜荷載下的精確法、復雜條件下的簡化法等不同結構荷載條件下求解臨界彎矩方法的研究進展，通過研究在荷載作用點位置、相鄰梁段間的支持、整體穩(wěn)定系數等影響因素，闡述了復雜條件下彈性臨界彎矩計算的簡化法存在的問題、影響及根源，對復雜條件下的簡支梁彈性臨界彎矩計算的能量法進行了展望。

簡支梁；彈性臨界彎矩；簡化法；等效彎矩系數；總勢能

0 引言

鋼結構中的受彎構件有可能發(fā)生整體失穩(wěn)，需要利用整體穩(wěn)定系數φb來進行相應的穩(wěn)定計算，而影響φb的主要因素是構件的彈性臨界彎矩Mcr，因此Mcr準確與否直接影響穩(wěn)定計算結果［1-6］。彈性穩(wěn)定理論最早由歐拉提出，已經發(fā)展了二百年，但有些問題至今沒有徹底解決，簡支梁的Mcr計算方法就是其中之一。

均勻受彎簡支梁的Mcr計算公式可以通過靜力平衡法得到，屬于解析解［7-10］，并無爭議。非均勻受彎簡支梁的Mcr計算公式從理論上講可以通過能量法得到［7-10］，但由于學術界對受彎構件的總勢能公式及變形函數等問題還有不同的看法，導致Mcr的計算公式很多，利用不同公式得到的計算結果也存在一定程度的偏差。

采用能量法計算Mcr時要用到受彎構件的總勢能公式，但目前總勢能公式有很多種，比較有代表性的是Bleich公式［7］、呂烈武公式［8］和童根樹公式［11］。對于雙軸對稱截面受彎構件，因截面不對稱系數βy＝0，上述3個總勢能公式沒有差別［9］，所得Mcr公式亦相同，但當截面單軸對稱時，βy≠0，3個總勢能公式并不相同，所得Mcr公式［11］或者相關參數［12］也不相同。另外，利用能量法計算Mcr時需要先假設構件的側向彎曲變形函數、扭轉變形函數，所得Mcr屬于近似解，Mcr的精度與假設變形函數的精度直接相關。

1956年，Salvadori［13］針對端彎矩作用下工字形截面簡支梁的Mcr計算提出了一種簡化方法，通過等效彎矩系數βb將非均勻受彎構件等效成均勻受彎，并給出了βb計算公式，該方法簡便實用且精度較高，為復雜條件下簡支梁的Mcr計算提供了一條思路。考慮到工程中的受彎構件大多承擔橫向荷載，1979年Kirby等［14］將上述簡化方法推廣至任意荷載形式下的雙軸對稱工字型截面簡支梁，并給出了相應的βb計算公式，該公式僅適用于橫向荷載作用點位于構件的截面剪心［15］。上述諸簡化方法被美、英、日、加等很多國家和地區(qū)的規(guī)范采納，我國規(guī)范也不例外。

后來，Greiner等［16］、Suryoatmono等［17］、Serna等［18］和陳驥［19］等又對Kirby提出的βb計算公式進行了修正，但區(qū)別不大，仍僅適用于橫向荷載作用的截面剪心。羅金輝等［20］針對橫向均布荷載及反對稱彎矩共同作用下的單軸對稱截面簡支梁，楊波［21］針對一端彎矩和上翼緣橫向均布荷載共同作用下的雙軸對稱截面簡支梁，周芬等［22］針對上翼緣均布荷載、下翼緣跨中集中荷載共同作用下的雙軸對稱截面簡支梁分別提出了相應的βb計算公式，可見βb的計算公式都有特定的適用范圍。

