王世磊

（信陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）

E-凸規(guī)劃最優(yōu)性問題研究

王世磊

（信陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）

文章首先給出文獻(xiàn)[1]中定理4.1的一個(gè)反例，并在對(duì)該文獻(xiàn)的定理4.2進(jìn)行修正的基礎(chǔ)上給出了E-凸規(guī)劃問題最優(yōu)解的刻畫；其次，給出一個(gè)E-凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件；最后，在E-可微情形下得到E-凸規(guī)劃問題最優(yōu)解的相關(guān)結(jié)論.

E-凸函數(shù)；E-凸規(guī)劃；E-可微；最優(yōu)解；最優(yōu)性條件

自從1999年Youness E A在文獻(xiàn)[1]中首次提出E-凸規(guī)劃問題的概念，并在2001年給出了E-凸規(guī)劃的最優(yōu)性準(zhǔn)則以后[2]，許多學(xué)者開始對(duì)E-凸規(guī)劃問題進(jìn)行進(jìn)一步的研究.Yang X M[3]和Chen X S[4]分別在2001和2002年指出Youness E A的E-凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件的一些不正確結(jié)論并給出反例，簡(jiǎn)金寶[5]在2003年也給出Youness E A有關(guān)E-凸規(guī)劃結(jié)論的反例.這些研究對(duì)相關(guān)結(jié)論所做的修正推進(jìn)了E-凸和廣義E-凸規(guī)劃理論的發(fā)展：2003年，Youness E A拓展了自己對(duì)E-凸規(guī)劃的研究，給出了多目標(biāo)E-凸規(guī)劃有效解的特征[6]； 2006年，覃義、簡(jiǎn)金寶把Youness E A的E-凸規(guī)劃問題的概念轉(zhuǎn)換成了新的等價(jià)規(guī)化問題并得到了相關(guān)結(jié)論[7]；2008年，Youness E A和Eman T[8]給出了在半-強(qiáng)-E函數(shù)下多目標(biāo)規(guī)劃問題中的表達(dá)公式，并給出求解這類優(yōu)化問題有效解的方法（加權(quán)法（Weighting）和ε-約束方法（ε-constraint）），同時(shí)給出這類問題有可行解的充分必要條件；2011年，Megahed A A和Youness E A等人在充分研究Narula S C等提出的Refence direction方法，Wierzbicki L提出的Refence point方法，Steuer提出的Tchebycheff方法，Nakayama提出的Trade-off方法以及Wang X M等提出的ARP方法的基礎(chǔ)上研究出了一種解決E-凸多目標(biāo)非線性規(guī)劃的新方法——結(jié)合的交互式方法[9]，并給出大量的實(shí)例展示了這種新方法的優(yōu)點(diǎn)和高效性；2013年，Megahed A A[10]等人研究了當(dāng)E-凸規(guī)劃中f為E-可微情形時(shí)的優(yōu)化條件.關(guān)于E-凸規(guī)劃最優(yōu)性理論的研究還在繼續(xù)，還有很多值得深入探究的方面.

1 E-凸規(guī)劃問題的描述

令E∶Rn→Rn是一映射，C為關(guān)于映射E的E-凸集，下面首先給出E-凸規(guī)劃問題具體描述公式：

關(guān)于上述兩種規(guī)劃問題的最優(yōu)解研究結(jié)果有很多，其中Youness E A在文獻(xiàn)[1]中給出的定理4.1（即:問題的解集C是E-凸集）有錯(cuò)誤之處.Chen和覃義等分別在文獻(xiàn)[4]和[6]中給出該定理的反例和適當(dāng)?shù)男拚?下面是本文給出的該定理的另一個(gè)反例：

2 E-凸規(guī)劃最優(yōu)解與最優(yōu)性條件

定義1[10]稱點(diǎn)是問題的最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的x∈C都有：

引理1[4]若C是E-凸集，實(shí)值函數(shù)f∶C?Rn→R為C上的E-凸函數(shù)，且滿足對(duì)任意的x∈C成立，如果是問題的最優(yōu)解，那么是問題的最優(yōu)解.

引理2[4]若實(shí)值函數(shù)f∶C?Rn→R為E-凸集C上的嚴(yán)格E-凸函數(shù)，其中E()C是凸集，則凸規(guī)劃問題的最優(yōu)解唯一.

引理3[1]已知C是E-凸集，是凸集，且f°E和gi°E(i=1,2,…,m)在C上均是可微的，若是如下問題的最優(yōu)解：

通過(guò)限定映射E∶Rn→Rn為滿射，對(duì)Youness E A的定理4.2進(jìn)行適當(dāng)修正得到下面的定理1，之后本文還給出關(guān)于E-凸規(guī)劃的一個(gè)最優(yōu)性充分條件（見定理2）.

