丁玉梅 王 霞

（天津科技大學 天津 300222）

發(fā)現(xiàn)學習理論在高等數(shù)學教學中的實踐研究

丁玉梅 王 霞

（天津科技大學 天津 300222）

基于美國教育學家布魯納提出的發(fā)現(xiàn)學習理論，針對高等數(shù)學課堂教學，闡述了發(fā)現(xiàn)學習理論的主要內(nèi)容和發(fā)現(xiàn)學習的思維過程，強調(diào)學生在數(shù)學學習過程中，要先理解領(lǐng)會知識體系，保持知識結(jié)構(gòu)的完整性、系統(tǒng)性，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。最后提出如何在高等數(shù)學教學中運用發(fā)現(xiàn)學習理論，主要包括在概念教學中的多重體現(xiàn)方法；在公式教學中創(chuàng)設數(shù)學學習情境；在問題解決過程中，進行合情推理、展示思維過程等。運用發(fā)現(xiàn)教學法，能夠調(diào)動學生學習的積極性，培養(yǎng)數(shù)學思維能力。

發(fā)現(xiàn)學習理論；認知結(jié)構(gòu)；數(shù)學教育

一、研究的意義

高等數(shù)學作為一門基礎(chǔ)學科，內(nèi)容多，課時少，考試壓力大。怎樣才能高效率地吸收知識，提高思維能力和問題解決能力，是師生面臨的困惑。當今時代，隨著信息科學的發(fā)展，各種教學法的改革也層出不窮。但是從根本上來講，教師課堂教學，多數(shù)只注重知識的傳授，很少給學生獨立思考的時間和空間。怎樣把數(shù)學知識和思維方法教給學生仍然是很關(guān)鍵的問題。對普通院校學生來講，由于受高考應試教育的影響，主動學習能力差，僅限于被動接受知識，學習積極性不高，解決實際問題能力不強。數(shù)學教育的主要目的，是使學生掌握一定的數(shù)學知識、數(shù)學思想和方法，提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)他們的思維能力、創(chuàng)造性和應用能力。

布魯納提出的發(fā)現(xiàn)學習理論，從認知結(jié)構(gòu)出發(fā)對學習過程進行研究，在世界教育史上影響深遠。本文從認知心理學的角度出發(fā)，結(jié)合發(fā)現(xiàn)學習理論，遵循學生接受知識的心理過程，對大學高等數(shù)學教學法改革進行實踐研究與探討。

二、發(fā)現(xiàn)學習理論的主要內(nèi)容

1.發(fā)現(xiàn)學習的定義

發(fā)現(xiàn)學習理論是美國著名教育心理學家布魯納提出來的，瑞士心理學家皮亞杰和美國心理學家斯金納也都先后提出過這種思想。按照發(fā)現(xiàn)學習理論，學習被認為是通過認知獲得意義和表演，從而形成認知結(jié)構(gòu)的過程。發(fā)現(xiàn)法學習，即在教師的指導下，由學生用探索、發(fā)現(xiàn)、研究的方式來獲得新的知識。發(fā)現(xiàn)學習被看成是由有意義的接受型學習向發(fā)現(xiàn)型學習的發(fā)展。學生個人的主動性和在學習過程中的參與程度，對于概念形成、知識的保持和知識的運用方面都起到積極的作用。教師在課堂教學過程中，由原來的講授型教學，轉(zhuǎn)化為學習型教學，由原來的解釋型教學，轉(zhuǎn)化為發(fā)展型教學；相應的，學生的學習就會由原來被動接受知識的傳遞過程，轉(zhuǎn)化為發(fā)揮主動精神來獲取知識的過程。

2.發(fā)現(xiàn)學習理論的主要內(nèi)容

任何學科都有自己的知識體系和結(jié)構(gòu)，大學數(shù)學課程也不例外。以高等數(shù)學課程為例，我們學習的主要內(nèi)容是微積分，其中極限思想貫穿于整個學習的始終。因此，由簡單到復雜，我們先學習了極限、重要極限，接著用極限定義了導數(shù)和積分；由一元函數(shù)求導數(shù)，拓展為多元復合函數(shù)的偏導數(shù)；由積分拓展為重積分和線面積分等等。基于知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，學生要由淺入深，由簡單到復雜把握學習內(nèi)容，建立自己的認知結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)代教育理論認為，通過教師講授的學習屬于有意義接受性學習，學生的認知結(jié)構(gòu)處于被動的接受狀態(tài)，經(jīng)過教師詳細剖析的知識，雖然易于被學生接受，但是由于新知識在學生的認知結(jié)構(gòu)中被動加工的程度低，和原有認知結(jié)構(gòu)中起固定作用的概念聯(lián)系松散，可辨別度和可分離度都較低，這樣的知識不利于記憶也不利于知識的保持。由于學生接受的是經(jīng)過教師過分加工過的材料，思維訓練中緊張程度差，也不利于培養(yǎng)思維能力。