周緒紅等［23］曾給出過簡支梁的Mcr通用計算公式，可適用于不同的荷載形式，比如端彎矩、滿跨均布荷載、單個集中荷載，但只能為單一荷載，不適用于多種荷載同時作用。劉占科等［24］對周緒紅的Mcr通用公式進行了修正，可同時考慮多種荷載，但更適合對稱荷載，荷載越不對稱偏差越大，當荷載反對稱時完全不適用。管海龍等［25］也提出了Mcr的通用計算公式，可適用于端彎矩、均布荷載及集中荷載共同作用下的簡支梁，荷載可以不對稱，但其中的集中荷載數量只能為單個，而且均布荷載與集中荷載在截面上的作用點位置必須相同。褚昊等［26］針對單個移動集中荷載下的簡支梁，給出了Mcr的表達式。

僅荷載形式就已經使簡支梁的穩(wěn)定問題非常復雜，當簡支梁跨中設有任意側向支撐時，相鄰梁段間的支持作用將使問題變得更加復雜，目前各國規(guī)范普遍忽略了相鄰梁段間的支持作用，計算結果很保守［15，27-29］。

由此可見，現有簡支梁的彈性穩(wěn)定理論還不完善，Mcr計算方法都有特定的適用范圍，有些方法還過于簡化，不能滿足工程需求。雖然利用有限元等數值方法可以得到任意受彎構件的Mcr高精度值，但費時費力，對工程設計來說也不現實。為便于說明問題，文章針對雙軸對稱工字形截面彈性簡支梁的現有各種Mcr計算方法進行討論，通過若干典型算例，就其存在的問題以及產生問題的原因進行探討，目的是找出今后的研究方向，以期引起學術界和工程界的重視。

1 簡單條件下Mcr計算的精確法

當簡支梁的荷載及邊界條件都比較簡單時，利用靜力平衡法或者能量法可以得到彈性臨界彎矩Mcr的解析解或者高精度解［7-10］。

1.1 均勻受彎簡支梁

對于承擔均勻彎矩M且跨中無側向支撐的彈性簡支梁，如圖1所示，構件有可能發(fā)生側向彎扭失穩(wěn)，由靜力平衡法得到的Mcr解析解可采用式（1）表示為

式中：Mcr為梁的彈性臨界彎矩，N·m；l為梁的跨度，m；βy為截面不對稱系數，無量綱；Iy為繞弱軸的慣性矩，m4；It為抗扭慣性矩，m4；Iω為翹曲慣性矩，m6；E為鋼材的彈性模量，N/m2；G為鋼材的剪切模量，N/m2。

1.2 跨中央單個橫向集中荷載作用下的簡支梁

當簡支梁跨中央作用有單個橫向集中荷載Q且跨中設有等間距布置的側向支撐時，如圖2所示，由能量法得到的Mcr高精度近似解可由式（2）表示為

式中：C1、C2、C3分別為與側向支撐數量有關的參數，無量綱，取值見表1，表中括號內為GB 50017—2012鋼結構設計規(guī)范修訂報批稿［30］（規(guī)范修訂報批稿）的建議值；lb為等間距布置的側向支撐間距，m，如圖2所示，當跨中無側向支撐時lb＝l；a為橫向荷載作用點至截面剪心S的距離，m，當作用點位于剪心之上時a取負值，反之a取正值。

1.3 滿跨均布荷載作用下的簡支梁

當簡支梁承擔滿跨均布荷載q且跨中設有等間距布置的側向支撐時，采用能量法同樣可以得到Mcr表達式，與式（2）完全相同，只有參數C1、C2、C3的取值不同，見表1。

由式（2）和表1可以看出，橫向荷載類型、荷載作用點位置、側向支撐數量等參數均對Mcr影響較大。由于式（2）是基于整個構件的總勢能公式得出的，綜合考慮了各種因素的影響，無需再進行修正。

