李天霞 (郵編：351200)林新建 (郵編：363000)

福建仙游第二中學(xué) 福建漳州第一中學(xué)

立足與立意并重 通法偕思想齊飛
——數(shù)學(xué)全國卷三角形試題的解答策略探析

李天霞 (郵編：351200)林新建 (郵編：363000)

福建仙游第二中學(xué) 福建漳州第一中學(xué)

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次.

數(shù)學(xué)思想對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用是什么？

我們知道，人的行為源自于思想認識，思想的混亂必然會導(dǎo)致行為混亂，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此！

為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡單的數(shù)學(xué)問題呢？除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識外，絕大部分不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.

比如解三角形，求解問題的通法是“知三求三”，即“已知三邊求另外三個角，或已知兩邊一角求另一邊和兩角，或已知一邊兩角求另兩邊和一角”.

但在具體的問題情境中，如僅知一邊和一角，這樣就導(dǎo)致因條件不足無法直接運用“知三求三”這個通法予以求解，怎么辦？

此時，若能立意于思想，如運用函數(shù)或方程思想引入變量湊足三個量，則可運用通法將三角形試題的解答進行得輕松自在！

下面以全國卷解三角形試題為例說明，以饗讀者.

例1 (2011年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

分析 本題僅知一邊及其對角，條件不足無法直接運用通法予以求解，怎么辦？

注意到本題是最值問題，若能立意于函數(shù)思想(最值問題必須構(gòu)造出待求最值關(guān)于某個變量的函數(shù)，進而通過最值求解方法如配方法、導(dǎo)數(shù)法等將問題解決)，則自然地想到去引入變量湊足三個量，這樣就能運用通法將問題解決.

解析 設(shè)∠A=θ,則∠C=120°-θ.

例2 (2010年高考新課標卷Ⅰ文科16題)

分析 本題也是三角形問題，無論在哪個三角形中，都是因為條件不足無法直接運用通法予以求解，怎么辦？

注意到本題是變量求解問題，若能立意于方程思想(變量求解問題必須建立出關(guān)于待求變量的方程，進而通過解方程將問題解決)，則自然地想到去設(shè)出變量湊足三個量，這樣就能運用通法將問題解決.

解析 設(shè)BD=x,則DC=2x.

化簡得：b2=2+4x2-4x.

化簡得：c2=2+x2+2x.

例3 (2013年高考新課標卷Ⅰ理科17題)

(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.

分析 本題難在第(2)問，同樣已知一邊及其所對角，無法直接運用通法求解，怎么辦？

同樣，本問是變量求解問題，故若能立意于方程思想，則自然地設(shè)出變量，這樣就湊足了三個量，從而運用通法就能將問題解決了.

解析 設(shè)∠PBA=θ,則∠PBC=90°-θ.

在Rt△CPB中，因為BC=1,所以BP=BC·cos(90°-θ)=sinθ.

從以上的探析過程可以看出，數(shù)學(xué)全國卷三角形試題的解答需要立足于通法，也要立意于思想，只有立足通法與立意思想并重，才能使通法偕思想齊飛，將解三角形試題的解答“臻于完美” ！

2016-12-29)