構(gòu)造平行四邊形證明三角形三條高所在直線交于一點

江蘇省興化市顧莊學(xué)校(225724) 李 霞 ●

江蘇省興化市安豐水初級中學(xué)(225766) 張建權(quán) ●

構(gòu)造平行四邊形證明三角形三條高所在直線交于一點

江蘇省興化市顧莊學(xué)校(225724) 李 霞 ●

江蘇省興化市安豐水初級中學(xué)(225766) 張建權(quán) ●

一、問題的提出

眾所周知，三角形的三條高、三條中線和三條角平分線所在直線都分別交于一點．在這三個命題中，三角形的三條高所在直線交于一點最難證明，原因有兩個:一、要對三角形進(jìn)行分類;二、要么所需知識超出教材范圍，要么過程極其復(fù)雜．蘇教版教材沒有對此進(jìn)行證明，只是在初一學(xué)習(xí)“三角形的高”時讓學(xué)生動手操作感受一下，這不能不說是一種遺憾．

那么，有沒有一種方法既不超出教材范圍，過程又比較簡單呢?下面本文將呈現(xiàn)這樣的方法，以供同行分享借鑒，不當(dāng)之處，還望批評指正．

二、證明過程

在蘇教版教材八年級上冊第二章《軸對稱圖形》第2．4節(jié)中，有這樣一道例題:

如圖1(1)，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O．證明:點O在BC的垂直平分線上．

其證明過程很簡單，如圖1(2)，連接OA、OB、OC．因為點O在AB的垂直平分線上，所以O(shè)A=OB，同理OA= OC，從而OB=OC，所以點O在BC的垂直平分線上．學(xué)生在初三學(xué)習(xí)了三角形的外接圓后，知道這個點O即為三角形的外心．這道例題本質(zhì)上揭示了這樣一個結(jié)論，即三角形三邊的垂直平分線交于一點．

如果能通過某種方法，將三角形三條高所在直線交于一點轉(zhuǎn)化為另一個三角形三邊的垂直平分線交于一點，那么就形成了本文所要呈現(xiàn)的方法，其過程如下:

一、當(dāng)三角形為直角三角形時．

如圖2，其三條高所在直線顯然交于一點．

二、當(dāng)三角形為銳角三角形時．

如圖3，分別過三角形的三個頂點作對邊的平行線，交點分別為M、N、Q，由MN∥BC，AB∥QN可知，四邊形ABCN為平行四邊形，所以AB=CN．再由MQ∥AC，AB∥QN可知，四邊形ABQC為平行四邊形，所以AB=QC，因此NC=QC，即點C為QN的中點．再由CF⊥AB，AB∥QN得，CF⊥QN，所以CF垂直平分QN．同理，BE垂直平分MQ，AD垂直平分MN．因此，AD、BE、CF分別垂直平分MN、MQ、QN．根據(jù)“三角形三邊的垂直平分線交于一點”得，AD、BE、CF交于一點．

三、當(dāng)三角形為鈍角三角形時．

如圖4，分別過三角形的三個頂點作對邊的平行線，交點分別為M、N、Q，其證明過程與第二種情形一致．

從證明過程可以看出，雖免不了對三角形的形狀進(jìn)行分類，但這并沒有對證明方法和難度產(chǎn)生影響．證明過程只是包含了平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)和“三角形三邊的垂直平分線交于一點”這一結(jié)論，應(yīng)該說難度很小，學(xué)生很容易理解和接受．

教材在初二《軸對稱圖形》這一章中出現(xiàn)了證明三角形三條角平分線交于一點的例題，在初三《圖形的相似》這一章中利用中位線的性質(zhì)對三角形三條中線交于一點進(jìn)行了證明，唯獨沒有出現(xiàn)三角形的三條高所在直線交于一點的證明，這個遺憾只能由教師去彌補了．教材在證明中位線定理時也是構(gòu)造了平行四邊形，教師不妨在講中位線定理之前介紹文中的證明方法，這樣既彌補了教材的遺憾，又鞏固了幾何證明中的構(gòu)造平行四邊形的方法．

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