圖1 跨中無側向支撐的均勻受彎簡支梁圖

圖2 跨中央單個橫向集中荷載作用下的簡支梁圖

表1 參數C1、C2、C3值

1.4 端彎矩作用下的簡支梁

當簡支梁承擔端彎矩M1、M2且跨中無側向支撐時，利用能量法可得到Mcr的高精度近似解，因表達式較為復雜，可由式（3）［8-10］表示為

式中：βb為等效彎矩系數，無量綱；M0cr為均勻受彎簡支梁的臨界彎矩，由式（2）計算。

由式（3）可以看出，利用βb可以將非均勻受彎簡支梁等效成均勻受彎簡支梁，使穩(wěn)定計算大為簡化。影響βb的主要因素是荷載形式（端彎矩的比值）和梁截面類型，βb與M2／M1的關系曲線如圖3所示，在陰影區(qū)范圍內上下波動。1956年，Salvadori［13］通過分析后給出了兩個βb的擬合公式，由式（4）和（5）表示為

式中：M1、M2為端彎矩，N·m。當｜M1｜≥｜M2｜，M1、M2使梁產生同向曲率時同號，而產生異向曲率時異號。

圖3 端彎矩作用下簡支梁的βb—M2／M1曲線圖

歐洲EC 3—2005規(guī)范采納了式（4）做為βb的上限；日本AIJ2010規(guī)范、加拿大CAN/CSAS16—09規(guī)范以及規(guī)范修訂報批稿等多國規(guī)范采納式（5）做為βb的下限。

2 復雜荷載下Mcr計算的精確法

對于跨中無側向支撐的簡支梁，當荷載比較復雜時也可以利用能量法得到彈性臨界彎矩Mcr的高精度解［23-26］，Mcr的表達式與Clark［31］給出的簡單荷載下的Mcr表達式在形式上完全相同，由式（6）表示為

式（6）稱為各類荷載下Mcr的通用表達式，不同的荷載形式對應不同的C1、C2、C3值，其中簡單荷載下的C1、C2、C3值見表1。周緒紅等［23］、劉占科等［24］、管海龍等［25］和褚昊等［26］都曾經給出過復雜荷載下C1、C2、C3的計算表達式，這些研究成果有以下共同的特點：

（1）C1、C2、C3需要進行復雜的積分運算，設計時不方便使用；

（2）具有一定的適用范圍，要么要求荷載必須對稱，要么對荷載數量有限制，在適用范圍內是準確的，一旦超出范圍，偏差很大。

因此，真正意義上的Mcr通用表達式并沒有找到，但上述文獻都為今后的研究提供了有益借鑒思路。目前各國規(guī)范對復雜條件下簡支梁的Mcr只能采用簡化方法來計算。

3 復雜條件下Mcr計算的簡化法

雖然式（1）～（3）的精度較高，但有特定的適用范圍，遠不能滿足工程中荷載形式、側向支撐復雜多變的需求；式（2）雖然涉及到側向支撐，但必須為等間距布置；式（6）雖然可以用于復雜荷載，但計算過程非常繁瑣。因此目前各國規(guī)范中復雜條件下簡支梁的彈性臨界彎矩Mcr都是采用簡化法來計算，也就是通過修改等效彎矩系數βb并借助于式（3）來進行計算。

復雜條件下簡支梁可以分為兩類：（1）荷載復雜，包括荷載形式、荷載在截面的位置等；（2）側向支撐復雜，包括支撐的數量、位置等。

3.1 任意荷載作用下的簡支梁

Kirby等［14］認為跨中無側向支撐簡支梁在任意荷載作用下的Mcr仍可用式（3）來計算，并給出了荷載作用在截面剪心時雙軸對稱工字形截面簡支梁的βb經驗公式，由式（7）表示為

式中：Mmax為梁的最大彎矩，N·m；MA、MB、MC分別為梁跨四分點處的彎矩（如圖4所示），N·m；以上各彎矩均取絕對值。

圖4 任意荷載作用下的簡支梁圖

對于荷載作用在截面剪心的雙軸對稱工字形截面簡支梁，式（7）精度較高，被多國規(guī)范略加修改后推廣至單軸對稱工字形截面受彎構件，其中，規(guī)范修訂報批稿及美國ANSI/AISC 360—10規(guī)范均采用式（8）表示為

