鄭 晨 周志俊 (郵編：241003)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

一個(gè)《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》問(wèn)題的證明與推廣

鄭 晨 周志俊 (郵編：241003)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

本文證明了《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上的問(wèn)題11815, 并利用契比雪夫不等式和凸函數(shù)的性質(zhì)給出了一個(gè)推廣.

不等式; 契比雪夫不等式; 凸函數(shù)

《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》2015年第1期問(wèn)題11815[1]如下

設(shè)x、y、z為正數(shù), 且滿足x+y+z=3, 試證:

≥3xyz.

①

本文給出了①的一個(gè)證明與推廣.

=x2+y2+z2

=3xyz.

(2)

為了證明上述結(jié)論,先給出一個(gè)引理.

根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)易證引理,下面證明定理.

(利用契比雪夫不等式)

從而,定理得證.當(dāng)n=3且k=0時(shí),不等式②即為不等式①,故不等式②是不等式①的一個(gè)推廣.

1GeorgeApostolopoulos.Problem11815[J].TheAmericanMathematicalMonthly, 2015, 122(1): 76

2 匡繼昌.常用不等式(第三版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:62

2016-12-28)