對學生來講，形成良好的認知結(jié)構(gòu)，需要在教師的指導和引導下，發(fā)揮主觀能動性，自覺主動的去獲取知識，進行有意義的知識建構(gòu)。同時，還要利用原有的認知結(jié)構(gòu)，進一步積極地思考分析和探究新問題，進行問題解決，并形成新的認知結(jié)構(gòu)。學生主動學習的過程是一個發(fā)現(xiàn)掩藏知識的過程，只要能夠找到正確的方法和新舊知識聯(lián)結(jié)的關(guān)鍵點，運用學習策略，就可以把隱藏的答案找出來，從而循序漸進地學習大量新知識。

對教師來講，要了解學生的學習過程，嘗試在教學過程中要扮演引導的角色。為此，教師首先要不斷進行學習積累，具有廣博的知識，能夠?qū)W生的學習過程進行預測和控制。在學生進行問題探究的過程中，在學生思維出現(xiàn)矛盾點時，進行指點，引導他們找出新舊知識的關(guān)聯(lián)點；在學生思維出現(xiàn)混亂時，及時進行引導，對錯誤的信息進行修正。教師要引導學生獨立地思考探究，遵循學習規(guī)律，探索知識的真諦。

3.發(fā)現(xiàn)法學習的思維過程

布魯納特別強調(diào)發(fā)現(xiàn)在學習過程中的作用。他認為，“強調(diào)學習過程的發(fā)現(xiàn)確實影響著學生，使他們成為一個知識的主動建構(gòu)主義者。這使學生對遇到的失誤加以組織時持有一種積極的態(tài)度，它使學生不僅想發(fā)現(xiàn)規(guī)律性和聯(lián)系性，而且還想使信息處于能控制的狀態(tài)，以保持信息發(fā)揮其可能發(fā)揮的作用”?！鞍l(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，發(fā)現(xiàn)還包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式。”

布魯納認為，認知結(jié)構(gòu)、表征或者表征系統(tǒng)，是人們發(fā)現(xiàn)和認識世界的一種能力。認知結(jié)構(gòu)一經(jīng)建立，就成為學生進一步學習的重要因素。在理解新知識上起到了鋪墊作用，也成為對新的信息進行加工的根本。新知識的學習過程，就是利用知識儲備，對新知識進行加工改造，使之與舊知識相關(guān)聯(lián)并形成新的認知結(jié)構(gòu)，從而獲得新知識。

發(fā)現(xiàn)法學習的思維過程包括：知識準備，提出問題，對問題進行思考分析，提出解決問題的方法，最后總結(jié)，通過比較選定最佳答案。學生首先頭腦中要有一定的知識儲備，特別是相關(guān)內(nèi)容的知識，構(gòu)成原有認知結(jié)構(gòu)。提出相應的問題，學生通過提取原有認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識，去思考，進行分析。如果能夠利用原有知識進行解決，就利用原有舊知識，同化新知識，把新知識消化吸收，納入原有的認知結(jié)構(gòu)。如果利用原有知識解決出現(xiàn)困難，就利用舊知識，進行原有認知結(jié)構(gòu)的改組，順應新知識，進行問題解決，由此進行新的認知結(jié)構(gòu)的重建。最后，通過總結(jié)，選定最佳答案。這樣，通過發(fā)現(xiàn)法學習，不僅解決了提出的問題，還從問題解決的過程中，獲得了新知識，構(gòu)建了新的認知結(jié)構(gòu)。

三、發(fā)現(xiàn)學習理論在高等數(shù)學教學中的實踐研究

在大學數(shù)學教學中，對于概念、定理、解題的教學環(huán)節(jié)，通過滲透發(fā)現(xiàn)學習理論，使學生遵循學習規(guī)律去學習，使其認知結(jié)構(gòu)、學習能力和學習效率得到提升。事實證明，如果允許學生去思考、假設和用直接的方式去產(chǎn)生和體驗教學思想的成長，發(fā)現(xiàn)式的學習和教學方法將更有效。

1.概念教學中的多重體現(xiàn)方法

發(fā)現(xiàn)法的學習方式被認為對學生建立數(shù)學概念來說是有效的。例如，高等數(shù)學教學過程中，關(guān)于定積分的定義，可以這樣進行課堂教學設計，讓學生進行自主探究。

