馬昕雨

摘 要：在高壓、大功率場合，級聯(lián)型多電平逆變器得到了越來越多的應用。該文圍繞級聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組的求解問題，分別采用了牛頓法和模擬退火算法求解該非線性方程組，在對兩種算法進行比較的同時，分析了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)目和調制比對輸出波形改善和方程求解的影響，并利用Multisim仿真對結果進行了檢驗，最后提出了級聯(lián)型多電平逆變器的最優(yōu)控制策略。

關鍵詞：牛頓法 模擬退火算法 Multisim仿真 回歸分析

中圖分類號：TM464 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）03（b）-0245-08

級聯(lián)型多電平變換器由若干個變換器模塊單元串聯(lián)而成以實現(xiàn)高電壓、多電平的輸出。級聯(lián)型多電平變換器模塊單元常采用3電平為輸出的H橋變換器單元。

特定諧波消除脈寬調制技術（Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation，SHEPWM）通過選擇特定的開關時刻，在滿足期望的輸出基波電壓的同時，來消除選定的低次諧波，進而改善輸出電壓的波形質量。由于級聯(lián)型多電平變換器輸出電壓是各H橋變換器單元輸出電壓的疊加，電平數(shù)的增加可使輸出的階梯形電壓更加接近正弦波，進一步減少諧波含量。

在級聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)中，對于第i個H橋變換器單元，當或開通時輸出0電平，即輸出電壓為0；當開通時輸出1電平，即輸出電壓為；當開通時輸出-1電平，即輸出電壓為；對于級聯(lián)型H橋變換器整體輸出電平數(shù)可為。

當H橋變換器單元直流側獨立電壓都為時，可輸出電平數(shù)的階梯型電壓，單個H橋變換器的輸出波形總是具有半波奇對稱性和1/4對稱性。

通過對該波形進行傅里葉級數(shù)分解，對于的第個奇數(shù)次諧波的幅值可表示為：

對于個H橋變換器單元的級聯(lián)型變換器系統(tǒng)，在滿足期望基波電壓幅值的條件下可消去特定諧波的數(shù)量為 （n-1）。設觸發(fā)角為，輸出電壓的基波分量幅值為。定義調制比幅值。

根據上述約束條件可寫出關于的非線性代數(shù)方程組：

同時基于階梯波特定消諧技術的輸出電壓波形質量，可通過總電壓諧波畸變率（Total Harmonics Distortion，THD）來描述，如下式：

在此基礎上，該文在不同的級聯(lián)模塊數(shù)和調制比下，求出能消除特定次數(shù)諧波的相應開關角以及THD，并探討分析在相同值下，不同模塊數(shù)所對應的開關角的相互包含關系，分析隨著模塊數(shù)增加，輸出電壓波形質量的改善特性。最后針對模塊數(shù)的級聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)，結合階梯波調制和輔助控制方法確定最優(yōu)控制各模塊開關策略。所以，解決問題的關鍵在于求解非線性方程組（2），并根據總電壓諧波畸變率來衡量所得解的優(yōu)劣。非線性方程組的求解方法，是多電平逆變器SHEPWM 方法及其在線實現(xiàn)的前提和基礎。非線性方程組求解的關鍵，包括高質量初值的選取和高效率的迭代算法兩個方面。采用三角載波正弦脈寬調制（sinusoidal pulse width modulation， SPWM）法求取SHEPWM 問題初值的方法，對提高初值求取速度和成功率有較好的效果，但三角載波SPWM方法較適合于硬件電路實現(xiàn)，用于以DSP為核心的三電平逆變器數(shù)字控制系統(tǒng)中求取初值，有較大的困難。

考慮到根據非線性方程組不同解法的優(yōu)缺點，該文用牛頓法和模擬退火算法兩種算法進行計算比較。然后橫向分析兩種算法得到的結果的差異，再縱向分析調制比和級聯(lián)H橋逆變器數(shù)目對波形改善的影響。最后得到最佳的調制比和級聯(lián)H橋數(shù)目。