英國BS5950—1：2000規(guī)范則采用了式（9）表示為

后來，Greiner等［16］采用有限單元法、Suryoatmono等［17］采用有限差分法分別研究了各類邊界條件下荷載作用在剪心時雙軸對稱工字形截面受彎構件的βb，并提供了相應的計算表格。Serna等［18］利用上述成果，給出了雙軸對稱工字形截面的βb閉合解，由式（10）表示為

陳驥［19］認為式（10）的安全余地偏小，建議調整式（10）由式（11）表達為

以圖5所示的兩個雙軸對稱工字形截面簡支梁為例，假設橫向集中荷載Q均作用在構件的截面剪心，利用式（7）～（11）得到的βb值見表2，其中括號內為與有限元解的誤差百分比?？梢钥闯?，最大誤差不足6%，且均為負偏差，說明上述各式的精度較高且略偏安全。

雖然圖5（b）所示簡支梁的跨中央設有一個側向支撐，但因構件與荷載均對稱，左右兩個梁段之間并無相互支持作用，兩個梁段的βb相等，可只取其中的一個梁段來計算。

圖5 橫向集中荷載作用下的簡支梁圖

表2 荷載作用在剪心時根據不同公式得到的βb值

值得注意的是，式（7）～（11）都是根據荷載作用在構件截面剪心時的工字形截面得出的，而工程中的橫向荷載普遍不作用在剪心，比如吊車梁等，因此實際適用范圍仍然很有限，但各國規(guī)范中并沒有提及相應的對策。

除了上述βb公式之外，楊波［21］針對雙軸對稱工字形截面簡支梁，采用有限元法分析了一端彎矩M和上翼緣橫向均布荷載q共同作用下的βb分段擬合公式，由式（12）～（14）表示為

式中：α為端彎矩M與ql2／8的比值，無量綱；l為梁的跨度，m；ξ為經驗參數，無量綱；l1為受壓翼緣的自由長度，m；t1為受壓翼緣的厚度，m；b1為受壓翼緣的自由寬度，m；h為梁截面高度，m。

周芬等［22］針對雙軸對稱工字形截面簡支梁，采用能量法推導了上翼緣均布荷載q、下翼緣跨中央集中荷載Q作用下的βb分段擬合公式，由式（15）、（16）表示為

式中：α為集中荷載Q與ql的比值，無量綱。

式（12）～（16）雖然可以考慮荷載作用點不在剪心時的影響，但荷載的形式比較特殊，適用范圍很有限，只能作為一種補充。

3.2 任意側向支撐下的簡支梁

當跨中設有不等間距的任意側向支撐時，短梁段的線剛度較大，長梁段的線剛度較小，長梁段有先于短梁段發(fā)生整體失穩(wěn)的趨勢，相鄰的短梁段必然會對長梁段提供約束支持作用，最終同步發(fā)生失穩(wěn)，這使得梁的彈性屈曲分析非常復雜。由于研究資料匱乏，目前各國普遍采用下述簡化法［19，29］來計算任意側向支撐下簡支梁的彈性臨界彎矩：

（1）將側向支撐間的各梁段看作獨立的簡支梁；

（2）采用式（3）來分別計算各梁段的臨界彎矩，當梁段的彎矩呈線性變化時βb采用式（4）、（5）來計算，當梁段的彎矩呈非線性變化時βb采用式（8）或（9）來計算；

（3）將全部梁段中最小的臨界彎矩作為整個構件的臨界彎矩。

依據上述簡化方法得到臨界彎矩顯然由最弱的梁段控制，由于忽略了相鄰梁段對最弱梁段提供的支持作用，所得臨界彎矩必然偏低，這是偏于安全的，但有時會過于保守。

4 復雜條件下Mcr計算的簡化法存在的問題、影響及根源

對于復雜荷載或側向支撐條件下的彈性簡支梁，各國規(guī)范提供的計算Mcr簡化法要么假設橫向荷載作用在截面剪心，要么忽略了相鄰梁段間的相互支持作用，計算結果必然有偏差，下面逐一舉例分析。

