全國名校導數(shù)綜合測試題

■河南省許昌高級中學 胡銀偉

一、選擇題(本大題共1 2小題,每小題5分,共6 0分。)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.設f(x)=xl nx,若f'(x0)=2,則x0=( )。

A.e2B.e CD.l n2

4.若函數(shù)f(x)=x3-2c x2+x有極值點,則實數(shù)c的取值范圍為( )。

5.若曲線y=x2+al nx(a＞0)上任意一點處的切線斜率為k,若k的最小值為4,則此時該切點的坐標為( )。

A.(1,1) B.(2,3)

C.(3,1) D.(1,4)

A.[-5,0) B.(-5,0)

C.[-3,0) D.(-3,0)

7.若函數(shù)f(x)=2x2-l nx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是( )。

8.當a＞0時,函數(shù)f(x)=(x2-2a x)ex的圖像大致是( )。

A. B. C. D.

9.已知函數(shù)f(x)=x(l nx-a x)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

C.(0,1) D.(0,+∞)

(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于( )。

1 1.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+ f'(x)＞1,f(0)=4,則不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )。

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(3,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(3,+∞)

1 2.已知函數(shù)g(x)=a-x2為自然對數(shù)的底數(shù))與h(x)= 2 l nx的圖像上存在關于x軸對稱的點,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共2 0分。) 1

1 5.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)= 1,且f(x)的導數(shù)f'(x)＜1,則不等式2的解集為。

三、解答題(本大題共6小題,共7 0分。)

(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,求g(x)的表達式;

1 8.(本小題滿分1 2分)已知函數(shù)f(x) =2 l nx-x2+a x(a∈R)。

(1)當a=2時,求f(x)的圖像在x=1處的切線方程;

1 9.(本小題滿分1 2分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3 0元,并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納a元(a為常數(shù),2≤a≤5)的管理費,根據(jù)多年的統(tǒng)計經(jīng)驗,預計當每件產(chǎn)品的售價為x元時,產(chǎn)品一年的銷售量為(e為自然對數(shù)的底數(shù))萬件,已知每件產(chǎn)品的售價為4 0元時,該產(chǎn)品一年的銷售量為5 0 0萬件。經(jīng)物價部門核定每件產(chǎn)品的售價x最低不低于3 5元,最高不超過4 1元。

(1)求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L(x)萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關系式。

(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時,該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大?并求出L(x)的最大值。

2 0.(本小題滿分1 2分)已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=al nx+x2-4x。

(1)是否存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結(jié)論;

(2)設g(x)=(a-2)x,若?x0∈。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設g(x)=x2-2x,若對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)＜g(x2),求a的取值范圍。

2 2.(本小題滿分1 2分)已知函數(shù)f(x) =(a x2+x-1)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R。

(1)若a=1,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)若a＜0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

參考答案

3.B 提示：因為f'(x)=l nx+1,所以f'(x0)=l nx0+1=2,l nx0=1,x0=e。

4.D 提示：若函數(shù)f(x)=x3-2c x2+ x有極值點,則f'(x)=3x2-4c x+1=0有兩個不等實根,故Δ=(-4c)2-1 2＞0。從而故實數(shù)c的取值范圍為

5.A 提示：y=x2+al nx的定義域為(0,+∞),由導數(shù)的幾何意義知y'=2x+a

6.C

8.B 提示：f'(x)=(x2-2a x)ex+(2x -2a)ex=ex[x2+(2-2a)x-2a]。令,故函數(shù)圖像應該先增后減再增,排除A,D。當x＜0時,因為a＞0,所以f(x)=(x2-2a x)ex＞0。

9.B 提示：因為f(x)=x(l nx-a x),所以f'(x)=l nx-2a x+1。故f'(x)在(0,+∞)上有兩個不同的零點,可令f'(x)則上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。又因為當x→0時,g(x)→-∞,當x→+∞時,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,所以只需0＜2a＜1?0

1 0.D 提示：因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在(0,2)上的最大值為-1。當x∈(0,

