李逸良 邱信明

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

大學(xué)生園地

車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)內(nèi)輪差的運(yùn)動學(xué)理論模型1)

李逸良 邱信明2)

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

基于剛體運(yùn)動學(xué)知識，利用速度投影定理建立了針對單車、半掛車的最大內(nèi)輪差的運(yùn)動學(xué)理論分析模型.模型可以給出車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)不同車輪的軌跡，并得出內(nèi)輪差的準(zhǔn)確計(jì)算公式.通過定量討論車輛最大內(nèi)輪差隨車身尺寸、回轉(zhuǎn)半徑的變化規(guī)律，對于行人和駕駛員提出了具體的操作建議，以避免內(nèi)輪差造成的交通事故.

內(nèi)輪差,半掛車,軸距,速度投影定理,交通安全

由于車輛自身的體積，轉(zhuǎn)彎時(shí)其前后輪的運(yùn)行軌跡并不相同.內(nèi)后輪的軌跡半徑要小于內(nèi)前輪的軌跡半徑，這意味著車輛轉(zhuǎn)彎過程中會向著圓心的方向不斷靠近.轉(zhuǎn)彎時(shí)車輛內(nèi)前輪的轉(zhuǎn)彎半徑與內(nèi)后輪的轉(zhuǎn)彎半徑之差，通常被稱為內(nèi)輪差.如圖 1所示，由于內(nèi)輪差的存在，前后內(nèi)車輪軌跡之間會形成一個危險(xiǎn)區(qū)域，進(jìn)入這個區(qū)域的行人和非機(jī)動車很容易被車身后半部卷入.此外，由于我國汽車駕駛員位置在車輛左側(cè)，車身右前側(cè)、右側(cè)后視鏡下方是駕駛員的視線盲區(qū)；大卡車的駕駛室相對于路面的行人又很高，駕駛員不容易注意到危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的行人和非機(jī)動車.如果內(nèi)輪差現(xiàn)象被汽車司機(jī)、行人和非機(jī)動車忽視，右轉(zhuǎn)彎時(shí)就會帶來嚴(yán)重的交通事故[1].

圖1 內(nèi)輪差引起的路面危險(xiǎn)區(qū)域示意圖[2]

以往人們針對這個現(xiàn)象的研究，并沒有給出內(nèi)輪差的準(zhǔn)確定義.通常是從假設(shè)車輛前后輪軌跡均為圓形的角度出發(fā)，半定性地分析內(nèi)輪差的現(xiàn)象，如褚正清等[3]、李鐵洪等[4]、陳思嘉[5]的研究.為了定量分析車輛轉(zhuǎn)彎過程中向圓心靠近的程度，本文試圖給出一種內(nèi)輪差的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)定義，并利用理論力學(xué)中運(yùn)動學(xué)的知識，定量分析影響內(nèi)輪差的各種因素.

1 剛體運(yùn)動學(xué)知識介紹

在建立內(nèi)輪差的理論模型之前，先簡要回顧一下《理論力學(xué)》中剛體運(yùn)動學(xué)的相關(guān)概念和定理.關(guān)于物體最簡單的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)，即一個只有質(zhì)量、無體積和形狀的無限小的點(diǎn).如果物體的運(yùn)動和變形尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于自身尺度，則可以簡化為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析，如分析飛機(jī)軌跡時(shí)的飛機(jī)，或者衛(wèi)星軌道時(shí)的衛(wèi)星.但如果關(guān)注的運(yùn)動尺寸與物體自身尺度相當(dāng)，則需要把物體當(dāng)成剛體來處理，如分析自身姿態(tài)時(shí)的飛機(jī)或者衛(wèi)星.作為最基本的力學(xué)模型之一，剛體是由無窮多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的有限大小的物體，有質(zhì)量也有體積和形狀.剛體在任何情況下都不發(fā)生變形，因此任何質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變[6].

