解壓軸題：離散問題 離散解決

福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)(362000) 許銀伙●

福建省泉州第五中學(xué)(362000) 楊蒼洲●

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解壓軸題：離散問題 離散解決

福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)(362000)
許銀伙●

福建省泉州第五中學(xué)(362000)
楊蒼洲●

壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)一類以含參數(shù)不等式或函數(shù)式為載體，求參數(shù)的最大或最小整數(shù)值的問題．在配套參考解答中，都是綜合利用函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)及不等式知識(shí)，采用分離參數(shù)和設(shè)而不求方法，估計(jì)參數(shù)范圍，讓參數(shù)落在兩整數(shù)之間．這種方法抽象度較高，估值范圍不容易控制，有些甚至解決不了．針對(duì)這類問題本文介紹的方法是：關(guān)注參數(shù)的離散特性，通過觀察和嘗試，化繁難的探求為比較容易操作的驗(yàn)證來(lái)加以解決．

例題1 (2012年高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

分析與解

(Ⅰ)略．

(Ⅱ)方法一：當(dāng)a=1時(shí)，f ′(x)=ex-1．

(ⅰ)當(dāng)k=0時(shí)，不等式化為xex+1>0，符合題意．

(ⅱ)當(dāng)k∈N*時(shí)，令g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1(x>0)，則g′(x)=(x+1-k)ex．

(1)當(dāng)k=1時(shí)，g′(x)=xex>0，故g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=1，符合題意．

(2)當(dāng)k=2時(shí)，g′(x)=(x-1)ex．

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．

所以g(x)≥g(1)=3-e>0，符合題意．

(3)當(dāng)k=3時(shí)，g′(x)=(x-2)ex．

同理可得：g(x)在(0,+∞)的最小值為g(2)=3-(e2-1)<0，不符合題意．

綜上所述：k的最大值為2．

由(Ⅰ)得h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增，h(1)<0,h(2)>0，故存在唯一a∈(0,+∞)，使h(a)=0,且當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)最小值為g(a)．

由g′(x)=0得：ea=a+2，所以g(a)=1+a∈(2,3)，由k

反思與評(píng)注

1． 高考參考解答對(duì)最小值點(diǎn)設(shè)而不求，須估計(jì)g′(x)零點(diǎn)的范圍，然后結(jié)合g′(a)=0，估計(jì)g(a)范圍在某兩個(gè)整數(shù)之間，這種方法對(duì)當(dāng)年學(xué)生是陌生的，而且最小值范圍有時(shí)不容易控制，某些同類型問題這種方法甚至無(wú)法解決．

2．方法一利用k為整數(shù)的離散特性，觀察出k=0時(shí)符合，然后k=1,2,3逐個(gè)驗(yàn)證，容易理解和操作．

3．根據(jù)問題特點(diǎn)，可以從k=1開始驗(yàn)證，也可以間隔驗(yàn)證得出結(jié)論．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)試比較20142015與20152014的大小，并說明理由；

(Ⅲ)是否存在k∈Z，使得kx>f(x)+2對(duì)任意x>0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，說明理由．

分析與解 (Ⅰ)略．(Ⅱ)略．

(Ⅲ)方法一：

存在k∈Z，使kx>f(x)+2對(duì)任意x>0恒成立，即kx2>lnx+2x．

取x=1,得k>2．

綜上：所求整數(shù)k的最小值為3．

方法二：(配套參考解答概要)

又h(x0)=0，故1-2x0-2lnx0=0，

反思與評(píng)注

配套參考解答難點(diǎn)有三：

1．計(jì)算繁難．

2．合適的x0范圍(不唯一)不容易求出．

變式訓(xùn)練 (2013年泉州市高三質(zhì)檢)定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對(duì)?x∈D,均有f(x)

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=sinx，判斷f(x)是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說明理由;

(Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=ax+a-1，a∈R，x∈(0,π)為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求a的取值范圍；

解 (Ⅰ)不是，理由略．

(Ⅲ)h′(x)=cosx+a，由已知得：sinx+ax+a-1≤cosx+a，即sinx-cosx+ax-1≤0對(duì)x∈[0,π]恒成立．

令φ(x)=sinx-cosx+ax-1，由φ(π)=aπ≤0得：a≤0(a∈Z)．

(2)a=-1時(shí)，φ(x)=sinx-cosx-x-1．

綜上得：a=-1為所求．

方法二：要判斷φ(x)=sinx-cosx-x-1<0對(duì)x∈[0,π]恒成立，即判斷sinx-x<1+cosx對(duì)x∈[0,π]恒成立．

令k(x)=sinx-x，則k′(x)=cosx-1<0對(duì)x∈(0,π]恒成立，函數(shù)k(x)在x∈[0,π]單調(diào)遞減．

又因?yàn)閗(0)=0，1+cosx≥0對(duì)x∈[0,π]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=π時(shí)取等號(hào)．

所以φ(x)=sinx-cosx-x-1<0對(duì)x∈[0,π]恒成立．

綜上得：a=-1為所求．

反思與評(píng)注

1．本題在原配套的參考解答中既沒有特殊值代入，以壓縮參數(shù)討論范圍，也沒有關(guān)注參數(shù)的離散特性，化變量探求為常量驗(yàn)證，而是采用常規(guī)分離參數(shù)和設(shè)而不求，估計(jì)最值點(diǎn)落在某兩個(gè)整數(shù)之間，造成解答高度抽象且冗長(zhǎng)，難度極大，有興趣的同仁可網(wǎng)上查閱比較．

2．方法二中sinx≤x為常用結(jié)論，它在高一教材可用正弦線證明，在高二教材是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的例題結(jié)論．

G

B

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