構(gòu)圖助思 教學(xué)轉(zhuǎn)向 聚焦素養(yǎng)
—— 以“用一元一次方程解決問題”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

構(gòu)圖助思 教學(xué)轉(zhuǎn)向 聚焦素養(yǎng)
—— 以“用一元一次方程解決問題”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

■張建良

一、問題提出

“核心素養(yǎng)”是當(dāng)前教育領(lǐng)域最受關(guān)注的熱詞之一，當(dāng)教育教學(xué)目標(biāo)定位在核心素養(yǎng)上時，就需要從關(guān)注知識點(diǎn)的落實(shí)轉(zhuǎn)向素養(yǎng)的養(yǎng)成。如何轉(zhuǎn)向是目前廣大教師都在思考的問題。本文以用“一元一次方程解決問題”為例，嘗試一次教學(xué)“轉(zhuǎn)向”，期許落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——直觀想象。

初一學(xué)生在學(xué)習(xí)用一元一次方程解決問題的過程中，由于缺乏日常生活的體驗(yàn)，有時會難以理解實(shí)際問題情境，信息收集和加工困難，解應(yīng)用題也由此成為學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。因此，在應(yīng)用題教學(xué)過程中將一些實(shí)際問題情境直觀化，借助圖形去描述和分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明形象，這樣可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確加工信息，探索出問題解決的路徑，觸發(fā)靈動的解題思維。

二、教學(xué)簡析

1.目標(biāo)與重點(diǎn)。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是積極引導(dǎo)學(xué)生能自覺構(gòu)圖，用圖進(jìn)行分析、解決問題，促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的形成。教學(xué)重點(diǎn)是用圖形將文字描述的問題情境轉(zhuǎn)化為用圖形展示的問題情境，從中找出數(shù)量之間的相等關(guān)系，再用圖形探索不同的思維解決同一個問題。

2.過程與評析。

問題1：（蘇科版七上）某小組計劃做一批“中國結(jié)”，如果每人做5個，那么比計劃多做了9個；如果每人做4個，那么比計劃少做了15個。小組成員共有多少名？他們計劃做多少個“中國結(jié)”？

教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）畫圖與分析：邊讀題邊畫出線形圖，畫伸長部分表示“多”、畫縮短的部分表示“少”，如下圖。

（2）用圖與解答：

解法一：（方程解）相等關(guān)系：

方案1中的“中國結(jié)”計劃數(shù)=方案2中的“中國結(jié)”計劃數(shù)。

解：設(shè)小組成員共有x名。

列出方程:5x-9=4x+15，解這個方程，得x= 24。所以5x-9=111。

答：小組成員共有24名，計劃做111個“中國結(jié)”。

解法二（算術(shù)解）：從圖形上看，兩個方案中的人數(shù)沒發(fā)生變化，但可以發(fā)現(xiàn)，在每一人少做1個的情況下，第二種方案做的“中國結(jié)”數(shù)比第一種方案做的“中國結(jié)”數(shù)少9+15=24個，所以直接獲得答案：小組成員為24人。

直觀價值評析：

構(gòu)建圖形不但能直觀演示，“多”——伸長，“少”——縮短，而且能幫助學(xué)生理解多做9個要減9，少做15個要加15，達(dá)到“平衡”。利用畫出的線形圖，對問題中的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行直觀表達(dá)，再利用圖形的直觀性獲得“相等關(guān)系”。事實(shí)上，解法一中更多的是利用直觀思維，解法二更多的利用想象，兩個不同思維解法展示了教學(xué)轉(zhuǎn)向，提升了幾何直觀培養(yǎng)的教學(xué)價值，也看到了解法二中所揭示的一點(diǎn)點(diǎn)創(chuàng)造性思維，這對如何利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題起到一定的示范作用。

問題2：A、B兩地之間的路程為360千米，甲車從A地出發(fā)開往B地，每小時行駛72千米，甲車出發(fā)25分鐘后，乙車從B地出發(fā)開往A地每小時行駛48千米，兩車相遇后，各自仍按原來方向繼續(xù)行駛，那么在相遇后兩車相距120千米時，甲車共行駛了多少小時？

教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）畫圖與分析：行程問題中首先要弄清楚運(yùn)動的起點(diǎn)、相遇點(diǎn)和終點(diǎn)，通過畫圖直觀模擬兩車運(yùn)動的整個過程。如圖，甲車運(yùn)動過程AD-C-M;乙車運(yùn)動過程B-C-N。相遇地點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)C。