如圖2所示，假設(shè)一個剛體上的兩個任意點(diǎn)A和B，由剛體的定義可知，A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的連線距離始終不變.根據(jù)理論力學(xué)的剛體上兩點(diǎn)的速度關(guān)系

圖2 剛體上點(diǎn)的速度分析

這里ω是剛體的轉(zhuǎn)動角速度向量，方向垂直于紙面，rAB是兩點(diǎn)之間的向徑.由式(1)在向量rAB上的投影顯然有

上式是剛體的速度投影定理，即剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等.速度投影定理也可由剛體的概念直接得出，若兩點(diǎn)的速度在連線上的投影不相等，兩點(diǎn)間的距離就會改變，與剛體上任意兩個質(zhì)點(diǎn)之間距離始終不變的基本假設(shè)相矛盾[6].

過A和B兩點(diǎn)，分別做它們速度的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)C在這一瞬時(shí)速度為零，稱為剛體的速度瞬心，簡稱瞬心.瞬心可能在剛體上，也可能在剛體外(稱為剛體的延拓部分).這一瞬時(shí)，剛體上任何點(diǎn)的速度分布，就如同剛體在繞瞬心C做定軸轉(zhuǎn)動一樣.

2 汽車內(nèi)輪差的理論分析模型

接下來，我們將利用上述知識建立內(nèi)輪差問題的運(yùn)動學(xué)理論分析模型.如圖3所示，取汽車底盤的工字型鋼架為剛體研究對象，設(shè)車的前后輪間距為l，A點(diǎn)代表內(nèi)前輪，B點(diǎn)代表內(nèi)后輪.忽略離心力所引起的車輛側(cè)滑與輪胎變形所引起的側(cè)向偏離對運(yùn)動軌跡的影響.設(shè)車輛右轉(zhuǎn)彎時(shí)，A點(diǎn)速度恒定為vA，A點(diǎn)軌跡為π/2圓弧(半徑為R、圓心為O)然后接直線段.

圖3 單車內(nèi)輪差的理論模型示意圖

如圖3所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，并定義θ角處的內(nèi)輪差d(θ)，是A點(diǎn)軌跡和B點(diǎn)軌跡沿θ方向的徑矢之差，即

需要指出的是，上式中對應(yīng)于相同的位置θ,A點(diǎn)和B點(diǎn)的徑矢處于不同的時(shí)刻.其中A點(diǎn)的時(shí)刻t=Rθ/vA，而顯然B點(diǎn)的時(shí)刻要遲于A點(diǎn).

定義車輛轉(zhuǎn)彎過程中的最大內(nèi)輪差為

在t時(shí)刻,A點(diǎn)位置為 (xA,yA)=(-Rcosθ,Rsinθ)，其速度沿著該點(diǎn)軌跡的切線方向w1= (sinθ,cosθ)，其中θ=vAt/R.由于汽車后輪不轉(zhuǎn)向，因此任何時(shí)刻右后輪B點(diǎn)的速度方向始終沿著AB連線方向，即w2=(xA-xB,yA-yB)/l.則A點(diǎn)速度方向與和AB連線間的夾角α滿足

因此，由速度投影定理可知B點(diǎn)速度的分量形式

利用初始條件：t=0時(shí)刻，B點(diǎn)坐標(biāo)(-R,-l)，對上式進(jìn)行積分即可得B點(diǎn)的軌跡，同時(shí)可以計(jì)算出內(nèi)輪差.

對于軸距l(xiāng)=2m的汽車，計(jì)算出不同內(nèi)前輪軌跡半徑R下，最大內(nèi)輪差的數(shù)據(jù)列在表1中.由表中的數(shù)據(jù)可知，隨著轉(zhuǎn)彎半徑R的增大，最大內(nèi)輪差dmax單調(diào)降低.可見，為減小內(nèi)輪差，應(yīng)盡量轉(zhuǎn)大彎，而不應(yīng)轉(zhuǎn)小彎.

表1 不同轉(zhuǎn)彎半徑下的最大內(nèi)輪差(軸距l(xiāng)=2m)

如圖4所示，若內(nèi)前輪軌跡半徑為確定值R= 4m，在圖中用最靠上的黑實(shí)線表示；帶圖標(biāo)的線為對應(yīng)不同軸距l(xiāng)=1.5m,2.0m,2.5m,3.0m汽車的內(nèi)后輪軌跡；其中箭頭指向是l=1.5m的汽車在不同時(shí)刻的車身位置.顯然，除轉(zhuǎn)彎半徑R外，車身軸距l(xiāng)也是影響內(nèi)輪差大小的一個重要因素，當(dāng)R半徑相同時(shí)，軸距較長的車內(nèi)輪差明顯更大.