4.1 荷載作用點位置的影響

從前面可以看出，任意荷載及側向支撐條件下的簡化法均采用了式（3）來計算Mcr，僅是βb的計算方法不同。式（3）原本是由端彎矩作用下的簡支梁得出的［13］，不涉及橫向荷載，也就沒有荷載作用點位置的問題，而任意荷載下勢必涉及到橫向荷載，也就有荷載作用點位置問題。為能夠繼續(xù)利用式（3），各國規(guī)范推薦的相對應βb公式無不假設荷載作用在構件的截面剪心，這是合適的，但也回避了荷載作用點位置的問題。

荷載作用點位置對Mcr的影響很大［10］，仍以圖5所示的兩個簡支梁為例，利用式（3）、（8）計算的荷載作用在不同位置時的Mcr和修正［29］計算的Mcr見表3，其中括號內為與有限元解的誤差百分比。由表3可以看出：當荷載作用在剪心時，誤差很小且略偏安全；當荷載作用在上、下翼緣時，誤差接近±30%，偏高和偏低現象并存，偏低尚可允許，偏高則會帶來安全隱患。

表3 荷載作用點位置對Mcr的影響/（kN·m）

為解決上述問題，陳紹蕃［29］提出了一種修正方法，將式（8）分別乘以調整系數0.75、1.5來考慮荷載作用點位置的影響，可由式（17）、（18）表示為

荷載作用在上翼緣時

荷載作用在下翼緣時

利用上述修正方法計算的Mcr，見表3。用于圖5（a）構件時盡管誤差不大，但仍然存在正偏差；用于圖5（b）構件時誤差較大的現象依然存在，甚至偏高30%，可見該方法只能用于一些特定情況，并沒有徹底解決問題。

4.2 相鄰梁段間的支持作用

當簡支梁跨中設有側向支撐時，如果相鄰梁段的長度或彎矩圖不相同，各梁段的側向抗彎和抗扭能力也不同，有強有弱，導致梁段間存在相互支持作用，由于簡化法忽略了該支持作用，所得Mcr必然偏低。

以圖6所示跨中設有一個側向支撐的均勻受彎簡支梁為例，利用式（3）、（5）得到的Mcr和修正法［27-28］計算的Mcr見表4，其中括號內為與有限元解的誤差百分比，可見偏低幅度在30%以上，雖無安全問題，但明顯過于保守，側向支撐分布越不均勻，梁段間的支持作用越顯著，簡化法越保守。

圖6 側向支撐不等間距時的均勻受彎簡支梁圖

表4 梁段間支持作用對Mcr的影響/（kN·m）

考慮梁段間支持作用的研究資料也不多，目前較簡便的方法是修正法，在式（3）的基礎上引入梁段的計算長度系數μ來對Mcr進行修正。修正后的Mcr可由式（19）表示為

式中：μ為用來考慮梁段間支持作用的計算長度系數，無量綱；lb為所計算梁段的長度，m。

Nethercot等［27］、Tong等［28］都提供了確定μ的方法，兩種方法區(qū)別不大，都是借鑒了有側移框架柱μ的計算方法，也就是把弱梁段比作框架柱，把相鄰的左右梁段比作框架梁，通過其線剛度的比值來計算μ，具體過程如下：

（1）先把側向支撐間的各梁段按獨立的簡支來考慮，利用式（3）、（8）可以計算出各梁段的臨界彎矩。

（2）找出臨界彎矩最小的梁段，該梁段稱為最弱梁段，為了便于解釋，這里假設第i個梁段為最弱梁段，其臨界彎矩記作Mcr，i，相鄰左右梁段的臨界彎矩分別記作Mcr，i-1、Mcr，i＋1。