（2）用圖與解答：

解法一（方程解）：相等關(guān)系：

甲車A-D-C-M的路程+乙車B-C-N的路程=360+120。

解法二（算術(shù)解）：甲車在A-D-C-M間共行駛的時間=甲車A-D間行駛用的時間+兩車在D-B間行駛相遇所用時間+兩車在M-N間行駛的時間。

直觀價值評析：

由于問題中兩車行駛到不同位置的情境沒有可視性，只能憑學(xué)生在頭腦中想象。構(gòu)圖模擬車輛運(yùn)動過程，不但分清各階段行駛方向和狀態(tài)，而且可以獲得路程、時間之間的各種關(guān)系。在一步一步的畫圖中理解相關(guān)信息，在一次一次的思考中加工信息。特別在解法二中，將行駛時間進(jìn)行了整體計時，甲車所用總時間等于在不同的三段上行駛的時間和。這對如何在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型去探索問題的思路具有一定的借鑒作用。

問題3：一天，小明去問李老師的年齡，老師說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你才1歲；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)37歲?！闭埱蟪霈F(xiàn)在李老師的年齡。

教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）畫圖與分析：如圖，畫一根表示年齡的數(shù)軸，再將一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端點(diǎn)A與小明現(xiàn)在年齡數(shù)值表示的點(diǎn)重合，右端點(diǎn)B與李老師現(xiàn)在年齡數(shù)值表示的點(diǎn)重合，則該線段的長代表兩人的年齡差。若將木棒沿數(shù)軸向左移動，當(dāng)它的左端點(diǎn)停在1歲對應(yīng)的點(diǎn)時，則它的右端點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為現(xiàn)在小明的年齡；若將木棒沿數(shù)軸向右移動，當(dāng)它的右端點(diǎn)停在37歲對應(yīng)的點(diǎn)時，則它的左端點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為現(xiàn)在李老師的年齡。

（2）用圖與解答：

解法一（方程解）：相等關(guān)系：AA'（前一次年齡差）=BB'（后一次年齡差）。

解：設(shè)小明現(xiàn)在的年齡為x歲,則李老師現(xiàn)在的年齡為（2x-1）歲。

根據(jù)題意得，37-（2x-1）=x-1,解這個方程，得x=13。則李老師現(xiàn)在年齡為：2x-1=25（歲）。

解法二（算術(shù)解）：李老師與小明的年齡差始終保持不變，可得年齡差為：（37-1）÷3=12，

所以李老師年齡為37-12=25（歲）。

直觀價值分析：

由于問題中出現(xiàn)的1歲和37歲并不是目前學(xué)生和教師的實(shí)際年齡，學(xué)生需要同時對兩人的年齡進(jìn)行前后之間的推算。通過構(gòu)圖用線段AB長表示兩人年齡差，兩次年齡變化等于將同一條線段AB在數(shù)軸上先后向左、向右各移動一次，也就出現(xiàn)了AA'=AB=BB'，即三個階段的年齡差相等，由此可以看到構(gòu)圖的價值。用解法二中的方法直接求得線段AB=12，更突顯了思維的簡潔性和直觀想象力，這對如何建立數(shù)與形之間的關(guān)系去輔助數(shù)學(xué)思考起著積極的催化作用。

三、教學(xué)啟示

在應(yīng)用題教學(xué)中如何將知識點(diǎn)的教學(xué)轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)的教學(xué)，重要的一點(diǎn)就是在教學(xué)應(yīng)用題中不斷引導(dǎo)學(xué)生利用直觀想象去尋找解題思維。首先，閱讀題目后在頭腦中進(jìn)行情境分類，關(guān)注所研究的實(shí)際問題屬于生活中的哪一類型,以便能準(zhǔn)確理解實(shí)際意義。其次，為了更清楚地理解問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)圖來描述問題，即用另一種圖形語言表達(dá)出來，然后再經(jīng)過信息加工獲得“相等關(guān)系”，最后用代數(shù)式分別表示等式兩邊所用到的數(shù)量，從而完成方程的建立。用一元一次方程解決問題的思維過程可以用下面的流程圖表示：

從文字語言到圖形語言的轉(zhuǎn)化，是將抽象信息轉(zhuǎn)向可視信息。不同語言間的轉(zhuǎn)化是應(yīng)用題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本節(jié)課教學(xué)中借助構(gòu)造直觀圖形進(jìn)行教學(xué)，通過圖形分析獲得兩種不同思維形式的解答方法?！皥D形”成為輔助思考的關(guān)鍵點(diǎn)，“想象”成為創(chuàng)新思維的核心點(diǎn)。

直觀想象是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。學(xué)習(xí)過程中需要教師有意識地安排相關(guān)問題為學(xué)生搭建思維平臺，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)圖去積極思考探究問題時，也就展現(xiàn)出了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。本節(jié)課教學(xué)要求不在于會解這樣一個或一類應(yīng)用題，而是通過類似的問題探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)特的直觀想象過程，不斷激活學(xué)生的潛能。

核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是一個漸進(jìn)的過程，對于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)同樣如此，在教學(xué)過程中多從“形數(shù)”和“想象”兩方面去引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生，不斷提升學(xué)生感知事物本質(zhì)的能力，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維。

（作者為江蘇省常熟市興隆中學(xué)校長）

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］劉曉枚.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識與分析，《中國數(shù)學(xué)教育》［J］，2012年第1-2期.