圖4 不同軸距l(xiāng)的車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)的軌跡(R=4m)

對于汽車而言，方向盤打到極限位置，外側(cè)前輪距離轉(zhuǎn)向中心 (瞬心)的距離通常定義為最小轉(zhuǎn)彎半徑r.如圖5所示，在已知車寬w和軸距l(xiāng)的情況下，容?易換算出最小的·內(nèi)前輪軌跡半徑Rmin，即+l2.通過查閱不同車型的數(shù)據(jù)資料，將車身尺寸、最小轉(zhuǎn)彎半徑、內(nèi)前輪最小轉(zhuǎn)彎半徑列于表2中.

圖5 轉(zhuǎn)彎半徑與內(nèi)前輪軌跡半徑

表2 典型車型的尺寸[7]和最大內(nèi)輪差

圖6給出了無量綱化內(nèi)輪差和轉(zhuǎn)彎半徑的關(guān)系圖，可見內(nèi)輪差隨轉(zhuǎn)彎半徑的增大而降低.對于表2給出的典型車型，用不同的圖標(biāo)在曲線上標(biāo)示了其dmax和Rmin所在的位置，此處對應(yīng)該車方向盤打到極限位置時(shí)的最大內(nèi)輪差，實(shí)際產(chǎn)生的內(nèi)輪差在該點(diǎn)右側(cè)的曲線上.

圖6 汽車內(nèi)輪差隨內(nèi)前輪(A點(diǎn))轉(zhuǎn)彎半徑的變化關(guān)系圖

根據(jù)表2給出的數(shù)據(jù)，典型車型的最小轉(zhuǎn)彎半徑與軸距之比都約為2左右，即r/l≈2.但由于軸距l(xiāng)不同，奇瑞QQ等小型車的內(nèi)輪差僅為dmax= 0.69m，而黃海等大型車則達(dá)到dmax=1.73m.由表2可知，所列的典型車型均有dmax/l＜1/3，即最大內(nèi)輪差小于1/3軸距.那么行人和非機(jī)動車要保證自身安全，需要與汽車保持車長1/3以上的距離.

3 半掛車內(nèi)輪差的理論分析模型

大貨車、水泥攪拌車等半掛車，可認(rèn)為是兩個剛體(牽引頭、主車身)連接而成的組合體，如圖7所示.設(shè)圖中牽引頭AB軸距l(xiāng)1，車身BC軸距l(xiāng)2，剛體AB和BC在B點(diǎn)通過無摩擦轉(zhuǎn)軸(通常為大王銷)相互連接.考察牽引頭中線AB和車身中線BC的運(yùn)動規(guī)律.假設(shè)A點(diǎn)軌跡為圓弧，半徑為R，圓心為O.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,如圖7所示，并以順時(shí)針方向?yàn)檗D(zhuǎn)角θ的正方向.圖中A,B,C三點(diǎn)的軌跡用虛線描繪，而內(nèi)前輪A′和內(nèi)后輪C′的軌跡用黑實(shí)線描繪.

圖7 半掛車內(nèi)輪差的理論模型示意圖

由上節(jié)汽車的分析模型，點(diǎn)A和點(diǎn)B的運(yùn)動規(guī)律與單車的運(yùn)動規(guī)律完全相同，B點(diǎn)的關(guān)于時(shí)間的運(yùn)動方程也與上節(jié)完全相同.而點(diǎn)C的速度方向始終與BC平行，速度大小可由速度投影定理得到.對于時(shí)間積分可得C點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置.計(jì)算A,C點(diǎn)軌跡之差d′max

需要指出d′max并非最大內(nèi)輪差，半掛車的最大內(nèi)輪差應(yīng)為A′和C′的軌跡之差，即

如果A點(diǎn)轉(zhuǎn)彎半徑為R=6m，對于不同軸距l(xiāng)1,l2的半掛車可以得到其轉(zhuǎn)彎時(shí)的軌跡如圖8所示.圖中最上方的黑實(shí)線為A點(diǎn)軌跡，帶圖標(biāo)的三條曲線為C點(diǎn)軌跡.其中帶彎折的箭頭表示不同時(shí)刻車身AB-BC線的方位，對應(yīng)車身尺寸為l1=1.5m,l2=3.0m.顯然，當(dāng)A軌跡半徑R相同時(shí)，軸距較長的車d′max明顯較大.