（3）按式（20）～（22）分別計算最弱梁段及相鄰梁段的線剛度αi、αi-1及αi＋1。

最弱梁段

相鄰的第i-1梁段

相鄰的第i＋1梁段

式中：li、li-1、li＋1分別為第i、i-1、i＋1梁段的幾何長度，m；γ為線剛度調整系數，無量綱，當遠端鉸接時γ＝3，遠端固接時γ＝4，遠端為連續(xù)梁時γ＝2。

（4）利用式（23）計算相鄰梁段的線剛度之比K1、K2，然后再由式（24）計算最弱梁段的計算長度系數μ。

仍以圖6所示簡支梁為例，按上述修正法計算的臨界彎矩見表4，可以看出，修正法比簡化法有一定的進步。由于式（19）是基于式（1）、（3）得到的，修正法同樣無法考慮橫向荷載作用點位置的影響。

4.3 簡化法對整體穩(wěn)定系數的影響

工程設計中，受彎構件的整體穩(wěn)定都是通過穩(wěn)定系數φb來計算的，目前世界各國規(guī)范普遍借鑒軸壓構件的柱子曲線來構建受彎構件的φb—λb曲線［2，4］，如圖7所示，λb為受彎構件的正則化長細比，無量綱。

圖7 受彎構件的φb—λb曲線圖

規(guī)范修訂報批稿借鑒歐洲和日本的方法并結合我國國情給出的φb—λb曲線可由式（25）、（26）表示為

式中：λb0為初始正則化長細比，無量綱；n為與截面類型和成型方式有關的參數，無量綱；γx為對強軸的截面塑性發(fā)展系數，無量綱；Wx為按受壓翼緣確定的繞強軸的毛截面模量，m3；fy為鋼材的屈服強度，N/m2。鋼結構設計規(guī)范修訂報批稿給出了參數λb0和n的查用表格及計算方法，不再羅列。

由式（25）、（26）可以看出，Mcr準確與否將直接影響φb值。仍以圖5、6所示的簡支梁為例（假設材料均為Q235），將表3、4中各種方法計算的Mcr代入式（25）、（26）后，所得φb見表5、6，其中括號內為與有限元解的誤差百分比?？梢钥闯?，現有簡化方法、修正方法引起的φb誤差同樣不可忽略，而且仍然存在正偏差情況，意味著偏于不安全，應引起足夠的重視。

4.4 問題的根源

式（3）原本是利用能量法分析端彎矩作用下跨中無側向支撐的簡支梁所得到的結論，采用的總勢能公式［7］、構件彎矩表達式、構件側向彎曲變形、扭轉變形表達式可分別由式（27）～（30）［13］表示為

表5 現有方法計算圖5構件所得φb

表6 現有方法計算圖6構件所得φb

式中：Π為總勢能，J；z為構件的縱向坐標，m，如圖1所示；M為z坐標處的截面彎矩，N·m；u為z坐標處截面剪心的側向位移，m；θ為z坐標處截面繞剪心的扭轉角，rad；A1、A2、B分別為側向彎曲變形函數和扭轉變形函數的獨立參數（廣義坐標），無量綱。

由于式（28）能夠準確描述構件的彎矩，式（29）、（30）描述的側向彎曲和扭轉變形形式也與構件的實際變形相匹配，因此代入式（27）后得到的式（3）是比較精確的。但是簡化方法將式（3）推廣至任意條件下的簡支梁時，存在以下缺陷：