1 牛頓法

1.1 模型建立

將非線性方程組（2）改寫為：

牛頓法是解上述非線性方程組最常用的有效方法，它可看成是時單個方程牛頓法的推廣。

設為方程（2）的近似解，在處展開可得：

它可表示為向量形式：

這里就是在處的雅可比矩陣，求此線性方程組的解，并記作，當非奇異時，則得

稱為解方程組（2）的牛頓法。

1.2 模型求解

由于牛頓法求解非線性方程組對初值的設置要求很高，為了避免最后結果不收斂，求解中降低了對結果精度的要求，并減小了總的迭代次數(shù)，最后得到如下結果，見表1。

從上述結果可以看出，牛頓法對三元非線性方程組求解的結果較好，THD均小于0.5%，即在計算3個H橋變換器級聯(lián)的時候用牛頓法求解的結果可以接受。但5個H橋變換器級聯(lián)的時候THD較大，說明對諧波的消除效果不好，因此未繼續(xù)增加H橋逆變器的級聯(lián)數(shù)目，后面將采用更精確的算法進一步計算。

2 模擬退火算法

2.1 模型建立

模擬退火算法首先要實現(xiàn)標準進化策略。實現(xiàn)過程如下所述。

（1）確定問題的表達方式，這種表達式中個體由目標變量和標準差兩部分組成，每部分又可以有個分量，即：

和之間的關系是：

其中，為父代個體的第個分量；為子代新個體的第個分量；為服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)；為針對第個分量重新產生一次符合標準正態(tài)分布的隨機數(shù)；為全局系數(shù)，常取1；為局部系數(shù)，常取1。（9）式表明，新個體是在舊個體基礎上隨機變化而來。

（2）隨機生成初始群體，并計算其適應度。進化策略中初始群體由個個體組成，每個個體內又包含個、分量，產生初始個體的方法是隨機生成。為了便于和傳統(tǒng)的方法比較，可以從某個初始點出發(fā)，通過多次突變產生個初始個體，該初始點從可行域中用隨機方法選取，初始個體的標準差。

（3） 計算初始個體的適應度，如若滿足條件，終止；否則，往下進行。

（4） 根據進化策略，用下述操作產生新群體。

①重組：將兩個父代個體交換目標變量和標準差，產生新個體。一般目標變量采用離散重組，標準差采用中值重組。

②突變：對重組后的個體添加隨機量，按照式（9）產生新個體。

③計算新個體適應度。

④選擇：按照選擇策略，挑選優(yōu)良個體組成下一代群體。

（5）反復執(zhí)行（4）直到達到終止條件，選擇最佳個體作為進化策略的結果。

2.2 模擬退火算子

該文將進化策略的當前進化代數(shù)作為模擬退火的退火時間，根據相關文獻中提出的模擬退火溫度更新函數(shù)的啟發(fā)式準則，從而確定了模擬退火的溫度更新函數(shù)和隨機向量的產生方式。

2.2.1 模擬退火操作具體步驟

（1）設模擬退火初始溫度為，進化策略當前群體中的個體記為，。為群體中的個體數(shù)目，為非線性方程組中變量的個數(shù)。當前進化代數(shù)對應的溫度更新函數(shù)為；，式中≥1為給定常數(shù)。