知識準備：極限的定義，規(guī)則圖形（如矩形、梯形）的面積。

提出的問題：求解曲邊梯形的面積；求變速直線運動的路程。

最后，引導學生在學習過程中，進行總結(jié)：雖然求面積和求路程分別屬于幾何、物理兩種不同的問題，但處理的方法本質(zhì)是一樣的，即都可以歸結(jié)為求某種乘積和式的極限形式，具有普遍性，從而引出定積分的定義。統(tǒng)一的概念和結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)對把不同概念彼此聯(lián)系起來是十分有效的。

2.創(chuàng)設數(shù)學學習情境，進行公式教學

發(fā)現(xiàn)法學習把重點放在發(fā)現(xiàn)關(guān)系和再構(gòu)造某種數(shù)學學習情境。例如，在導數(shù)的定義教學中，學生對定義的理解都很含糊，通過創(chuàng)設學習情境，對變量增量的各種形式進行辨析，進行認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

提出問題：設f（x）在x=a處可導，判斷下列式子是否正確：

在知識準備階段，引導學生復習導數(shù)的定義，得到下面公式：

通過對上述公式的分析，明確增量Δx的整體性。得到：

如果令Δx=x-a，則得到：

最后總結(jié)，式子（1）錯誤，式子（2）（3）（4）正確。

在同一學習階段，從許多不同的方面或者途徑呈現(xiàn)同一數(shù)學公式，以便使學生通過系統(tǒng)的加強和再構(gòu)造各種結(jié)果而形成對公式概念的更一般的理解，得到更精確的思想和確切的概念表述。

3.問題解決教學中，進行合情推理，體驗發(fā)現(xiàn)過程，提高思維能力

發(fā)現(xiàn)學習強調(diào)善于引導學生“發(fā)現(xiàn)”各種規(guī)則、適當?shù)亩x或者公理的證明步驟，以此代替那些使用現(xiàn)成的公式、假設、證明的表達的做法。比如，在“牛頓-萊布尼茲”公式的教學中，我們進行合情推理，遵循思維過程，設計了下面的教學案例。

（1）寫出不定積分的計算公式：

∫f（x）dx=F（x）+C，其中F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，C是任意常數(shù)。進行猜想，問題的結(jié)論一定與原函數(shù)F（x）有關(guān)。

（2）思考原函數(shù)具有什么性質(zhì)？引出公式，其中F（x）和G（x）都是f（x）的原函數(shù)。因此，需要找出一個原函數(shù)。進行猜想：

（4）引導學生學習新知識，引入積分上限函數(shù)的概念，得到f（x）的另一個原函數(shù)，即：

（5）原函數(shù)的性質(zhì)：

（6）進行合情推理，令x=a，x=b得到結(jié)論。

在學生還沒有認識公式之前，先利用原有認知結(jié)構(gòu)進行猜想，接著引入積分上限函數(shù)，通過尋找原函數(shù)，引導他們做出自己的發(fā)現(xiàn)。再如求解一元線性非齊次方程的常數(shù)變異法，伯努利方程的求解過程等等，都是很好的思維訓練的題目。在問題解決過程中，教學重點是運用合情推理，展示思維過程，培養(yǎng)問題解決的能力。

另外，在課堂教學的過程中，還要協(xié)調(diào)師生協(xié)作關(guān)系，激發(fā)學生學習積極性，體驗成就感、滿足感和成功之后的愉悅感，這樣能夠強化發(fā)現(xiàn)學習的樂趣，培養(yǎng)學生主動學習的習慣。通過近兩年的高等數(shù)學發(fā)現(xiàn)法的實踐教學，學生的數(shù)學學習成績明顯提高，創(chuàng)新活動中的思維能力比較活躍，這說明學生的數(shù)學學習能力提高，解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力也進一步增強?？傊?，在大學高等數(shù)學課堂教學過程中，要堅持發(fā)現(xiàn)學習和接受學習相結(jié)合，加強教師主導，不忽略學生的主體地位，才能實現(xiàn)更高的教育目標。

[1]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

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（責任編輯：張華凡）

Application of Discovery Learning Theory in the Teaching of Advanced Mathematics

DING Yumei,WANG Xia
（Tianjin University of Science and Technology,Tianjin 300222,China）

The main content and process of the discovery learning theory are introduced based on the discovery learning theory proposed by American educator Bruner.In the process of mathematics learning, students should understand the knowledge as well as its systematic structure,and then form a good cognitive learning pattern.The application of discovery learning theory in the teaching of advanced mathematics should include multiple methods of concept teaching,creation of mathematics learning environment in formula teaching and plausible reasoning in the process of problem-solving.As a result,the discovery teaching has improved the students’interest in mathematics and their maths thinking abilities.

discovery learning theory;cognitive structure;mathematics education

G642.0

丁玉梅（1972—），女，副教授，研究方向：數(shù)學教育。

天津市教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題（HE1020）。