定理1 令映射E∶Rn→Rn是一個(gè)滿射，則是E-凸規(guī)劃問題的最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)是問題的一個(gè)最優(yōu)解.

因?yàn)镋∶Rn→Rn是滿射，所以有：E()C=C，故存在一個(gè)滿足：從而可得：

因?yàn)镋∶Rn→Rn是滿射，故存在一個(gè)滿足：從而可得：這顯然與是問題的一個(gè)最優(yōu)解相矛盾.故假設(shè)不成立，所以是問題的一個(gè)最優(yōu)解.

因?yàn)閒i和gj均為E-凸函數(shù)，而且fi°E和gj°E均為可微函數(shù)，故對(duì)任意x∈(E)

M，我們有：

因?yàn)橛梢阎獥l件，＞0,≥0，結(jié)合（6）與（7），對(duì)每個(gè)i,j∈N*，有：

顯然，（5）與（9）的結(jié)果產(chǎn)生了矛盾，故假設(shè)不成立，所以是問題的一個(gè)最優(yōu)解.

注1：當(dāng)fi變?yōu)閲?yán)格E-凸函數(shù)，＞0變?yōu)椤?，定理2的結(jié)論仍然成立.

例2 考慮下面的E-凸規(guī)劃問題：

3 結(jié)語(yǔ)

本文是給出了一個(gè)E-凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件，并在E-可微情形下研究得到E-凸規(guī)劃問題的最優(yōu)解相關(guān)結(jié)論，在一定程度上豐富了前人關(guān)于E-凸最優(yōu)性方面的研究?jī)?nèi)容，擴(kuò)大了（廣義）E-凸性在優(yōu)化理論與應(yīng)用領(lǐng)域的影響.關(guān)于E-凸規(guī)劃最優(yōu)性方面的研究還有很多工作可做，特別是廣義E-凸函數(shù)的出現(xiàn)，極大地促進(jìn)了E-凸規(guī)劃相關(guān)理論的研究進(jìn)展，這也是將來(lái)繼續(xù)研究的主要方向.

[1]Youness E A.E-convex sets,E-convex functions,E-convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Applica?tion，1999，102（2）：439-450.

[2]Youness E A.Optimality criteria in E-convex programming[J].Journal of Optmization Theory and Applications，2001，12（9）：1737-1745.

[3]Yang X M，Teo K L，Yang X Q.A characterization of convex functions[J].Applied Mathematics Letter，2000，13（1）：27-30.

[4]Chen X S.Some properties of semi-E-convex functions[J].Journal of Mathematics Analysis and Applications，2002，275（1）：251-262.

[5]Jian J B.Incorrect result for E-convex sets,E-convex function and E-convex programming[J].Mathematiccal Research and Exposition，2003，23（3）：461-466.

[6]覃義，簡(jiǎn)金寶.關(guān)于E-凸函數(shù)及E-凸規(guī)劃的幾個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論的修正[J].數(shù)學(xué)雜志，2006，26（2）：177-180.

[7]Youness E A.Characterization of efficient solutions of multi-objective E-convex programming problems[J].Journal of Applied Mathematics and Computation，2003，151（3）：755-761.

[8]Youness E A，Emam T.Characterization of efficient solutions for multi-objective optimization problems involving semi-strong and generalized semi-strong E-convexity[J].Acta Mathematica Scientia，2008，28（1）：7-16.

[9]Megahed A A，Youness E A.A combined interactive approach for solving of E-convex multiobjective nonlinear programming problem[J].Applied Mathematics and Computation，2011，217（16）：6777-6784.

[10]Megahed A A，Gomma H G，Youness E A.Optimality conditions of E-convex nonlinear programming for E-differential func?tion[J].Journal of Inequalities and Applications，2013，246（1）：1-11.

責(zé)任編輯：吳興華

The Study of Optimality ofE-convex Programming

WANG Shilei
（School of Mathematics and Information，Xinyang University，Xinyang464000，China）

This paper first presents a counter example of the theorem 4.1 in reference[1]and gives the characterization of the optimal solution of theE-convex programming problem by making revision of the theorem 4.2 in reference[1].Then it gives sufficient conditions of theE-convex programming.Finally,it studies the relevant conclusion of the optimal solution of theE-convex programming for theE-differentiable case.

E-convex function；E-convex programming；E-differentiable；optimal solution；optimal condition

O 174.13

A

1674-4942（2017）01-0001-06

2016-10-17

*通訊作者：王世磊，碩士，E-mail：ge_wangshilei@163.com

10.12051/j.issn.1674-4942.2017.01.001