（1）任意條件下簡支梁的彎矩表達式、側向彎曲和扭轉變形函數不可能與式（28）～（30）完全一致，因此結構應變能有差別，必然影響總勢能；

（2）端彎矩作用下的簡支梁不涉及橫向荷載，式（27）中也就沒有橫向荷載產生的外力勢能項，而任意條件下涉及橫向荷載，也就有相應的外力勢能，因此總勢能有差別；

（3）βb原本是用來考慮荷載形式（端彎矩比值）和截面類型對Mcr影響的參數，若再令其兼顧考慮荷載作用點位置、梁段間支持作用等對Mcr的影響，很難實現。

由此可見，由上述缺陷引發(fā)的一系列問題不可能僅通過修正βb或者增加μ等簡單方法就能解決，甚至有可能顧此失彼。

5 展望

目前簡單條件下簡支梁的彈性臨界彎矩計算方法已比較準確，而復雜條件下簡支梁的彈性臨界彎矩計算方法還不完善，各國規(guī)范不得不采用簡化法，這導致計算結果可能偏低也可能偏高，直接影響整體穩(wěn)定系數，進而影響到結構的安全性和經濟性，需引起足夠的重視。

復雜條件下簡支梁的彈性臨界彎矩可以采用能量法來求解，今后的主要研究方向是找出能夠模擬任意荷載及側向支撐條件下簡支梁的通用側向彎曲變形函數、通用扭轉變形函數以及通用彎矩表達式，這樣才能精確計算出簡支梁的總勢能，從而得到復雜條件下簡支梁的臨界彎矩通用表達式及高精度解。由于能量法已經全面考慮了各種可能的影響因素，無需再對計算結果進行修正或調整，可以從根本上徹底解決問題。

找到簡支梁的通用側向彎曲變形函數、通用扭轉變形函數相對容易，可以采用由多個可能位移函數通過線性組合而成的多項式來表達，其中可能位移函數可采用三角函數的形式。變形函數的多項式不宜超過兩項，否則計算總勢能時過于復雜，得到的臨界彎矩表達式會比較繁瑣，給使用帶來不便。另外，變形函數應至少滿足位移邊界條件，如果還能同時滿足力學邊界條件，則計算精度會更高。

找到簡支梁的通用彎矩表達式則有一定的困難。由于簡支梁的荷載類型、數量及位置復雜多變，彎矩圖也隨之變化，如果不給定具體的荷載類型、數量及位置，則很難寫出彎矩表達式，也就不能進行總勢能計算。一旦給定了具體的荷載類型、數量及位置，雖然可以寫出彎矩的準確表達式，但又不具備通用性，這是一對矛盾，相信工程界和學術界總會找到合適的解決辦法。

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Research process of elastic criticalmoment of sim ple beam s

Guo Bing1，Sun Naiyi2，Yang Dabin1
（1.School of Civil Engineering，Shandong Jianzhu Univesity，Jinan 250101，China；2.Rongcheng Supervision and Management Station of Construction Engineering Quality and Cost，Rongcheng 264300，China）

The overall stability coefficient is an importantbasis for calculating the structure just by the overall stability of bendingmember.Elastic criticalmoment is themain factor affecting the diameter of the overall stability coefficient so the accuracy directly affects the stability of the calculation results. The calculation method of critical elastic moment of simple beam under simple conditions is accurate method，but the application scope is limited；the calculationmethod of criticalmomentof elastic beam under complex conditions is the simplified method，and the criticalmoment for beam arbitrary loading and lateral support conditions，only to simplify the calculation bymeans of equivalentbendingmoment coefficient.This paper expounds the simple conditions，exact method under complex load under complicated conditions，exact method simplified method of different load conditions for the critical moment of criticalmomentmethod and the research progress in influence factors through the research on the position of the loading pointand the adjacent beam segmentbetween the supportand the overall stability coefficient under the influence of the simplified method under complex conditions elastic criticalmoment calculation problems and causes.and makes prospect for the energy method for the calculation of criticalmoment of elastic beam under complex conditions.

simple beams；elastic critical moment；simplified method；equivalent moment coefficient；total potential energy

TU391

A

1673-7644（2017）01-0069-09

2016-12-23

國家自然科學基金項目（51308326）

郭兵（1970-），男，教授，博士，主要從事鋼結構等方面的研究.E-mail：sdgb123＠163.com