圖8 不同軸距的半掛車轉(zhuǎn)彎時(shí)C點(diǎn)的軌跡(R=6m)

表3給出了A點(diǎn)和C點(diǎn)軌跡之差最大值d′max與車身/牽引頭軸距比l2/l1的變化關(guān)系.可見d′max隨l2/l1的增加而增加.接下來我們考慮車身寬度對內(nèi)輪差的影響.當(dāng)車身寬度b1,b2改變而其他條件不變時(shí)，作為車身中線的A,B,C三點(diǎn)軌跡均不發(fā)生變化.A′點(diǎn)與A點(diǎn)軌跡相比較，相當(dāng)于沿著徑向向內(nèi)移動的距離，其中α為BA與A點(diǎn)軌跡切線方向的夾角.同理，C′點(diǎn)與C點(diǎn)軌跡相比較，相當(dāng)于沿著徑向向內(nèi)移動的距離.其中β為線段BC方向與C點(diǎn)軌跡切向的夾角.那么內(nèi)輪差公式可寫為

由公式知，牽引頭寬度b1增大時(shí)，內(nèi)輪差d線性減??；車身寬度b2增大時(shí)，內(nèi)輪差d線性增大.對于車寬b1=b2=1.8m，R/l1=5的半掛車，計(jì)算得到的最大內(nèi)輪差dmax見表3.通過查閱資料，一些典型半掛車的數(shù)據(jù)列于表4中.將表3和表4中數(shù)據(jù)整理得到圖9.從圖9中可以看出，當(dāng)R/l1=5時(shí)，典型半掛車的dmax/l1均在 1以內(nèi).因?yàn)闆]有查到半掛車的最小轉(zhuǎn)彎半徑數(shù)據(jù)，因此得不到Rmin和最大的內(nèi)輪差.如果有讀者能夠找到半掛車的最小轉(zhuǎn)彎半徑，可自行計(jì)算最大內(nèi)輪差.從當(dāng)前數(shù)據(jù)來看，建議行人和非機(jī)動車為了保證自身安全，至少要與半掛車轉(zhuǎn)彎軌跡保持約牽引車長度l1的距離.

表3 半掛車內(nèi)輪差與軸距比(l1=1.5m，R=7.5m，b1=b2=1.8m)

表4 典型半掛車的尺寸[7]與最大內(nèi)輪差(R/l1=5)

圖9 半掛車的內(nèi)輪差隨軸距比變化規(guī)律(R/l1=5)

4 討論

本文基于理論力學(xué)的運(yùn)動學(xué)知識，建立了汽車和半掛車轉(zhuǎn)彎時(shí)內(nèi)輪差問題的理論模型.此模型可以給出車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)不同車輪的軌跡，并得出內(nèi)輪差的準(zhǔn)確計(jì)算公式.通過定量分析得到車輛最大內(nèi)輪差隨車身尺寸、回轉(zhuǎn)半徑的變化規(guī)律：內(nèi)輪差隨車身長度增加而增大，隨回轉(zhuǎn)半徑的減小而增大.

對于駕駛者而言，為了減小內(nèi)輪差，應(yīng)采用盡可能大的轉(zhuǎn)彎半徑R[8].此外，汽車右轉(zhuǎn)時(shí)，駕駛員是通過車輛右側(cè)后視鏡觀察路況的，為了減小視覺盲區(qū)和觀察誤差應(yīng)盡量降低速度[9].當(dāng)前的大型客車和半掛車的倒后鏡，有些已經(jīng)考慮了縮小視覺盲區(qū)的因素，比如有些車輛倒后鏡由多塊不同角度的鏡子組成，斜向下方的倒后鏡，可以起到縮小視覺盲區(qū)的作用.而少數(shù)高端的轎車，已經(jīng)配備圍繞車身的倒車?yán)走_(dá)，若周圍物體、行人或車輛與本車距離過近，會自動報(bào)警.這些主動控制方案，可以幫助駕駛員避免內(nèi)輪差產(chǎn)生的交通事故.