（2）通過下式產生隨機向量：

其中，；；為上均勻分布的隨機數(shù)為符號函數(shù)。

（3）在的基礎上產生一個新的試探解，并計算其對應的適應度和新試探解被接受的概率：

其中，是對目標函數(shù)進行適當比例變換的常數(shù)，它適合于目標極小化。

（4）產生上的均勻分布的隨機數(shù)，若，則接受新試探解，即置。對種群中的個體均進行上述的操作。

2.2.2 改進的進化策略算法

一維柯西密度函數(shù)集中在原點附近，定義為：

其中，為比例參數(shù)。相應的分布函數(shù)為：

密度函數(shù)類似于高斯密度函數(shù)，其差異主要表現(xiàn)在：柯西分布在垂直方向略小于高斯分布，而柯西分布在水平方向上越接近水平軸，變得越緩慢，因此柯西分布可以看作是無限的。根據柯西分布和高斯分布的相似性和柯西分布具有較高的兩翼概率特性，即柯西分布有一條很長的尾巴。所以，柯西分布容易產生一個遠離原點的隨機數(shù)，它比高斯突變產生的隨機數(shù)具有更寬的分布范圍，如果用柯西突變來產生后代，這就意味著利用柯西突變有可能很快跳出局部極小的區(qū)域。但是，它的較小的中央部分卻是它的一個弱點，使得它在進行更精確的局部搜索方面的性能降低，而高斯突變算子可以使子群在局部空間盡可能的細致搜索。為了既能發(fā)揮柯西突變算子產生大的突變能力，以減小陷入局部最優(yōu)點的危險，又能利用高斯突變算子局部搜索能力佳的優(yōu)點，以提高收斂速率。在此處使用一個折衷的方案，將柯西突變算子和高斯突變算子結合起來，定義一個新的突變算子，稱之為“平均突變算子”（mean mutation operator， MMO）。所以，新的突變形式為：

式（15）中的即為平均突變算子，其中參數(shù)是的一個柯西分布的隨機變量比例參數(shù)，用于更新每一個分量，其他的參數(shù)與式（9）中的相同。

2.3 模擬退火算法的進化策略求解非線性方程組

算法流程：

設方程組是個方程個未知量的方程組

（1）確定個體的表達方式：表達式中個體由目標變量和標準差兩部分組成，每部分有個分量，即：

其中，為非線性方程組中變量的個數(shù)。

（2）隨機生成初始群體：進化策略中初始群體由個個體組成，每個個體內包含個、分量，產生初始個體的方法是隨機生成，初始個體的標準差。

（3）計算適應度：設，則方程的解是使的值。取適應度函數(shù)，則方程組的精確解即是使時的值。因而的值越小，方程組解的近似程度越好。終止條件選擇一個很接近0的值，當最小適應度小于等于時終止。

（4）如果滿足條件，終止，選出最優(yōu)解；否則，繼續(xù)往下進行。

（5）根據進化策略，用下述操作產生新群體：

①重組：隨機選擇2個個體，產生一個新個體。其中目標變量采用離散重組，標準差采用中值重組。

②突變：對重組后的個體添加隨機量，按照式（15）產生新個體。

③計算新個體的適應度。

④此時引入模擬退火算子，對突變后的個體進行模擬退火過程，生成新的個個體。

⑤選擇：采用選擇策略，挑選優(yōu)良個體組成下一代群體。

⑥反復執(zhí)行（5），直到達到終止條件，選擇最佳個體作為進化策略的結果。

2.4 模型求解

表2可以看出在3個H橋逆變器級聯(lián)時模擬退火算法求得的開關角所對應的THD均在0.15%以內，可以說明結果精確度很高。在5個和15個H橋逆變器級聯(lián)時求得的開關角所對應的THD也均在0.36%和1.8%以內，進一步說明了退火算法的精確性。

2.5 較多數(shù)目H橋逆變器級聯(lián)時的討論

當20個H橋逆變器級聯(lián)時，由于級聯(lián)的數(shù)目較多，再用THD衡量其對波形的改善變得不全面，這里綜合均衡變換功率以及產生波形的質量制定了新的評定標準，再次利用模擬退火算法求得的開關角集合見表3。

可以看出，當20個H橋逆變器級聯(lián)時，取m =0.7，觸發(fā)角從小到大見表4，是最優(yōu)的控制策略。

3 結果分析

3.1 模型對比

理論上牛頓法和模擬退火法都能找到最優(yōu)解，但通過前面的模型建立和求解，可以發(fā)現(xiàn)這兩種算法都有著鮮明的特點，在實際應用中分別適用于各自相應的范圍。

牛頓法的最大優(yōu)點在于迭代速度快，程序簡單，適用于數(shù)據量較大的計算，牛頓法除了在三電平逆變器SHEPWM非線性方程組的求解中有廣泛應用，電力系統(tǒng)的潮流計算最常用的也是牛頓拉夫遜算法，這都說明了牛頓法操作簡便易于求解。但在對精度要求較大的科學計算中，牛頓法又因為其對初值要求高，Hesse矩陣可能是奇異矩陣導致結果不收斂而存在局限性。在該文中牛頓法最后的求解也存在較大誤差。

