羅文清

模型思想是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)中基本的數(shù)學(xué)思想之一。廣義而論，數(shù)學(xué)的法則、定律、公式、規(guī)律均可視作數(shù)學(xué)模型。狹義來看，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，雞兔同籠、植樹問題、找次品、鴿巢問題作為數(shù)學(xué)模型教學(xué)的四個專題被編入數(shù)學(xué)廣角（共計10個專題），占比近半，足見模型思想的重要性。

模型教學(xué)涉及兩個核心要素，“建”與“用”，建模是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)；用模是重點，是歸宿。建模的質(zhì)量直接影響用模的水平，建得自主，建得積極，則用得自如，用得靈活。如果把“模型”當(dāng)作“模具”交給學(xué)生，那么學(xué)生只會是照葫蘆畫瓢，生搬硬套，不可能實現(xiàn)真正意義上的用模。如何實現(xiàn)模型的有效建構(gòu)，讓模型來時有門，去時有路呢？下面筆者結(jié)合“雞兔同籠問題”的教學(xué)實踐談?wù)勛约旱囊恍w會。

一、找準(zhǔn)起點，積累經(jīng)驗

建立數(shù)學(xué)模型和解決其他數(shù)學(xué)問題一樣，需要經(jīng)過一系列具體或抽象的操作與思維活動，這些活動的展開同樣需要以學(xué)生已有的生活和知識經(jīng)驗為起點，層層深入，不斷積累建立模型所需要的完整活動經(jīng)驗。

以“雞兔同籠問題”為例：雞兔共有8只，腳共有26只，問雞兔各幾只？

列表與假設(shè)是解決這類問題常用的兩種方法，教學(xué)中往往呈現(xiàn)這樣的景象：依序列表時，學(xué)生得心應(yīng)手，輕松自如，但到了研究假設(shè)法時，多數(shù)學(xué)生理解困難，有的更是一臉茫然。

究其原因，是因為教學(xué)中我們往往將列表與假設(shè)割裂，沒有認識到列表過程中同樣蘊含著假設(shè)。

如何破局？細作分析，無論是列表法，還是假設(shè)法，都遵循“假設(shè)——計算——推理——調(diào)整”的解決策略與程序，如果在列表過程中讓學(xué)生直覺感悟到這樣的思維過程，就會為后面抽象的說理做好準(zhǔn)備，降低學(xué)生理解的難度。

當(dāng)學(xué)生利用上表找到答案后，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對表中的數(shù)據(jù)加以分析：第一組數(shù)據(jù)是先假設(shè)8只全部是雞，然后計算出只有16只腳，與實際26只不符，需要對假設(shè)做出調(diào)整；接著重新假設(shè)有7只雞，1只兔，計算出共有18只腳，仍然與實際26只不符；依次下去，直至雞3只，兔5只時，腳正好26只。最后非常關(guān)鍵且重要的一點，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生反思這一過程中的基本程序與思路，即“假設(shè)——計算——推理——調(diào)整”，當(dāng)學(xué)生有了充分的感知之后，就為后面理解假設(shè)法積累了相關(guān)經(jīng)驗。

二、抓住重點，主動建模

有了上面的基本策略與路徑之后，如何讓學(xué)生深層理解作出假設(shè)之后題中存在的數(shù)量關(guān)系，如何用算式表示出它們之間的關(guān)系，就成了接下來的教學(xué)重點，因為這是學(xué)生實現(xiàn)主動構(gòu)建模型的關(guān)鍵所在。

師（出示表1）：剛才同學(xué)們從全是雞，或全是兔開始列表嘗試，現(xiàn)在老師又是怎樣想的呢？你能接著想下去嗎？

生1：先假設(shè)雞兔各有4只，可以計算出這時腳共有24只，只要增加1只兔，減少1只雞，就可增加2只腳。所以雞有3只，兔有5只。

師：你怎么知道調(diào)整時要增加1只兔，減少1只雞的？

生1：因為算出的腳數(shù)24只比實際26只少2只，1只兔比一只雞就多出了2只腳。

師（出示表2）：現(xiàn)在你能看懂表中的數(shù)據(jù)和想法嗎？你能接著往下找到答案嗎？

生2：先假設(shè)有6只雞，2只兔，通過計算6×2+2×4=20，比題中26只腳少了6只，列式為26-20=6，調(diào)整時需要增加3只兔，減少3只雞。

師：為什么要增加3只兔，減少3只雞，能說得明白點嗎？或者用個式子表示出來？

生2：1只雞與1只兔相差2只腳，現(xiàn)在共相差6只腳，就是算6里面有幾個2，算式是6÷（4-2）=3。

師（出示表3）：現(xiàn)在呢？你能不能像剛才大家分享的一樣，用算式表示出思維過程呢？

（學(xué)生獨立思考后展示交流。）

生3：假設(shè)全為雞，共有8×2=16只腳，少了10只腳，調(diào)整時需要增加5只兔，減少5只雞，就是算10里面有幾個2，列式為10÷（4-2）=5。

在上面的教學(xué)片斷中，通過三組數(shù)據(jù)，遵循“假設(shè)——計算——推理——調(diào)整”這一過程，引導(dǎo)學(xué)生由近及遠，由特殊到一般逐步抽象出解決雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型。

三、緊盯難點，靈活用模

用模是研模、建模的最終目的，體現(xiàn)了模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用價值，是模型教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)。用模能力的高低取決于建模的質(zhì)量和學(xué)生的識模能力，學(xué)生能否將現(xiàn)實情境中的具體信息逐一與模型中的量聯(lián)系起來，建立對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)從問題到模型的抽象，這是用模階段的一大難點，教學(xué)中應(yīng)設(shè)法突破。

在“雞兔同籠問題”模型的應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計了以下三個層次的識模體驗：①基礎(chǔ)性識模，龜鶴同游，從上數(shù)，共有40個頭，從下數(shù)，有112條腿。龜、鶴各有幾只？②游戲化識模：（課件演示）這是一個信封，里面裝了5元和2元的紙幣，共7張。你能猜猜信封里一共有多少錢嗎？讓學(xué)生在猜的過程中感悟不少于14元，不多于35元。之后再補充信息“共有29元”，現(xiàn)在你能知道5元、2元紙幣各有多少張嗎？③生活化識模：師生共38人去劃船，共租了8條船，恰好坐滿，每條大船坐6人，每條小船坐4人，大船和小船各租了幾條？在每一輪的練習(xí)中，筆者會讓學(xué)生思考：它們與今天研究的“雞兔同籠問題”有聯(lián)系嗎？如果有，是怎樣的聯(lián)系？以此訓(xùn)練學(xué)生的識模能力，提高應(yīng)用水平。

建模與用模組成了模型教學(xué)的兩條腿，只有建模時有“門”，才能做到用模時有“路”。

（作者單位：松滋市黃杰小學(xué)）