魏炎炎,周海攀

Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)識別自適應同步

魏炎炎,周海攀

（云南經濟管理學院,云南昆明650304）

以Liu系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象為例,畫出一個混沌吸引子相圖,討論Liu混沌系統(tǒng)自同步的問題.研究Liu混沌系統(tǒng)的自適應同步和響應系統(tǒng)參數(shù)識別,利用參數(shù)識別自適應控制技術,設計非線性控制器,找出參數(shù)自適應律、控制器系數(shù)的范圍,同時提出了控制增益.借助Lyapunov穩(wěn)定性理論及LaSalle不變集原理,給出了響應系統(tǒng)參數(shù)識別的充分條件,并通過數(shù)值仿真驗證了所給方法的真實有效性.

混沌系統(tǒng)；混沌同步；參數(shù)識別；非線性控制器；自適應同步

混沌同步的研究范圍涉及保密通信、電子線路、信息科學等領域.20世紀末,Mainieri和Rehacek發(fā)現(xiàn)一種新的混沌系統(tǒng)同步現(xiàn)象,即投影同步[1],驅動系統(tǒng)及響應系統(tǒng)的對應變量按照固定的比例關系進行演化,這是一類特殊廣義的同步現(xiàn)象,這種廣義同步形式迅速成為研究混沌同步的焦點[2-6].目前,關于參數(shù)識別的混沌同步的研究主要聚集在驅動系統(tǒng)中參數(shù)的識別,響應系統(tǒng)中的參數(shù)識別的研究相對較少.

1 系統(tǒng)的提出

Liu混沌系統(tǒng)是一個連續(xù)的三維的自治系統(tǒng),數(shù)學模型表示如下

式（1）中：x、y、z是狀態(tài)變量,a、b、c、k、h為系統(tǒng)的參數(shù),當a=10,b=40,c=2.5,h=4,k=1時,Liu系統(tǒng)處于混沌的狀態(tài),若選取初始值（x,y,z）=（1,2,3）,系統(tǒng)出現(xiàn)一個吸引子,如圖1、圖2所示.

圖1 x-y投影Fig.1 Plane projection

圖2 x-y-z相圖Fig.2 Chaotic attractor

2 Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)識別自適應同步

2.1 問題描述

現(xiàn)考慮驅動和響應系統(tǒng)

2.2 Liu混沌系統(tǒng)同步

現(xiàn)考慮驅動系統(tǒng)（3）和響應系統(tǒng)（4）

式（3）、式（4）中,a、b、c、h、k為驅動系統(tǒng)已知參數(shù),a1、b1、c1、h1、k1為響應系統(tǒng)未知參數(shù),由誤差e= y?λ x（λ為非零常數(shù)）,可以得出誤差系統(tǒng)方程

若采取下列控制器

式（6）中：q＞0為控制增益,l為控制器系數(shù).

可知,參數(shù)自適應律為

式（7）中：pa、 pb、 pc、 ph、 pk是對參數(shù)a1、 b1、 c1、 h1、 k1的估計值.

定理若,在控制器（5）及參數(shù)自適應律（7）下,則驅動系統(tǒng)（3）及響應系統(tǒng)（4）實現(xiàn)廣義同步,即對任意初值,未知參數(shù)并且能夠被識別,即

證明：控制器（6）代入誤差方程（5）得

考慮Lyapunov函數(shù)

對（9）式求導得

ei→0( i=1,2,3),得到了系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）實現(xiàn)廣義同步,同時pa→ a1, pb→ b1,pc→ c1, ph→ h1, pk→ p1,從而未知參數(shù)a1, b1, c1, h1, k1被識別.證畢.

3 數(shù)值仿真

根據(jù)上述理論分析,通過MATLAB軟件進行模擬,采用4階龍格—庫塔方法進行計算,對驅動和響應系統(tǒng)進行仿真,現(xiàn)選取原系統(tǒng)參數(shù)a=10, b=40, c=2.5, h=4, k =1,響應系統(tǒng)未知參數(shù)隨意選取一組數(shù)值a1=9.5, b1=40.2, c1=2.3, h1=4.2, k1=1.2,其估計值初始分別取pa(0)=8.5, pb(0)=37, pc(0)=0.1, ph(0)=2.5,pk(0)=-1,取q=10,任選取驅動系統(tǒng)及響應系統(tǒng)的初始值分別為x(0)=[1,2,3]T, y(0)=[8,20,10]T,取控制器的系數(shù)l=70,取λ=1,其誤差e1、 e2、 e3如圖3,未知參數(shù)a1、 b1、 c1、 h1、 k1識別如圖4.

圖3 誤差e1、e2、e3Fig.3 Error e1、e2、e3

圖4 a1、b1、c1、h1、k1估計值Fig.4 Estimated value of a1,b1,c1,h1,k1

由圖3、圖4可知,在控制器（6）及參數(shù)自適應律（7）下,則驅動系統(tǒng)（3）及響應系統(tǒng)（4）實現(xiàn)廣義同步,且能夠被識別未知參數(shù).

4 小結

本文主要基于Liu混沌系統(tǒng),通過參數(shù)識別自適應控制技術,使原本不匹配的兩個參數(shù)在全局范圍內實現(xiàn)廣義同步.本文給出的參數(shù)自適應律和控制器簡單有效,且收斂的速度較快,在實際應用中具有很好的參考及應用價值.

[1]MAINIERIR,REHACEK J.Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J].Phys.Rev.Lett.,1999,82（15）：3042-3045.

[2]劉秉正,彭建華.非線性動力學[M].北京：高等教育出版,2004：44-46.

[3]陳彥飛.混沌系統(tǒng)的自適應同步與參數(shù)識別[D].桂林：桂林理工大學,2013：19-24.

[4]魏炎炎.超Rabinovich系統(tǒng)混沌現(xiàn)象及混沌同步的研究[D].西安：西安建筑科技大學,2012：38-42.

[5]潘光,魏靜.一種分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應滑?？刂破髟O計[J].物理學報,2015（4）：505-510.

[6]LASALLE J P.The extent of asymptotic stability[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,1960,46：363-365.

（責任編輯：盧奇）

Parameter identification adaptive synchronization of Liu chaotic system

WEIYanyan,ZHOU Haipan
（Yunnan College of Business Management,Kunming 650304,China）

A chaotic phenomena of the Liu system is studied,and a chaotic attractor of the system is draw.Then, adaptive synchronization of Liu chaotic system is discussed.And adaptive synchronization and parameter identification of response system problems of a class of Liu chaotic system are studied.Parameter identification adaptive control technology is used.The nonlinear controller is designed,the parameter adaptive law and the scope of the controller coefficient are foud out.And the control is given by Lyapunov stability theory and principles of LaSalle invariant set.So the sufficient condition of the parameter identification of response system is given.The method given in this paper is real validity by numerical simulation.

chaotic systems；chaotic synchronization；parameters identification；nonlinear controller；adaptive synchronization

O415.5

A

1008-7516（2017）02-0054-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2017.02.012

2016-11-12

魏炎炎（1984―）,女,湖北隨州人,碩士,講師.主要從事非線性動力學方向研究.