內(nèi)輪差的危害對象通常是汽車右側(cè)的行人和非機(jī)動車.為了避免內(nèi)輪差帶來的危險(xiǎn)，行人和非機(jī)動車需要保持和轉(zhuǎn)彎汽車的安全距離，不要超越正在右轉(zhuǎn)彎的車輛.對于一體的單個汽車而言，至少與汽車保持車身長度1/3以上的距離；對于半掛車而言，保持距離需要在牽引頭長度以上.

從車輛設(shè)計(jì)者的角度，單純?yōu)闇p少內(nèi)輪差而改變車身尺寸是不現(xiàn)實(shí)的.本文的理論模型基于后輪不轉(zhuǎn)向的基本假設(shè)，因此后輪的速度沿著車身方向，這對于當(dāng)前的絕大多數(shù)車型都是適用的.但是隨著技術(shù)的發(fā)展，高端的概念車已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)四輪轉(zhuǎn)向(也叫全輪轉(zhuǎn)向)，如在保時(shí)捷電動跑車的宣傳中，號稱時(shí)速50km以下時(shí)后輪偏轉(zhuǎn)方向與前輪相反，以減少轉(zhuǎn)彎半徑；而時(shí)速超過50km時(shí)，后輪偏轉(zhuǎn)方向?qū)⑴c前輪相同，以獲得更好的循跡性和高速過彎性能[10].這種情況下，內(nèi)輪差的概念其實(shí)已經(jīng)不適用了.極限狀態(tài)下車可以實(shí)現(xiàn)垂直車身長度方向的運(yùn)動，就像四輪行李箱一樣，這時(shí)必須配合復(fù)雜的車身控制系統(tǒng)才能保持需要的姿態(tài).雖然目前這些技術(shù)距離家用車、大型車的應(yīng)用還有距離，但將來的應(yīng)用是完全可以預(yù)期的，只是時(shí)間的問題.

1 陳詩佳.半掛車路口轉(zhuǎn)彎時(shí)刮倒一對母子 “內(nèi)輪差”是主因.新藍(lán)網(wǎng)·浙江網(wǎng)絡(luò)廣播電視臺,2016.http：//n.cztv.com/ news/12014073.html

2 朱文. 了解 “內(nèi)輪差”，遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)彎的大貨車、工程車.海寧日報(bào),2012.http：//hnrb.zjol.com.cn/hnrb/html/2012-12/13/ content 207927.htm.

3 褚正清,劉家保,宋星.貨車右轉(zhuǎn)彎內(nèi)輪差的建模研究.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào),2015,31(5)：49-52

4 李鐵洪,吳華金.長直線接小半徑曲線公路交通事故成因及預(yù)防對策.中國公路學(xué)報(bào),2007,20(1)：35-40

5 陳思嘉.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)由內(nèi)輪差引發(fā)的交通事故原因建模與分析.數(shù)學(xué)通報(bào),2013,52(12)：55-57

6 李俊峰,張雄,任格學(xué)等.理論力學(xué).北京：清華大學(xué)出版社, 2001

7 唐恒望.內(nèi)輪差數(shù)學(xué)建模. 百度文庫,2007 http：//wenku. baidu.com/link?url=xEHJoIba1dvqiTfQ4gXrx5PtapBR0i Y1r8-dxFhCkdEkJfrkmtkrlwWlNWNmRTHaF3HOtgy4 W1gMgGpCqon6PbGUmV4OZ6SLfX5i6ljWw1G.

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9 萬祿義.公交車“內(nèi)輪差”，不容忽視.人民公交,2012,(1)：71

10 后橋轉(zhuǎn)向系統(tǒng).保時(shí)捷(中國),2016.http：//www.porsche.com/ china/zh/models/panamera/panamera-4s/drive-chassis/rearaxle-steering/.

(責(zé)任編輯：胡 漫)

O311

A

10.6052/1000-0879-16-263

本文于2016-08-15收到.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372163).

2)E-mail：qxm@tsinghua.edu.cn

李逸良,邱信明.車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)內(nèi)輪差的運(yùn)動學(xué)理論模型.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(1)：94-99

Li Yiliang,Qiu Xinming.A kinematical analysis model of the inner wheel dif f erence.Mechanics in Engineering,2017, 39(1)：94-99