模擬退火法相比于牛頓法來說求解精度大大提高，并且對初值的要求低，避免了繁瑣的初期數(shù)據處理。另外，模擬退火法對目標函數(shù)的邊界條件沒有要求，適用于大部分實際問題。相比于其他啟發(fā)式算法，模擬退火法不但能尋求到全局最優(yōu)解，并且程序較為簡單。但和牛頓法相比，模擬退火法的計算大，程序復雜并且運行時間長。

3.2 數(shù)據分析

針對模擬退火算法求解的開關角以及對應的THD，從不同調制比對THD的影響、不同調制比對開關角選擇的影響以及不同調制比下開關角的包含關系三個方面分析數(shù)據。

（1）不同調制比對THD的影響見圖1。

可以看出，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越少時，相對應的THD越小，而當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)相同時，不同的調制比對THD基本無影響的影響。可以理解，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多時，迭代求解的次數(shù)越多，涉及的相關參數(shù)也越多，因此導致誤差較大。

（2）不同調制比對開關角的影響見圖2。

可以從折線圖看出，隨著調制比從小到大變化，開關角呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，并且在調制比小的時候開關角更分散，調制比越大開關角的分布越集中。說明調制比的大小影響了開關角的取值范圍的大小，在實際應用中應該選取適宜的調制比，以給開關角的選擇留取充分的裕量。

（3）不同調制比下開關角的包含關系見圖3。

根據所求的數(shù)據，利用SPSS進行回歸分析，得到結果如圖3。為了簡便只選取了0.7、0.8、0.9、1四個調制比，但可以清楚地看出，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越大時，其對應的開關角包含級聯(lián)的H橋數(shù)目小的開關角。即較大時對應的開關角包含較小時對應的開關角，這樣會在實際生產應用中可以大大簡化計算。

綜上所述，并不是級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越多，對輸出波形的改善越好，同時調制比越大，開關角的可選取范圍越小，當調制比大時對應的開關角包含調制比小時對應的開關角。

4 仿真實驗

在上述建模分析之后，為了更進一步的明確結果，我們利用退火模擬法求得的數(shù)據，通過Multisim進行了仿真實驗。仿真結果見圖4。

通過仿真我們可以得出以下結論：

（1）通過仿真結果可以清晰地看出，在一定范圍內，級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多，輸出的波形越接近于正弦波。

（2）當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過15個時，波形會發(fā)生一定的畸變，如圖4，，，在15個和20個H橋逆變器級聯(lián)時，正弦波會呈現(xiàn)近似尖頂波的趨向。

（3）級聯(lián)的H橋逆變器不一定越多越好，如圖4，和相比，20個H橋逆變器級聯(lián)比15個H橋逆變器級聯(lián)波形畸變更嚴重。

綜上所述，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過一定范圍的時候，此時會對波形的改善產生負面影響，總體趨勢是波形的質量隨著級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目先提高后降低。

5 總結與展望

5.1 模型優(yōu)點

該文首先利用了傳統(tǒng)的牛頓法求解了級聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組，同時又使用了模擬退火算法再次對該方程進行了求解，對兩種算法的優(yōu)劣進行了對比，同時得出了兩種方法的適用范圍，有實際應用意義。在分析H橋逆變器級聯(lián)數(shù)不同對解的包含關系影響時，該文利用了SPSS進行回歸分析，同時用散點圖簡單明了的展示了結果。

5.2 模型缺點

由于牛頓法和模擬退火法本身存在的缺陷，導致當H橋逆變器級聯(lián)數(shù)增多時，方程的收斂效果并不好，并且誤差較大。在對20個H橋逆變器級聯(lián)進行最優(yōu)控制時，為了進一步簡化計算，考慮的因素較少。

5.3 模型展望

該文在傳統(tǒng)的牛頓法的基礎上使用了啟發(fā)式算法，適合對精度要求較高并且計算量相對較小時的計算。同時求得了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)不同對解的包含關系，對以后的科學計算進行了簡化。該文還得出了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)對波形改善的影響，得出了并不是級聯(lián)的H橋逆變器越多對波形的改善越好，對工程設計有實際意義。

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