1 2.B 提示：由已知得到方程a-x2= -2 l nx,即-a=2 l nx-x2在[1 e,e]上有解。設f(x)=2 l nx-x2,求導得f'(x)=所以f'(x)=0在x=1有唯一的極值點。因為,故方程上有解等價于2-e2≤-a≤-1,所以實數(shù)a的取值范圍是[1,e2-2]。

①若a≥0,當0＜x＜1時,f'(x)＞0, f(x)單調(diào)遞增;當x＞1時,f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;所以x=1是f(x)的極大值點。

綜合①②得a的取值范圍是(-1, +∞)。

故x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,則

1 8.(1)當a=2時,f(x)=2 l nx-x2+,切點坐標為(1,1),切線的斜率k=f'(1)=2,則切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1。

當1＜x＜e時,g'(x)＜0。

故g(x)在x=1處取得極大值,g(1)= m-1。

將x=4 0,y=5 0 0代入,得k=5 0 0 e40。

故該產(chǎn)品一年的銷售量y(萬件)關于x(元)的函數(shù)關系式為y=5 0 0 e40-x。

所以L(x)=(x-3 0-a)y=5 0 0(x-3 0-a)e40-x(3 5≤x≤4 1)。

(2)由(1)得,L'(x)=5 0 0[e40-x-(x-3 0-a)e40-x]=5 0 0 e40-x(3 1+a-x)。

①當2≤a≤4時,L'(x)≤5 0 0 e40-x(3 1+ 4-3 5)=0,當且僅當a=4,x=3 5時取等號。

所以L(x)在[3 5,4 1]上單調(diào)遞減。

因此,L(x)max=L(3 5)=5 0 0(5-a)e5。

②當4＜a≤5時,L'(x)＞0?3 5≤x＜3 1+a,L'(x)＜0?3 1+a＜x≤4 1。

所以L(x)在[3 5,3 1+a)上單調(diào)遞增,在[3 1+a,4 1]上單調(diào)遞減。

因此,L(x)max=L(3 1+a)=5 0 0 e9-a。

綜上所述當2≤a≤4時,每件產(chǎn)品的售價為3 5元,該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大,最大利潤為5 0 0(5-a)e5萬元;

當4＜a≤5時,每件產(chǎn)品的售價為(3 1+ a)元時,該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大,最大利潤為5 0 0 e9-a萬元。

假設存在實數(shù)a,使f(x)在x=1處取極值,則f'(1)=0,a=2。

故不存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值。

(2)由f(x0)≤g(x0),得：

(x0-l nx0)a≥x20-2x0。

當0＜x＜1時,F'(x)＜0,單調(diào)遞減;

當x＞1時,F'(x)＞0,單調(diào)遞增。

因為G'(x)＜0,G(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,e)時, G'(x)＞0,G(x)單調(diào)遞增,G(x)min=G(1) =-1,a≥G(x)min=-1。

因此,實數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞)。

①當a≤0時,x＞0,a x-1＜0,在區(qū)間(0,2)上,f'(x)＞0,在區(qū)間(2,+∞)上f'(x)＜0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, 2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞)。

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)。

(2)由已知,在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max。

由已知,g(x)max=0,由(1)可知,

所以,-2a-2+2 l n2＜0,a＞l n2-1。

綜上,a的取值范圍為(l n2-1,+∞)。

2 2.(1)a=1時,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex= (x2+3x)ex。

曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為k=f'(1)=4 e。

又因為f(1)=e,所以所求切線方程為y-e=4 e(x-1),即4 ex-y-3 e=0。

(2)f'(x)=(2a x+1)ex+(a x2+x-1)· ex=[a x2+(2a+1)x]ex。

(3)當a=-1時,f(x)=(-x2+x-1)· ex,由(2)知,f(x)=(-x2+x-1)ex在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,在[-1,0]上單調(diào)遞增,在[0,+∞)上單調(diào)遞減。

所以g(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增。故g(x)在x=-1處取得極大值g(-1),在x=0處取得極小值g(0)=m。因為函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像有3個不同的交點,所以

所以

(責任編輯 徐利杰)